概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)答案

1、、單項(xiàng)選擇題1.袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)黃球，30個(gè)白球，現(xiàn)在兩個(gè)人不放回地依次從袋中隨機(jī)各取一球 人取到黃球的概率是B ).,則第二A. 152.設(shè)代B為隨機(jī)事件B. 25,且 P(A)C. 3D.-550.5, P(B) 0.6, P(B A) 0.8.則 P(AUB) ( C ).X的分布函數(shù)為 Fx (x),則Y 5X 3的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量FY(y)為(C ).A.Fx(5y 3)y 3C. Fx5B.5Fx(y)1d. _ Fx (y)54.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為PX YA. 0.3A ).B.0.5C.0.7 D. 0.85.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且D(X)

2、 2, D(Y)1 ,則 D(X 2Y 3)( D ).C.設(shè) X N( , 2), 檢驗(yàn)：H。：2,H1 :6.A.(n 1)S2 B.87.8.9.10.2未知,取樣本X1,X2,2 ,應(yīng)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 2(n 1)S22C.在10個(gè)乒乓球中，有8個(gè)白球,2個(gè)黃球，從中任意抽取A.三個(gè)都是白球C.至少有一個(gè)黃球設(shè)代B為隨機(jī)事件，且BA. P(AUB) P(A)C. P(B A) P(B)B.至少有一個(gè)白球D.三個(gè)都是黃球A,則下列式子正確的是B. P(AB)D. P(B A)設(shè)隨機(jī)變量 X N(1,4),已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(C ).A. 0設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為 F(x, y)

3、,則F(x,A. 0B.Fx (x)C.11.二維隨機(jī)變量(X ,Y)的分布律為D. 6,Xn,記X,s2分別為樣本均值和樣本方差.(C ).(n 1)S2D.43個(gè)的必然事件是(n 1)S2).:A ).P(A)P(B) P(A)(1)0.8413,為使 PXa 0.8413,則常數(shù))(B ).FyW)D. 1設(shè)PjPX i, Y j (i, j 0,1).則下列各式中錯(cuò)誤.的是(D ).P00P11(A ).A. p00P01B.P10P11C.p00P11D.P10P0112. 設(shè) X P(5) , Y B(16,0.5),則 E(2X Y 2)( A ).D. 1的意義是(C ).A.

4、 0C.0.213. 在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率A.在H。不成立的條件下,經(jīng)檢驗(yàn)H。被拒絕的概率B.在H。不成立的條件下,經(jīng)檢驗(yàn)H。被 接受的概率C.在H。成立的條件下,經(jīng)檢驗(yàn)H。被拒絕的概率 D.在H。成立的條件下,經(jīng)檢驗(yàn)H。被接 受的概率qX+Y=D(X) + D(Y)、X和丫相互不獨(dú)立14.設(shè)X和丫是方差存在的隨機(jī)變量，若 E(XY)=E(X)E(Y).則(B ) A D(XYj=C(X) D(丫C、X和丫相互獨(dú)立15.若Xt(n)那么A F(1,n)；1XF(n,1)；2(n) ； D 、t(n)16.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N.X1.X2.L ,Xn是來(lái)自X的樣本，2的無(wú)偏估計(jì)

5、量是1n Xin i 1XiC、n inXi21；D、X21)217、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f (x)，則A、X服從指數(shù)分布B、EX 1、DXP(X0)0.518、設(shè)X服從N 0,2 ，則服從自由度為的t分布的隨機(jī)變量是(A、nXSnXS219、設(shè)總體XN2，其中已知,2未知,X1.X2.X3取自總體X的一個(gè)樣本，則下列選項(xiàng)中不是統(tǒng)計(jì)量的是A1/A、( X1 X23X3)(X12 X； X；)c、X1 2、maxX1,X2,X320、設(shè)隨機(jī)變量N 0,1分布,P( 0)等于、無(wú)法判斷21、已知隨機(jī)變量 B n, p，且E3,D2，貝U n, p的值分別為(D八1321A、n 12, pB

