幾何綜合問(wèn)題

1、幾何綜合問(wèn)題,綜合題復(fù)習(xí)的思考,大家一直都在研究綜合題。 觀察一般研究的角度，或者觀察研究的對(duì)象基本都是針對(duì)題目的外在形式研究的，或者利用以往的考題，例如什么幾何變換型的題目等等。 其實(shí)既然稱(chēng)之為綜合題，那么只從外在的形式研究顯然是不全面的，或者說(shuō)是只關(guān)注結(jié)果的研究方法，難免會(huì)出現(xiàn)猜題的嫌疑,如果只從外在的形式研究不全面，那么實(shí)際上就相當(dāng)于告訴我們研究的角度應(yīng)該調(diào)整到，從內(nèi)的聯(lián)系和關(guān)系上研究。這就需要考驗(yàn)教師的認(rèn)識(shí)了。 因此就需要我們進(jìn)一步研究綜合題本身的類(lèi)型和外在形式上可能的狀態(tài)和形式。換句話(huà)說(shuō)，需要我們建立一種新的界定綜合題的標(biāo)準(zhǔn)和新的認(rèn)識(shí)。只有這樣才可能使我們的復(fù)習(xí)變被動(dòng)為主動(dòng),綜合問(wèn)題

2、的分類(lèi)： 如果按照我們以前對(duì)綜合題的界定，實(shí)際上綜合題與現(xiàn)在說(shuō)的綜合題有很大的差異。 一般講我們以前說(shuō)的幾何綜合題，是指那種利用幾何圖形，實(shí)現(xiàn)利用代數(shù)知識(shí)進(jìn)行數(shù)量計(jì)算的問(wèn)題。其中題目的外在形式是以幾何圖形或者關(guān)系形成的問(wèn)題,綜合題（幾何本身的應(yīng)用） 我們界定綜合題的一般標(biāo)準(zhǔn)： 涉及知識(shí)點(diǎn)多； 涉及的數(shù)學(xué)思想多； 涉及數(shù)學(xué)方法多； 題目解題距長(zhǎng)； 涉及到的知識(shí)背景新； 設(shè)計(jì)的題目形式新,由于北京市的新課標(biāo)實(shí)施后中考命題的設(shè)計(jì)中出現(xiàn)了新的所謂的綜合題，因此，幾何綜合題已經(jīng)不是原來(lái)的意義了。 現(xiàn)在在中考題目設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的純幾何知識(shí)應(yīng)用，設(shè)計(jì)的題面比較新、且有一定難度、題型比較新穎、解題方法也比較新的題

3、目稱(chēng)之為綜合題了。 我們這樣的認(rèn)識(shí)它，實(shí)際上是從題目的功能上認(rèn)識(shí)的。因?yàn)橐话阒v這樣的題目起的作用是區(qū)分學(xué)生水平，即體現(xiàn)選拔作用的功能,就目前所考的題目的角度研究，它存在于兩種形式之中，即 其一，以一種幾何現(xiàn)象為出發(fā)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，驗(yàn)證一般或者特殊化的情況。這類(lèi)題目需要根據(jù)題意，理解一般或特殊化，尋求方法證明結(jié)論成立。 另一類(lèi)，是以一種幾何圖形滿(mǎn)足一定條件或者特定條件下運(yùn)動(dòng)，研究驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)后圖形具有的結(jié)論,這兩類(lèi)題目的解題特征： 第一類(lèi)是先分析，后移動(dòng)； 第二類(lèi)是先運(yùn)動(dòng)，后分析。 這兩類(lèi)題目的圖形構(gòu)成特征： 我們知道一個(gè)幾何問(wèn)題的構(gòu)成至少由兩個(gè)以上的圖形根據(jù)圖形的邊，角關(guān)系，依據(jù)不同的

