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1、2013數(shù)學(xué)建模培訓(xùn),1,高級(jí)教育,第三講 層次分析法,2,高級(jí)教育,一、引 言,3,高級(jí)教育,層次分析法是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的常用方法。在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文中,時(shí)常能看到層次分析法。 需要提醒大家注意的是,有些學(xué)生沒有搞清楚層次分析法的特點(diǎn)、原理、優(yōu)缺點(diǎn)及局限性,在建模中隨意亂用層次分析法。 在本講中,大家首先要搞清楚層,4,高級(jí)教育,次分析法主要用于解決何種問題,知曉層次分析法的基本原理和步驟,然后還要能熟練使用層次分析法軟件。大家一定要完整地完成23個(gè)不同類型的實(shí)例,體驗(yàn)層次分析法的過程與結(jié)果。 下面給出本講學(xué)習(xí)大綱,以方便大家學(xué)習(xí),5,高級(jí)教育,1. 層次分析法能解決何種問題? 2. 層次分
2、析法的大致步驟。 3. 層次分析法通常將決策問題分為哪幾個(gè)層次,各層次間關(guān)系如何? 4. 如何構(gòu)造判斷矩陣? 5. 判斷矩陣的一致性問題。 6. 何謂單準(zhǔn)則下的排序? 7. 如何理解求相對(duì)權(quán)重的特征根法,6,高級(jí)教育,其理論依據(jù)是什么? 8. 如何進(jìn)行一致性檢驗(yàn),如何理解一致性指標(biāo)CI、平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI、一致性比例CR? 9. 何謂層次總排序? 10. 層次總排序的步驟和原理。 11. 如何進(jìn)行層次總排序的一致性檢驗(yàn),7,高級(jí)教育,12. 當(dāng)一致性檢驗(yàn)未通過時(shí),如何對(duì)判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整? 13. 層次分析法的缺陷及解決辦法。 14. 層次分析法軟件的使用。 15. 層次分析法建模實(shí)例,8,
3、高級(jí)教育,人們?cè)谌粘;顒?dòng)中,常常會(huì)面對(duì)一些決策問題。例如,大學(xué)生選擇職業(yè)時(shí),往往會(huì)從專業(yè)對(duì)口、發(fā)展?jié)摿Α⒋鍪杖氲榷喾矫婵紤]和決策。 許多決策問題是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng),很難用通常的數(shù)學(xué)模型解決。 例如,在一群人中挑個(gè)子最高的,9,高級(jí)教育,很容易辦到,選最胖者也不難,但要挑選一個(gè)最高、最胖且最帥的人就不容易了。 此類決策問題的困難主要在于: (1) 有的指標(biāo)不易量化; (2) 有些指標(biāo)相互關(guān)聯(lián),甚至相互矛盾,導(dǎo)致決策復(fù)雜化,10,高級(jí)教育,層次分析法(AHP)是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家Lsaaty在20世紀(jì)70年代初提出的一種定性分析與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法,簡(jiǎn)單、實(shí)
4、用,特別適用于人的定性判斷起重要作用,對(duì)決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的問題,11,高級(jí)教育,二、層次分析法的原理與步驟,12,高級(jí)教育,層次分析法的基本思路與人們對(duì)復(fù)雜問題的決策過程大體一致。當(dāng)決策者在對(duì)問題進(jìn)行分析時(shí),首先要對(duì)分析對(duì)象的因素建立起彼此相關(guān)的層次遞階結(jié)構(gòu),這種層次遞階結(jié)構(gòu)可以清晰地反映出諸相關(guān)因素(目標(biāo)、準(zhǔn)則、對(duì)象)的彼此關(guān)系,使得決策者能夠把復(fù)雜的問題理順,然后用一定,13,高級(jí)教育,標(biāo)度將人的主觀判斷進(jìn)行客觀量化,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性和定量分析。 層次分析法大致可分為下面四個(gè)步驟: (1) 建立遞階層次結(jié)構(gòu); (2) 構(gòu)造比較判斷矩陣; (3) 單準(zhǔn)則排序和一致性檢驗(yàn); (4)