6、、n12, p -C 、n 9, pD 、n 9, p -443322.設(shè) X1,X2,X3是來(lái)自總體X的樣本，EX=y，則(D)是參數(shù)卩的最有效估計(jì)。c111、，1、，2 、,2 、,(A) ?1X1X 2X3(B) ?2X1X2X36325551(C) ?311 X1X2-X3(D)?41X1-X21X344233323.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且2.4，D1.44,則二項(xiàng)分布的參數(shù) nA、n 4，p 0.6B、n 6，p0.4C、n 8， p 0.3D、n 24,p0.1填空)，p的值為(B )1.設(shè) PX0,Y07，px 0PY 0PmaxX,Y 02.已知 P(A)=, P(B)=

7、, P(AUB) 0.6,則P(AB)=0.3 ；3. X (),且P(X 1) P(X 2),則P(X 0)4. 設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中的概率為，則EX2 _18.4；5. 設(shè)隨機(jī)變量X和丫的方差分別為25和36,若相關(guān)系數(shù)為, 則 D(X Y) =_37_;6. 若 X和 Y相互獨(dú)立，且 XN(1,4), 丫叫0,3),則 2X 3Y _ N(2,43) _;7. 用(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示Pa X b,Y c F(b,c) F(a,c) Pa X b,Y c P X a,Y c;8. 已知隨機(jī)變量X的均值 12 ,標(biāo)準(zhǔn)差 3，試用切比雪夫不等

8、式估計(jì)：P 6 X 1834 一1 n _9. 設(shè) X N( , 2) , X1,X2, L ,Xn 是樣本，2 的矩估計(jì)量是-(Xi X)2 ；n i 110. 設(shè)X1,X2,X3,X4是來(lái)自正態(tài)總體N(o,22)的樣本，令Y (X1 X2)2 (X3 X4)2,則當(dāng)1 2C - _時(shí) CY (2)811. “ A、B、C三個(gè)事件中至少發(fā)生了兩個(gè)”，可以表示為 AB BC AC 。12. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是事件_x_的概率。13. 某校一次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)，及格率 80%則一個(gè)班(50人)中，不及格的人數(shù) X_ B(50,0.2)_分布，EX=10DX = _8_ 1 n _ 14、設(shè)X

9、X2, L , Xn為總體X的一個(gè)樣本，若X Xi且EX , DX 2，則EX n i i2DX _ 一 。n15、設(shè)隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望為 EX u、方差DX 2，則由切比雪夫不等式有16、“ A、B、C三個(gè)事件中恰好有一個(gè)發(fā)生”，可以表示為ABC ABC ABC17、設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，且 P X 1 P X 2，則2_。18.設(shè)X的期望和方差分別為和2，則由切比雪夫不等式可估計(jì)P(X19.設(shè) x1, X2,Xn是取自總體XN( , 2)的一個(gè)樣本，Sn (Xi X)2為樣本方差，則n 1 i 1(n 1)S222(n 1)20.已知P A =, P B =，則當(dāng)A、B互不相容時(shí)，

10、 P A B =A 時(shí)，P A B =， P AB =。，P AB = 0。當(dāng)A、B相互獨(dú)立三、計(jì)算題1.設(shè) P(A) 0.5, P(B)0.6, P(B | A)0.8,求 P(AUB)與 P(B A).解：P(AUB) P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B | A)P(B A) P(B) P(AB) 0.61.11.1 0.40.7,0.40.2.2.有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各 機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表解：記H j =報(bào)名表是第10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、,從中先后抽岀兩份，求先抽到的一份是女生表的概率p.1,2,3), Aj=第j次抽到的報(bào)名表是男生( j

11、i個(gè)地區(qū)考生( iP(Hi)13(i1,2,3), P(A1 H1)310P(A1H2)7份和5份.隨1,2),由題意知由全概率公式p P(A1)_Ai1P(Hi)P(A1Hi) 3310Z 12915 5900,X1,0.4,1x 1,3.設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 F(x)試求:(1)0.8,1X 3,1,X3,(2) PX 2| X 1.解：(1) X的所有可能取值為1,1,3,PX1 F(1) F( 10)0.400.4,PX 1F(1)F(1 0)0.80.40.4,PX 3F(3)F(3 0)10.80.2,從而X的分布律為X的分布律 PX 2| X 1P(X 1)2P(X 1)3