4、位置而形成的。那么中考中的兩類(lèi)題目的圖形呈現(xiàn)的現(xiàn)象是相反的,第一類(lèi)題目： 它是把兩個(gè)以上的圖形經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)后形成的圖形關(guān)系中，把一些干擾圖形結(jié)論的線(xiàn)或者角隱藏起來(lái)形成的簡(jiǎn)化的圖形，我們要做的是把那些隱藏的圖形顯現(xiàn)出來(lái)，找到需要的條件，即分析，再動(dòng)起來(lái)。 第二類(lèi)題目： 它是在兩個(gè)圖形中，先把其中一個(gè)圖形的運(yùn)動(dòng)顯現(xiàn)出來(lái)，這時(shí)就出現(xiàn)了一些干擾關(guān)系的圖形條件，需要我們把那些干擾因素找出來(lái)，確定可用的條件，即分析,通過(guò)這樣的研究和分析，我們就回到了問(wèn)題的起點(diǎn)，即這兩類(lèi)題目共同存在的現(xiàn)象就是必須存在兩個(gè)以上的圖形，并且這兩個(gè)圖形之間存在著數(shù)量，或者位置上的關(guān)系，那么都有哪些圖形可以形成這樣的圖形關(guān)系，就是我們

5、研究綜合題的出發(fā)點(diǎn)和起點(diǎn)。 我們就這個(gè)問(wèn)題談點(diǎn)看法和想法,我們要研究?jī)蓚€(gè)圖形之間的關(guān)系，那么就要解決兩個(gè)什么樣的圖形可以結(jié)合的問(wèn)題。從綜合題的構(gòu)成角度思考，一般講，兩個(gè)或者兩個(gè)以上的圖形之間應(yīng)該存在著內(nèi)在的關(guān)系，實(shí)際上綜合題的解決首先就應(yīng)該依賴(lài)于對(duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解。 根據(jù)需要我們做這種分類(lèi)： 一、同類(lèi)圖形問(wèn)題； 二、不同類(lèi)圖形問(wèn)題,同類(lèi)圖形問(wèn)題 我們這里所說(shuō)的同類(lèi)圖形就是指那些封閉的圖形。例如三角形、特殊四邊形等。 由于在題目的構(gòu)成上存在著：先分析，再移動(dòng)以及先運(yùn)動(dòng)、再分析的兩種情況，因此，我們?cè)谘芯繒r(shí)，就按這兩種情況分別研究。 為了說(shuō)明問(wèn)題，我們結(jié)合以往的考題說(shuō)明就更明確了,如圖2，當(dāng)A

6、BC中只有ACB = 60 時(shí)，請(qǐng)你證明 與 的和等于 與 的和,圖2,本題 就是同類(lèi)型圖形結(jié)合形成的綜合題。從中我們可以體會(huì)到這一類(lèi)題目的特征。 再例如，如圖1，在菱形和菱形中，點(diǎn)A、 B 、 E在同一條直線(xiàn)上，P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，連結(jié)PG、PC若 ， 探究PG與PC的位置關(guān)系及的 值,小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交CD于H點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決 （1）寫(xiě)出上面問(wèn)題中線(xiàn)段PG與PC的位置關(guān)系及的PG與PC的比值； （2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線(xiàn)BF恰好與菱形ABCD的邊BC在同一條直線(xiàn)上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到

7、的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明 （3）若圖1中 ，將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問(wèn)題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的PG與PC 的比值（用含 的式子表示,這個(gè)題目也是北京市的中考試題，從題目的構(gòu)成上看，它也屬于同類(lèi)圖形的綜合問(wèn)題，只不過(guò)它是菱形的應(yīng)用問(wèn)題。 在這個(gè)問(wèn)題中實(shí)際上提出一個(gè)很有點(diǎn)研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，即當(dāng)圖形關(guān)系已經(jīng)滿(mǎn)足例如旋轉(zhuǎn)等條件時(shí)，應(yīng)該判斷出是旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用就可以解決問(wèn)題了，但是在這個(gè)問(wèn)題中不能這樣實(shí)現(xiàn)求解的目的，是什么因素造成的？是不是具有規(guī)律性問(wèn)題？就是我們必須研究清楚的,我們知道當(dāng)兩個(gè)圖形按照我們的設(shè)計(jì)，進(jìn)行相應(yīng)的變換后，就具備了圖形移動(dòng)后存在全等三角形