5、層次總排序和一致性檢驗(yàn),14,高級(jí)教育,三、遞階結(jié)構(gòu)層次的建立,15,高級(jí)教育,層次分析法首先要把決策問題層次化。所謂層次化就是根據(jù)問題的性質(zhì)以及要達(dá)到的目標(biāo),將問題分解為不同的因素,并按各因素間的隸屬關(guān)系和關(guān)聯(lián)程度分組,形成一個(gè)不相交的層次。 下面通過一個(gè)實(shí)例來說明構(gòu)造層次以及層次分析法的決策過程,16,高級(jí)教育,例1 假設(shè)某企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)要決定一筆資金如何使用。經(jīng)過調(diào)研,現(xiàn)有下列方案可供選擇: (1) 作為獎(jiǎng)金發(fā)給職工; (2) 擴(kuò)建宿舍和食堂等福利設(shè)施; (3) 舉辦職工進(jìn)修班; (4) 建圖書館、俱樂部等; (5) 引進(jìn)新設(shè)備進(jìn)行技術(shù)改造,17,高級(jí)教育,從調(diào)動(dòng)職工工作積極性,提高職工文化技
6、術(shù)水平和改善職工物質(zhì)文化生活條件來看,這些方案都有其合理因素。如何使得這筆資金更合理地使用,就是企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)面臨的決策問題。 注意 在建模實(shí)際問題中, 如需用層次分析法,則首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)膶哟?18,高級(jí)教育,請(qǐng)大家揣摩本題中構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)的思路與過程。 通過分析,上述方案都是為了更好地調(diào)動(dòng)職工工作積極性,提高企業(yè)技術(shù)水平和改善職工物質(zhì)文化條件,而最終目的是為了企業(yè)進(jìn)一步發(fā)展,增強(qiáng)企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力。 據(jù)此,可以建立下列層次結(jié)構(gòu),19,高級(jí)教育,資金使用問題的層次分析結(jié)構(gòu)圖,20,高級(jí)教育,也就是說,對(duì)于資金使用這個(gè)問題來說,模型結(jié)構(gòu)分為三層。最高為目標(biāo)層,即合理使用資金;中間為準(zhǔn)則層,即合
7、理使用資金的三個(gè)準(zhǔn)則:調(diào)動(dòng)職工積極性,提高企業(yè)技術(shù)水平和改善職工生活;最下一層為方案層, 即可供選擇的方案,21,高級(jí)教育,建立問題的層次結(jié)構(gòu)是層次分析法中最重要的一步。通常,層次結(jié)構(gòu)分為三層,最高層只有一個(gè)元素,即決策者要達(dá)到的目標(biāo);中間層為衡量目標(biāo)是否達(dá)到的若干判斷準(zhǔn)則;最低層為備選的具體方案。 上一層次的元素對(duì)相鄰的下一層次的全部或部分元素起支配作用。除,22,高級(jí)教育,目標(biāo)層外,每個(gè)元素至少受上一層一個(gè)元素支配;除方案層外,每個(gè)元素至少支配下一層一個(gè)元素;同一層次元素不存在支配關(guān)系。 建立層次結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵是能否構(gòu)造出合理的滿足一定支配關(guān)系的準(zhǔn)則,23,高級(jí)教育,四、比較判斷矩陣的構(gòu)造,2
