切線長定理用

1、切線長定理,切線的判定方法,1）和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線； （2）到圓心的距離等與圓的半徑的直線是圓的切線； （3 ）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,證明一條直線是圓的切線的常見的兩種方法,當(dāng)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“作半徑，證垂直.” 當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可過圓心作直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑,簡稱“做垂直,證半徑。,切線的性質(zhì)定理,圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,幾何應(yīng)用,L是O的切線 ， OAL,切線的判定定理,經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這

2、 條半徑的直線是圓的切線,1.經(jīng)過半徑的外端,2.與半徑垂直,練習(xí)1：已知：AB是弦，AD是切線，判斷DAC與圓周ABC之間的關(guān)系并證明,弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角,判別下列圖形中的角是不是弦切角，并說明理由,圖1,圖3,圖2,弦切角性質(zhì),弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角,練習(xí)5.AB是O的直徑,AE平分BAC交O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作O的切線交AC的延長線于點(diǎn)D,試判斷AED的 形狀,并說明理由,拓展應(yīng)用,練習(xí)5.AB是O的直徑,AE平分BAC交O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作O的切線交AC的延長線于點(diǎn)D,試判斷AED的 形狀,并說明理由,拓展應(yīng)用,O,A,B,P,過圓外一點(diǎn)

3、可以引圓的幾條切線,尺規(guī)作圖： 過O外一點(diǎn)作O的切線,O,P,A,B,O,請跟我做,在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的切線上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長,O,P,A,B,切線與切線長是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢,切線長概念,切線:不可以度量。切線長：可以度量,比一比,B,O,A,B,P,1,2,請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,PA = PB,OPA=OPB,證明：PA，PB與O相切，點(diǎn)A，B是切點(diǎn) OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,證一證,PA、PB分別切O于A、B,P

4、A = PB,OPA=OPB,從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角,幾何語言,反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法,切線長定理,A,P,O,B,若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明,OP垂直平分AB,證明：PA，PB是O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 OP垂直平分AB,試一試,A,P,O,B,若延長PO交O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明,CA=CB,證明：PA，PB是O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn) PA = PB O

5、PA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,例1,已知，如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).直線 OP 交 O 于點(diǎn) D、E，交 AB 于 C. （1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系； （2）寫出圖中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半徑 OA 的長,A,O,C,D,P,B,E,解,1) OAPA , OBPB , OPAB,2) OAP OBP , OCAOCB ACPBCP,3) 設(shè) OA = x cm , 則 PO = PD + x = 2 + x (cm,在 RtOAP 中，由勾股定理，得,PA 2 + OA 2 = OP

6、 2,即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2,解得 x = 3 cm,所以，半徑 OA 的長為 3 cm,利用切線長定理進(jìn)行計(jì)算,練一練,已知：兩個(gè)同心圓PA、PB是大圓的兩條切線， PC、PD是小圓的兩條切線，A、B、C、D為切點(diǎn)。 求證：AC=BD,探究：PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，直線OP交于O于點(diǎn)D、E，交AB于C,B,A,P,O,C,E,D,1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系,OAPA，OB PB，AB OP,3）寫出圖中所有相等的線段,2）寫出圖中與OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE,已知

7、：如圖,PA、PB是O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，Q為AB上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)作O的切線，交PA、PB于E、F點(diǎn)，已知PA=12CM，求PEF的周長,易證EQ=EA, FQ=FB, PA=PB,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周長為24cm,例題1,變式：如圖所示PA、PB分別切 圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周長 (2) 如果P=46,求COD的度數(shù),C,O,P,B,D,A,E,例2、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓O分別相切于點(diǎn)L、M、N、P， 求證： AD+BC=AB+CD,證明：由切線長定理得

8、,AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等,例題2,P,B,A,O,3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn),2）連結(jié)兩切點(diǎn),1）分別連結(jié)圓心和切點(diǎn),反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形,想一想,例3 ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于 點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的長,解,設(shè)AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm,AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm,O與ABC的三邊都相切

9、,AFAE,BDBF,CECD,例題3,A,B,C,E,D,F,O,如圖，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O為RtABC的內(nèi)切圓. 求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑 r,設(shè)AD= x , BE= y ,CE r,O與RtABC的三邊都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB,結(jié)論,變式,思考：如圖，AB是O的直徑， AD、DC、BC是切線，點(diǎn)A、E、B 為切點(diǎn)，若BC=9，AD=4，求OE的長,例1、已知：P為O外一點(diǎn)，PA、PB為O的 切線，A、B為切點(diǎn)，BC是直徑。 求證：ACOP,P

10、,A,C,B,D,O,例題講解,練習(xí).如圖，ABC中,C =90 ,它的 內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切 于點(diǎn)D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半徑r,B,D,E,F,O,C,A,如圖，ABC的內(nèi)切圓的半徑為r, ABC的周長為l,求ABC的面積S,解：設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F,連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF,則ODAB，OEBC，OFAC,SABCSAOBSBOC SAOC,ABOD BCOE ACOF,lr,設(shè)ABC的三邊為a、b、c，面積為S， 則ABC的內(nèi)切圓的半徑 r,結(jié)論,三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算,思考,記憶,1. RtABC中,C=90,a=

11、3,b=4,則內(nèi)切圓的半徑是_,1,A,B,C,E,D,F,O,如圖，RtABC中，C90,BC3,AC4, O為RtABC的內(nèi)切圓. （1）求RtABC的內(nèi)切圓的半徑 . （2）若移動(dòng)點(diǎn)O的位置，使O保持與ABC的邊AC、BC都相切，求O的半徑r的取值范圍,設(shè)AD= x , BE= y ,CE r,O與RtABC的三邊都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四邊形ODCE為正方形，CDCEOD,RtABC的內(nèi)切圓的半徑為1,2）如圖所示，設(shè)與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點(diǎn)分別為B、D,連結(jié)OB、OD,則四邊形BODC為正方形,A,B,O,D,C,OBBC3,半徑r的取值范圍為0r3,點(diǎn)評,幾何問題代數(shù)化是解決幾何問題的一種重要方法,基礎(chǔ)題,1.既有外接圓,又內(nèi)切圓的平行四邊形是_. 2.直角三角形的外接圓半徑為5cm,內(nèi)切圓半徑為1cm, 則此三角形的周長是_. 3.O是邊長為2cm的正方形ABCD的內(nèi)切