8、的條件。 但是當(dāng)在這兩個(gè)圖形中存在著新的圖形關(guān)系時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)本題的現(xiàn)象，即不能直接應(yīng)用旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論。因此就出現(xiàn)了需要判斷是否還原旋轉(zhuǎn)關(guān)系的問(wèn)題，就該點(diǎn)而言，是這道題目的價(jià)值所在,這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上以前講過(guò)： 已知正方形ABCD和正方形CEFG共頂點(diǎn)于C，M是BG的中點(diǎn) 求證：CMDE,從研究綜合題的角度講，這個(gè)問(wèn)題有必要給學(xué)生講解清楚為什么如此,前面的中考題就是這個(gè)問(wèn)題的變形應(yīng)用。由于中點(diǎn)破壞了旋轉(zhuǎn)的條件，那么就需要利用由中點(diǎn)而形成的中心對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，先研究可能的結(jié)論，再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題,在ABC中，AB=AC，BAC=（0 60 ），將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線(xiàn)段BD。 （1）如圖

9、1，直接寫(xiě)出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?； （2）如圖2，BCE=150，ABE=60，判斷ABE的形狀并加以證明； （3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若DEC=45，求的值,本題就是北京市設(shè)計(jì)的同類(lèi)圖形綜合題的第二種情況的題目。 即本題的題干設(shè)計(jì)的就是先運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，圖形運(yùn)動(dòng)到一個(gè)位置后，可以形成什么關(guān)系需要分析；再運(yùn)動(dòng)，就形成新的關(guān)系，最后在滿(mǎn)足特定的條件下求角的數(shù)量。 在這個(gè)過(guò)程中，需要學(xué)生自己構(gòu)成新的圖形，并且分析新圖形必須滿(mǎn)足的條件，其后再證明或者求解數(shù)量。對(duì)于這樣的問(wèn)題而言需要學(xué)生具有對(duì)圖形的變化方向以及結(jié)果預(yù)判的能力,不是同類(lèi)圖形問(wèn)題 在幾何命題的構(gòu)成上，如果不是同類(lèi)圖形而形成的

10、，這些應(yīng)該是基本問(wèn)題，但是由于相比同類(lèi)圖形的問(wèn)題，就顯得難度大些。 從圖形關(guān)系的角度說(shuō)，不是同類(lèi)的情況是一般情況，因此應(yīng)屬于基本問(wèn)題。只是我們平時(shí)研究的少，使這個(gè)問(wèn)題顯得難了些,不同類(lèi)圖形組合在一起，對(duì)一般模式化的東西是一種沖擊，因?yàn)樗囊?guī)律性隱藏的比較好，所以需要我們認(rèn)真的對(duì)待這類(lèi)問(wèn)題。 從往屆中考題考察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，凡是當(dāng)年考察了這個(gè)問(wèn)題，那么這年的題目就顯得難，考試的結(jié)果就不是很好，但是考察的數(shù)據(jù)卻很好，說(shuō)明它的功能性好,已知ABC中，BAC=2ACB，點(diǎn)D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，BD=BA 探究DBC與ABC度數(shù)的比值,這個(gè)題目就是典型的不同類(lèi)圖形的組合問(wèn)題，對(duì)這樣的問(wèn)題而言，我

11、們持有的分析方法似乎不能解決它。 這其中就是今天主要想表達(dá)的一些想法的延伸。 我們談同類(lèi)和不同類(lèi)的圖形問(wèn)題，實(shí)際上想表達(dá)的是，幾何問(wèn)題的形成就是因?yàn)閳D形之間的內(nèi)在的聯(lián)系才形成的，那么原始的圖形可形成的關(guān)系就是問(wèn)題產(chǎn)生的根本原因,再例如在ABC中，BA=BC，BAC=，M是的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段PA上的動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2 得到線(xiàn)段PQ。 （1） 若=60且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），線(xiàn)段CQ的延長(zhǎng)線(xiàn)交射線(xiàn)BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫(xiě)出的CDB度數(shù)； （2） 在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合，線(xiàn)段CQ的延長(zhǎng)線(xiàn)與射線(xiàn)BM交于點(diǎn)D，猜想CDB的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明； （3） 對(duì)于