8、4,高級(jí)教育,由于在決策者心目中,各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的影響程度不同,各方案對(duì)每個(gè)準(zhǔn)則的影響程度也不同,所以建立層次結(jié)構(gòu)后的首要任務(wù)是確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)以及各方案對(duì)每個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重。 層次分析法確定上述權(quán)重的方法是構(gòu)造準(zhǔn)則層和方案層的比較判斷矩陣,25,高級(jí)教育,1. 準(zhǔn)則層比較判斷矩陣的構(gòu)造 下面介紹準(zhǔn)則C1,C2,Cn對(duì)目標(biāo) Z的權(quán)重的確定方法。 在復(fù)雜問題中,準(zhǔn)則的權(quán)重很難直接獲得且不易定量化。Saaty提出可用對(duì)準(zhǔn)則兩兩比較的方法來確定權(quán)重,即每次取兩個(gè)準(zhǔn)則Ci和Cj,用aij表示Ci和Cj對(duì)Z的影響之比, 全部比較,26,高級(jí)教育,結(jié)果用矩陣A=(aij)表示,稱為準(zhǔn)則層的比較判斷矩陣。 顯然,
9、aij =1/aij,稱A為正互反矩陣。 對(duì)于如何確定aij的值,Saaty提出用數(shù)字19及其倒數(shù)作為標(biāo)度。 下表中列出了19標(biāo)度的含義,27,高級(jí)教育,28,高級(jí)教育,判斷矩陣的確定具有很強(qiáng)的主觀性。比如,在例1中,假定企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)對(duì)于資金使用的態(tài)度是:首先是提高企業(yè)的技術(shù)水平,其次是改善職工生活條件,最后是調(diào)動(dòng)職工積極性,則準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的比較判斷矩陣可以設(shè)定為,29,高級(jí)教育,顯然,若Ci和Cj對(duì)Z的影響之比為aij, Cj和Ck對(duì)Z的影響之比為ajk, 則Ci和Ck對(duì)Z的影響之比為aik,即正互反矩陣A中元素應(yīng)滿足:aijajk=aik,此,30,高級(jí)教育,時(shí)稱A為一致矩陣。 單憑經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造
10、出的比較判斷矩陣不一定滿足一致性,如例1中的判斷矩陣。 比較判斷矩陣嚴(yán)格滿足一致性是極為困難的,層次分析法要求比較判斷矩陣按一定程度滿足一致性,31,高級(jí)教育,2. 方案層比較判斷矩陣的構(gòu)造 類似地可以構(gòu)造出各方案對(duì)每個(gè)準(zhǔn)則的比較判斷矩陣。 例如,例1中的各方案對(duì)每個(gè)準(zhǔn)則的比較判斷矩陣可以設(shè)為,32,高級(jí)教育,33,高級(jí)教育,構(gòu)造出判斷矩陣后,即可對(duì)判斷矩陣進(jìn)行單排序計(jì)算。在各層次排序后還要進(jìn)行各層次總排序,其中還存在著判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)問題,34,高級(jí)教育,五、單準(zhǔn)則排序與一致性檢驗(yàn),35,高級(jí)教育,1. 單準(zhǔn)則下的排序 根據(jù)比較判斷矩陣確定某層各元素對(duì)上層某元素相對(duì)權(quán)重排序的過程稱為單準(zhǔn)
11、則下的排序。通常有各方案對(duì)某準(zhǔn)則的權(quán)重排序和各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重排序。 計(jì)算權(quán)重的方法有多種,比較成熟的是特征根方法,36,高級(jí)教育,特征根方法的理論依據(jù)是Perron定理,它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性。 Perron定理 設(shè)n階方陣A0, 為A的模最大特征值,則 (1) 為正特征值,且對(duì)應(yīng)的特征向量為正向量; (2) 對(duì)于A的任何其它特征值,37,高級(jí)教育,恒有 ; (3) 為A的單特征值,因而它所對(duì)應(yīng)的特征向量除相差一個(gè)常數(shù)因子外是唯一的。 下面再給出兩個(gè)定理,這兩個(gè)定理分別是權(quán)重排序原理和一致性檢驗(yàn)原理的理論基礎(chǔ)。 定理1 若A為一致矩陣,則,38,高級(jí)教育,1) A必為正互反