12、1134. 一大批種子,良種占20% ,從中任選5000粒.試計(jì)算其良種率與20%之差小于1%的概率.(1.77)0.9616.解：設(shè)X表示在任選5000粒種子中良種粒數(shù),則X B(n,p),其中n 5000, p 0.2,貝UE(X) np 1000, D(X) np(1 p) 800,由棣莫夫-拉普拉斯中心極限定理得,良種率與20%之差小于1%的概率為P(X_W00 嚴(yán))、800一 800(50 )(1.77)0.9616.8005.假設(shè)甲、乙兩廠生產(chǎn)同樣的燈泡，且其壽命X N( 1, ；),YN(的標(biāo)準(zhǔn)差分別為84小時(shí)和96小時(shí)，現(xiàn)從兩廠生產(chǎn)的燈泡中各取 60只，測(cè)得平均壽命甲廠 129

13、5小時(shí)，乙廠為1230小時(shí)，能否認(rèn)為兩廠生產(chǎn)的燈泡壽命無(wú)顯著差異0.05)?(1.96)建立假設(shè)H 0 :1；).已知它們壽命為(解:0.975 在H o為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量22121n1 n2丫 N(0, 1).對(duì)于給定的顯著性水平0.05,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,可得u ,.2u0.0251.96,從而拒絕域?yàn)閨u|1.96.又由 X 1295, y 1230,184,296, n1n260,得3.951.96,故應(yīng)拒絕H 0,即認(rèn)為此制造廠家的說(shuō)法不可靠6.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為證明：X和Y相互獨(dú)立.證：由聯(lián)合分布律可求得 X和丫的邊緣分布律分別為和直接驗(yàn)證可知對(duì)任何i, j 1,2

14、,3,有成立，所以X和Y相互獨(dú)立.7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為-1 0 2求：（1）常數(shù)a ；（2）PXP13X ；(4)分布函數(shù)F(x).解:1(1)由 a312PXPX0a -6J3P13 - PX21 a60,1,2故應(yīng)分情況討論：當(dāng)x0時(shí),F(x)PXx0;當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)PXxPX013當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)(x)PXxPX0PX112當(dāng)x2時(shí)F(x)PXxPX0PX1PX 210：，x0,由于X的所有可能取值為1，0x1,從而F (x)3，1 x 2,21， x 2.8.某批礦砂的5個(gè)樣品中鎳含量經(jīng)測(cè)定為X（%）:,，假設(shè)鎳含量的測(cè)定值服從正態(tài)分 布，問(wèn)能否認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為（0.0

15、1）?t0.005（4） 4.6041解：檢驗(yàn)假設(shè)Ho： o 3.25, Hi： o 3.25.X當(dāng)H 成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量T t( n 1).S/ , n又 0.05時(shí)，查表得t0.005（4） 4.6041.于是H0的拒絕域?yàn)閃 (, 4.6041)(4.6041,).3.252 3.250.00017/5經(jīng)計(jì)算 X 3.252, s求:(1)常數(shù) A; (2)P| X |; (3) 0.00017 ,且 n 5.于是0.345 W,所以接受H 0 ,即可以認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為 .9.設(shè)有三只外形完全相同的盒子，甲盒中有14個(gè)黑球，6個(gè)白球，乙盒中有5個(gè)黑球，25個(gè)白球，丙盒中有8個(gè)黑球42個(gè)

16、白球，現(xiàn)在從三個(gè)盒子中 任取一盒，再?gòu)闹腥稳∫磺颍?問(wèn)（1）求取到黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它恰好是從乙盒來(lái)的概率是多少？解：設(shè)B表示黑球，Aj表示從第i個(gè)盒子取球（i=1,2,3 ）則 顯然，A, A2, A3構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分,P(B) P(A)P(B|A) P(A2)P(B|A2) P(A)P(B|AJ17111477 cc0.342231036325225(2)P(A2 |B)P(A)P(B| A)P(B)連 0.162377 22510.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)AC0,else分布函數(shù)F(x) ；( 4)E(X),D(X)；解:(1) 11 af(x)dx =2d