12、適當(dāng)大小的 ，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得線(xiàn)段CQ的延長(zhǎng)線(xiàn)與射線(xiàn)BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍,這也是不同類(lèi)圖形的組合問(wèn)題，區(qū)別在于它是先運(yùn)動(dòng)后分析的問(wèn)題。換句話(huà)說(shuō)，它只告訴你運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的結(jié)果，那么運(yùn)動(dòng)后可能產(chǎn)生什么，就需要分析運(yùn)動(dòng)是什么運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)可能會(huì)形成什么問(wèn)題等。 由于同學(xué)本身就不習(xí)慣從兩個(gè)圖形的角度認(rèn)識(shí)我們，再加上是先運(yùn)動(dòng)后分析的情況，因此，本身就形成了難度。除此之外，還因?yàn)榇藛?wèn)題中實(shí)質(zhì)上是四點(diǎn)共圓的問(wèn)題，超出課標(biāo)要求，那就更難了,綜合上面的研究，我們可以對(duì)問(wèn)題有一個(gè)基本的描述了： 根據(jù)綜合題的構(gòu)成的基本情況，可以總結(jié)出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是需

13、要很好的研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的圖形組合問(wèn)題，把握幾何綜合題形成的基本規(guī)律。在前面我們提到過(guò)一個(gè)問(wèn)題，即最終呈現(xiàn)的是一個(gè)題目的相應(yīng)的圖形，也就是一個(gè)圖形，為了研究的需要我們可能在一些問(wèn)題上呈現(xiàn)圖形變化的過(guò)程,已知點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PD，且滿(mǎn)足BPD=90，連結(jié)PA、PC。 問(wèn)PA+PC與PB的關(guān)系是什么,我們說(shuō)研究?jī)蓚€(gè)圖形的組合問(wèn)題，那么就需要從一個(gè)最原始的圖形出發(fā)研究。為了說(shuō)明問(wèn)題，我們就從最特殊的圖形看問(wèn)題。例如正方形。 假定我們?cè)谡叫沃蟹胖靡粭l線(xiàn)段BP,這個(gè)時(shí)候，我們可以這樣的理解問(wèn)題，即第二個(gè)圖形還不確定。 那么可能出現(xiàn)的情況是兩種，其一是同類(lèi)的圖形，其二是不同類(lèi)圖形

14、。還需要滿(mǎn)足什么條件才是同類(lèi)圖形呢？ 本題中給出了一個(gè)直角，那么這個(gè)直角還隱含什么呢，由于直角頂點(diǎn)到中心的距離是等于對(duì)角線(xiàn)的一半的，實(shí)際上就相當(dāng)于告訴我們它存在著與第一個(gè)圖形相同的性質(zhì)，所以就是同類(lèi)圖形問(wèn)題,當(dāng)然這種認(rèn)識(shí)不是唯一的，我們還可以從對(duì)所研究的對(duì)象的角度研究，結(jié)果也是一樣的。 我們?cè)?jīng)說(shuō)過(guò)，直線(xiàn)形的問(wèn)題分析問(wèn)題的方法是：執(zhí)果索因。 因?yàn)樾枰芯康氖侨龡l線(xiàn)段之間的關(guān)系，此時(shí)需要我們把他們放在可以確立關(guān)系的圖形中才可能實(shí)現(xiàn)，那么就需要移動(dòng)兩條線(xiàn)段的位置與第三條線(xiàn)段形成新的關(guān)系。 此外，本題中隱含著B(niǎo)PA=BPC=DPC=45，還可以從這個(gè)角度研究問(wèn)題,因此本題可以確定的是：它是同類(lèi)圖形的

15、組合問(wèn)題。我們把正方形和等腰直角三角形看做是同一個(gè)圖形,再例如， ABC中，AB=AC，BAC=100，D是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AD=BC，確定D的度數(shù),從圖形上觀察，它不具備兩個(gè)同類(lèi)圖形的綜合問(wèn)題的條件。 這時(shí)就需要進(jìn)行必要的分析，本題在原有一個(gè)等腰三角形的基礎(chǔ)上增加了一條相等的線(xiàn)段，這個(gè)條件實(shí)際上相當(dāng)于告訴我們，存在著一個(gè)隱含的條件，即BC=AB+BD、這種情況說(shuō)明，可能存在著另一個(gè)等腰三角形。換句話(huà)說(shuō)，就是利用給出的線(xiàn)段相等的條件隱含另一個(gè)等腰三角形,由已知條件中含有頂角的度數(shù)，且又是等腰三角形，因此就可確定底角的度數(shù)，而本題需要確定角的度數(shù)，那么所求的度數(shù)應(yīng)該與本題提供的角度有關(guān)。一般