12、矩陣; (2) A的任意兩行(列)成比例; (3) A的最大特征值 ,n為A的階,從而A的其余特征值均為零; (4) 若A的最大特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量為 ,則 ,即,39,高級(jí)教育,定理2 若A為n階正互反矩陣,則,40,高級(jí)教育,1) ; (2) A為一致矩陣 。 盡管上述結(jié)論的證明并不復(fù)雜,有些內(nèi)容還是考研中的常見內(nèi)容,如定理1的(2)和(3),但絕大部分學(xué)生理解起來還是比較困難。 不過這并沒有關(guān)系,因?yàn)槲覀冎灰眠@兩個(gè)定理得出排序和一致性,41,高級(jí)教育,檢驗(yàn)的方法即可。 根據(jù)定理1中的結(jié)論(4),可以得出確定排序向量的下列方法: 求出比較判斷矩陣A最大特征值 的特征向量W,經(jīng)歸一化后
13、即為各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)或各方案對(duì)某準(zhǔn)則的排序權(quán)重向量。 可借助軟件求特征值特征向量,42,高級(jí)教育,2. 比較判斷矩陣的一致性檢驗(yàn) 雖然構(gòu)造比較判斷矩陣時(shí),不要求具有嚴(yán)格的一致性,但一個(gè)混亂、不一致的比較判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤,所以我們希望在判斷時(shí)應(yīng)大體一致,從而對(duì)每一層在做單準(zhǔn)則排序時(shí),均需要做一致性檢驗(yàn)。 根據(jù)定理2, 且A為一致矩,43,高級(jí)教育,陣 ,就這意味著 比n大得越多, A的不一致程度就越嚴(yán)重。因此,可以用 作為衡量不一致程度的數(shù)量指標(biāo),CI稱為一致性指標(biāo)。 CI其實(shí)即為除最大特征值以外的其余特征值的負(fù)平均值,44,高級(jí)教育,究竟CI小到什么程度才算達(dá)到我們接受的“滿意的一致性
14、”呢? Lsaaty按照下列方法給出了衡量是否達(dá)到“滿意的一致性”的一種數(shù)量指標(biāo): 隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)n階正互反矩陣,求出其最大特征值的平均值 ,并計(jì)算,45,高級(jí)教育,則RI可理解為n階比較判斷矩陣的平均一致性指標(biāo),稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。 RI的具體數(shù)值見下表,46,高級(jí)教育,顯然,當(dāng)CI與RI之比較小時(shí),可以認(rèn)為A的不一致性程度很小,達(dá)到了所謂的“滿意的一致性”。 稱為一致性比例。 通常認(rèn)為, 當(dāng)CR0.1時(shí),判斷矩陣的一致性可以接受,否則應(yīng)對(duì)其適當(dāng)調(diào)整,47,高級(jí)教育,六、層次總排序及一致性檢驗(yàn),48,高級(jí)教育,1. 層次總排序 根據(jù)計(jì)算同一層次中所有元素對(duì)總目標(biāo)的排序權(quán)重向量的過程稱為
15、層次總排序。 下面通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明這一過程: 先將一塊石頭A分成兩大塊B1和B2,然后再分別將B1和B2各分為兩組,49,高級(jí)教育,C1, C2;C3, C4, C5,50,高級(jí)教育,顯然,第2層對(duì)最高層的排序向量為 而第3層對(duì)第2層單準(zhǔn)則下的排序?yàn)?51,高級(jí)教育,從而第3層對(duì)最高層的排序向量為,52,高級(jí)教育,一般地,若k個(gè)層次中第i個(gè)層次的排序矩陣為W(i)=(Wj(i),其中Wj(i)為第i層各元素對(duì)上一層第j個(gè)元素的排序向量,則第k層的排序向量為,53,高級(jí)教育,2. 層次總排序的一致性檢驗(yàn) 在對(duì)各層元素進(jìn)行比較時(shí),盡管每一層中所用的比較尺度基本一致,但各層之間仍可能有所差異
16、,這種差異將隨著層次總排序的逐漸計(jì)算而累加起來。因此,需要從模型的總體上來檢驗(yàn)這種差異尺度的累積是否顯著。這個(gè)檢驗(yàn)過程稱為層次總排序的,54,高級(jí)教育,一致性檢驗(yàn)。 設(shè)第k層的一致性指標(biāo)為 ,n為第k1層因素的個(gè)數(shù),相應(yīng)的隨機(jī)一致性指標(biāo)為 , 為第k1層對(duì)目標(biāo)層的排序向量,定義,55,高級(jí)教育,則第k層的組合一致性比率為 最下層對(duì)最高層的一致性比率為 當(dāng) 時(shí),認(rèn)為整個(gè)層次的比較判斷通過了一致性檢驗(yàn),56,高級(jí)教育,七、判斷矩陣的調(diào)整及AHP缺陷,57,高級(jí)教育,當(dāng)比較判斷矩陣過于偏離一致性時(shí),就必須對(duì)其調(diào)整。調(diào)整比較判斷矩陣的方法大致分為三類。第一類是由專家憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整;第二類是構(gòu)造一個(gè)完全