17、x1 x12Aare sin x |0AP(X1)1：f (x)dx2J丄dx21 x2lares inx,xF(x)21,X 1(4)EXxf(x)dx 011. 某電站供應(yīng)10000戶居民用電，假設(shè)用電高峰時(shí)，每戶用電的概率為，若每戶用電千瓦，問(wèn)電站至少應(yīng)具有多大的發(fā)電量，才能以 95%勺概率保證居民用電。(1.65) 0.95)解：設(shè) 表示用電的用戶數(shù)，需要至少有k千瓦發(fā)電量，則 b(10000,0.9)，E 10000 0.99000, D10000 0.9 0.1900，由中心極限定理得： Pk0.20 95 ?9000 5k 90000.95、900900即需要供應(yīng)(或 1810)

18、千瓦的電才能保證供應(yīng)。12. 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為：求：(1)常數(shù)c；( 2)求邊緣密度函數(shù)fx(x), fY(y) ; ( 3) X與Y是否獨(dú)立11 4c解：(1) 1f (x, y)dxdydx 2 cdy1x2 y3c33分41 33-2、 ， ，2 dy(1x ), 1 x 1(2)fx(x)x 4470, else(3)f (x, y)fx(x)fY(y)不獨(dú)立13. 為了在正常條件下檢驗(yàn)一種雜交作物的兩種處理方案，在同一地塊隨機(jī)選擇8塊地段。在各試驗(yàn)地段，按二種方案種植作物，這8塊地段的單位面積產(chǎn)量是：一號(hào)方案：86,87,56,93,84,93,75,

19、79;二號(hào)方案：80,79,58,91,77,82,74,66假設(shè)這二種方案的產(chǎn)量均服從正態(tài)分布，問(wèn)：(1)這二種方案的方差有無(wú)明顯差異？ ( 2)這二種方案的均值有無(wú)明顯差異？(均取)。F0.025(7,7)4.99 ； F0.025 (8,8) 4.43 ； 10.025 142.1448 ； t0.025 162.1199解：在0.05下檢驗(yàn)：2 2設(shè)兩種產(chǎn)量分別為 x, y，且設(shè)xN( 1,1), y N( 2,2)(1)先在0.05下檢驗(yàn):H。:取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:2S2則拒絕域?yàn)椋篊 F F m 1,n2 1)或F F (n, 1,n2 1)1 2 2已知n1 n2 8,0.05，經(jīng)計(jì)

20、算得:x 81.625,y75.875,s1 2145.6964,s2102.125,F2S2145.6964102.1251.4266-4 分由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值沒(méi)有落在拒絕域中Fo.o25(7,7)4.99, Fo.975(7,7)1 F.25(7,7)0.002 ,故接受原假設(shè)H0,即可以認(rèn)為兩個(gè)總體的方差沒(méi)有顯著差異;取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：txy，其中sWswjn1n1n2(1)再在0.05下檢驗(yàn):則拒絕域?yàn)椋篊(口 1卅(屯 1)Hin2 2|t| t g 門(mén)2 2) ; t.025 142.14482經(jīng)計(jì)算得:s 11.1315，|t | 1.03312.1448t0.025(14)故

21、接受H0,即認(rèn)為兩個(gè)總體的均值沒(méi)有顯著差異14.已知 P(A) a,P(B) b，P(A B)0.7a，其中 ab 0且 b 0.3a，求：P(A B)和P(A B)P(A B) P(B)P(A B) b 0.7a，P(A B) P(A AB)P(A) P(AB)，P(AB) 0.3a，15.某公司從甲、乙、丙三地收購(gòu)某種藥材，數(shù)量(株)之比為7:3:5 ，甲、乙、丙三地藥材中優(yōu)等品率分別為21% 24%, 18%,若從該公司收購(gòu)的藥材中任取一株，如果取到的藥材是優(yōu)等品，求它恰好是從乙地收 購(gòu)來(lái)的概率是多少？解 設(shè)A,A,Ab分別表示甲，乙，丙地藥材，B表示優(yōu)等品,則根據(jù)貝葉斯公式有16.設(shè)連