16、講所求的角都是特殊的角。 根據(jù)這兩點(diǎn)我們可以猜測(cè)到：可能是一個(gè)三十度的角，當(dāng)這種假設(shè)成立的時(shí)候，我們就發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上這個(gè)題目中隱含著第二個(gè)等腰三角形，而這個(gè)三角形的底角是三十度,再例如，四邊形ABCD中，ABC與DCB都是銳角，若AB=CD，確定AD與BC 的關(guān)系,這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上以往的中考題考過(guò)，即是等對(duì)邊四邊形問(wèn)題。今天我們重提這個(gè)話(huà)題，就是想說(shuō)明，考題的出發(fā)點(diǎn)就是兩個(gè)圖形的組合問(wèn)題，那么怎么理解呢？ 四邊形的特征是沒(méi)有關(guān)于邊的性質(zhì)，一般講四邊形也不具備邊相等的條件那么當(dāng)存在這樣一個(gè)條件時(shí)，只能說(shuō)明它是由兩個(gè)圖形組合后去掉連接線(xiàn)而形成的幾何問(wèn)題。我們只需要根據(jù)題目條件還原那些連接的線(xiàn)就可以了,

17、我們說(shuō)到四邊形不具備邊相等的條件，當(dāng)具備這個(gè)條件時(shí)，可以考慮邊相等是怎么形成的。以我們涉及到的題目為例研究，就不難發(fā)現(xiàn)形成的原因。 因?yàn)閳D形中給出的條件不能直接使用，那么就需要移動(dòng)其中一條邊的位置，即把AB或者CD移動(dòng)位置，為了使用的方便，顯然需要移動(dòng)到與另一個(gè)線(xiàn)段共頂點(diǎn)的位置，形成等腰三角形,從本題的結(jié)果看，它是一道典型的兩個(gè)不同類(lèi)圖形的組合問(wèn)題，不同類(lèi)的圖形組合還有其他的情況，再舉一例： 在ABC中，ABAC，且 求證：DB=CE,本題從最后的求證的結(jié)論看，其實(shí)就是等對(duì)邊四邊形問(wèn)題，只是它是需要證明的結(jié)論. 從中我們還可以得到等對(duì)邊相等的四邊形還可以這樣形成。 題目的條件中，只給出了兩個(gè)角

18、等，相當(dāng)于給出了新的三角形是等腰三角形，由于沒(méi)有標(biāo)注字母，因此一般意義上是不能直接應(yīng)用的條件,根據(jù)我們前面提及的方法，即想辦法把相等的線(xiàn)段湊到一起就可以形成等腰三角形了，利用平移的方法顯然不可取。 這時(shí)就出現(xiàn)了一種很特殊的位置關(guān)系，即一個(gè)等腰三角形與另一個(gè)等腰三角形的組合時(shí)，如果是底邊和腰的組合，那么怎么辦，這時(shí)唯一可用的方法，就是這兩等腰三角形具有的共性性質(zhì)就是解題的鑰匙，即軸對(duì)稱(chēng)性,在不同類(lèi)的兩個(gè)圖形的問(wèn)題上，當(dāng)兩個(gè)都是特殊圖形時(shí)，就存在著類(lèi)似的現(xiàn)象，需要我們研究,研究的延伸 在我們以往研究中研究過(guò)一些具有特殊條件或者特殊規(guī)律的問(wèn)題，那么在研究綜合問(wèn)題時(shí)，這些問(wèn)題是否還有用武之地呢？ 例如，正方形ABCD中，E、F是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=45，AE、AF交BD于M、N 會(huì)形成：EF與BE、DF以及MN與MB、DN的關(guān)系的研究,當(dāng)MAN=45移動(dòng)位置，即當(dāng)這個(gè)角的一部分移動(dòng)到正方形的外部時(shí)，MN與DN、MB還存在關(guān)系嗎,有這樣一個(gè)問(wèn)題： 已知ABC中，C=60，ACBC，BC上一點(diǎn)D，使BD=AC，延長(zhǎng)AC至E，使AC=CE 求證：DE=AB,我們給這個(gè)命題的目的，其一它是涉及到兩個(gè)三角形的組合問(wèn)題；其二它對(duì)于我們研究綜合命題的分析很重要，體現(xiàn)了正確的分析方法的重要性。 在這個(gè)問(wèn)題中具有很多的提示性，對(duì)我們來(lái)講，怎么引導(dǎo)學(xué)生也能讀懂