17、一致的判斷矩陣,提取原始判斷矩陣與此矩陣的信息,以達(dá)到調(diào)整的目的;第三類是利用矩陣元素的變化與一致性的關(guān)系,確定影響一,58,高級(jí)教育,致性的關(guān)鍵元素并進(jìn)行調(diào)整。 層次分析法把決策過程中的定量和定性因素有機(jī)地結(jié)合起來,用統(tǒng)一的方法進(jìn)行處理,簡(jiǎn)單、直觀、易掌握,是一種很好的決策方法。但層次分析法也存在著應(yīng)用上的局限性: (1) 層次分析法主要針對(duì)方案大體確定的決策問題,即只能從原方案,59,高級(jí)教育,中選優(yōu),不能生成新的方案; (2) 層次分析法的比較判斷過程較為粗糙,不太適用于精度要求較高的決策問題; (3) 層次分析法在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn),受主觀因素的影響很大。它至多只能排除思維過程
18、中的嚴(yán)重非一致性,卻無法排除決策者個(gè),60,高級(jí)教育,人可能存在的嚴(yán)重片面性。 克服上述缺陷的常用方法有:利用群組決策;將層次分析法與其它決策方法相結(jié)合,如模糊層次分析法,61,高級(jí)教育,八、層次分析法軟件與練習(xí),62,高級(jí)教育,1. 層次分析法軟件YAAHP 張建華教授編制了層次分析法專用軟件 YAAHP ,該軟件不僅可以極為方便地構(gòu)建層次、輸入比較判斷矩陣、進(jìn)行一致性檢驗(yàn)、計(jì)算各類排序向量、輸出所有數(shù)據(jù),而且在一致性檢驗(yàn)未通過時(shí),還可以應(yīng)用PSO算法自動(dòng)調(diào)整比較判斷矩陣,63,高級(jí)教育,下面請(qǐng)看利用YAAHP軟件對(duì)資金使用問題進(jìn)行決策的過程和詳細(xì)結(jié)果報(bào)告,64,高級(jí)教育,例2 校園火災(zāi)危險(xiǎn)
19、性分析 高校校園建筑物和人口都十分密集,群死群傷的火災(zāi)事件時(shí)有發(fā)生。由于校園火災(zāi)發(fā)生具有隨機(jī)性、發(fā)展過程的復(fù)雜性及資料的不完備性,在進(jìn)行校園火災(zāi)危險(xiǎn)性分析時(shí),很多因素都無法直接量化,因此采用層次分析法可將問題定量化,65,高級(jí)教育,為了確定準(zhǔn)則層和方案層,首先按場(chǎng)所功能不同將校園劃分為如下區(qū)域:宿舍區(qū)、教學(xué)辦公區(qū)、實(shí)驗(yàn)區(qū)、公共活動(dòng)區(qū)(體育場(chǎng),食堂,禮堂)、圖書館;其次可以從發(fā)生火災(zāi)的可能性和火災(zāi)造成后果的嚴(yán)重程度這兩方面來考慮火災(zāi)的危險(xiǎn)性,從而可按以下5個(gè)評(píng)價(jià)因子:人口密度、財(cái)產(chǎn)密,66,高級(jí)教育,度、易燃易爆物、火源情況、疏散救援,對(duì)不同場(chǎng)所的火災(zāi)危險(xiǎn)性進(jìn)行分析。由此建立如下的層次結(jié)構(gòu),67,高級(jí)教育,68,高級(jí)教育,通過統(tǒng)計(jì)分析,準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較判斷矩陣為 容易求得排序權(quán)重向量,69,高級(jí)教育,類似地可求出方案層對(duì)準(zhǔn)則層各元素的成對(duì)比較判斷矩陣及相應(yīng)權(quán)重向量見后表。 從而可得方案層對(duì)目標(biāo)層的組合權(quán)向量為,70,高級(jí)教育,71,高級(jí)教育,層次總排序的一致性檢驗(yàn)通過。 由組合權(quán)重可知火災(zāi)危險(xiǎn)性排序由高到低為:實(shí)驗(yàn)區(qū)、宿舍區(qū)、公共活動(dòng)區(qū)、教學(xué)辦公區(qū)、圖書
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