22、續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f(x)a(10,x2),1x1其它，求：常數(shù)解(1)f(x)dx1 21 (1 x2)dx(x13、3x)(2)P(X1 31-(124x2)dx(3)F(x)1 3、(x x )41(4)EXxf (x)dx1 3x(114x2)dx 0(奇函數(shù)且積分區(qū)間對(duì)稱(chēng))17.某車(chē)間有同型號(hào)的機(jī)床200部,每部機(jī)器開(kāi)動(dòng)的概率為，假定各機(jī)床開(kāi)關(guān)是相互獨(dú)立的，開(kāi)動(dòng)時(shí)每部機(jī)器要耗電能15個(gè)單位，問(wèn)電廠最少要供應(yīng)該車(chē)間多少單位電能，才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)？1.650.95解設(shè)X表示某一時(shí)刻機(jī)器開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù)，則X服從B(200,0.7)，設(shè)電廠至少要供應(yīng) x個(gè)

23、單位的電能，則由題由棣莫弗-拉普拉斯定理，有151514015140420.95 .0.95.1.65，x 150.69 15 2260.25.故至少須向該車(chē)間供應(yīng) 2261個(gè)單位的電能，才能以95%的概率保證不致因供電不足而 影響生產(chǎn).18.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：f x1 x 0 x 10其它，2,Xn是來(lái)自總體x的樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。+ 11 n解(1) EX= Xi+ 2 n i 1的矩估計(jì)Xin L( )= (1)n Xii 1nIn L( )= n In (1) + lnX ii 1A 1的極大似然估計(jì)11In Xin i 119.某醫(yī)院從2009年的新生兒中隨機(jī)抽岀

24、20個(gè)，測(cè)得其平均體重為 3160克.樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克，而根據(jù)2008年資料，新生兒平均體重為3140克，問(wèn)2009年與2008年新生兒體重均值有無(wú)顯著差異？(設(shè)體重服從正態(tài)分布，取0.05血025(19)2.09),解 設(shè)X為2009年新生兒的體重，則由題意可設(shè) XN( , 2),本題是要求在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)假設(shè)：H 0:0, H1 :0(其中 03140)2由于 未知，故采用t檢驗(yàn)，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t拒絕域?yàn)?C | 11 t 2(n 1).已知 n 20, x 3160, s 300,所以|t| 33 亟 1 2.09 t 0.025(19)，300/J1915故接受H。，即在

25、顯著性水平下認(rèn)為2009年新生兒的平均體重與2008年的沒(méi)有顯著差異.20.若事件 AB 相互獨(dú)立，且 P(A) 0.4，P(A B) 0.6，求 P(B), P(AB).解 Q P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B)21.某廠有4條流水線生產(chǎn)同一批產(chǎn)品，產(chǎn)品分別占總量的15% 20% 30% 35%且四條流水線中，不合格品率依次為，現(xiàn)從中任取一件，求取到不合格品是第一條流水線生 產(chǎn)的概率是多少？解 設(shè)Ai第i條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品，i 1,2,3,4，B 取到不合格品，則由貝葉斯公式有,22.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f （x）k . x,0 x0, 其他，求：常數(shù)k ；1P

26、（x丄）；X的分布函數(shù)F（x）;期望、方差EX,DX4解dxfXkX/.V_721 -4X F _7 3-2XdiXdioX(4)EXxf (x)dx13x02X，Y）的概率分布為23.設(shè)二維隨機(jī)向量（P(X Y) P(X1,Y1) P(X1,Y0)0.3(2)(3)P(Y 1X 1)P(X 1,Y1)P(X 1)0.10.4(4)X+|Y|-10123P24.某單位有120個(gè)電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有5%的時(shí)間使用外線，假設(shè)各分機(jī)使用外線與否是相互獨(dú)立的，試用中心極限定理計(jì)算，使用外線的分機(jī)的個(gè)數(shù)E在6至12個(gè)之間的概率。（）=。B (120，) np 6, npq 5.7其中0為未知參數(shù),0x1,0,其他X1,X2,Xn是來(lái)自總體X的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。解(1)E(X)1xf (x, ) dx0x dx1,令X,解得矩估計(jì)量為1 2?X1 X .設(shè)X1,X2,Xn是相應(yīng)于X1 , X2 , X n的樣本，則似然函數(shù)為當(dāng)0 xi 1,i1,2,n 時(shí)，L()0,并