簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1、二、同方向不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,一、同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,三、兩個(gè)互相垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,研究方法： 采用振動(dòng)描述的三種方法來分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,20-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成和分解,本講主要內(nèi)容,五、諧振分析和頻譜,四、兩個(gè)互相垂直不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng),一、同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,討論兩個(gè)特例,1)兩個(gè)振動(dòng)同相,由,由,2)兩個(gè)振動(dòng)反相,合成振動(dòng),合成振動(dòng),上述結(jié)果說明兩個(gè)振動(dòng)的相位差對(duì)合振動(dòng)起著重要作用,合成振動(dòng),例: 兩個(gè)沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動(dòng)合成后，產(chǎn)生一個(gè)具有相同振幅的諧振動(dòng)，求原來兩個(gè)振動(dòng)的相位差

2、,解,例: N個(gè)同方向，同頻率的諧振動(dòng)，若它們相位依次為， 2，,試求它們的合振幅;并證明當(dāng)N=2k 時(shí)的合振幅為零,解：合振幅A,由OPa可看出,分析： 當(dāng)N=2k 時(shí)的合振幅為零,請(qǐng)大家自行練習(xí),請(qǐng)記住這個(gè)結(jié)論！做筆記,當(dāng)=2k 時(shí)的合振幅為最大,仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng),若1= 2 ,則 不變,若1 2 ,則 變,為一復(fù)雜運(yùn)動(dòng),采用旋轉(zhuǎn)矢量表示法,同方向同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,二.同方向不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,同方向不同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,設(shè)兩振動(dòng)振幅相同，并以它們的初相位都為零時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn),采用解析法,振動(dòng)曲線示意圖,為一復(fù)雜振動(dòng),和頻,差頻,振幅周期性變化,拍現(xiàn)象（Beat,即 1-

3、2 1 or 2,x1,拍現(xiàn)象（Beat,即 1- 2 1 or 2,解析式,振動(dòng)曲線,振幅隨時(shí)間的變化非常緩慢,振幅調(diào)制因子Amplitude modulation factor,一個(gè)強(qiáng)弱變化所需的時(shí)間,x1,x2,合振幅變化的頻率即拍頻,手風(fēng)琴的中音簧： 鍵盤式手風(fēng)琴（Accordion)的兩排中音簧的頻率大概相差6到8個(gè)赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍”頻。而俄羅斯的“巴揚(yáng)”-紐扣式手風(fēng)琴則是單簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果,利用拍頻測(cè)速 從運(yùn)動(dòng)物體反射回來的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過測(cè)量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運(yùn)動(dòng)速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對(duì)衛(wèi)星、各種交通

4、工具的雷達(dá)測(cè)速裝置中,拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象,仍為諧振動(dòng)，但是振動(dòng)方向改變了,三、兩個(gè)互相垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,軌跡為圓,右旋,提問：若y方向振動(dòng)落后x方向，則結(jié)果如何,畫合運(yùn)動(dòng)的軌跡：可在x、y方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把小點(diǎn)按順序用曲線聯(lián)起來，即可得所求合運(yùn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,兩個(gè)互相垂直不同振幅同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,與合成相反：一個(gè)圓運(yùn)動(dòng)或橢圓運(yùn)動(dòng)可分解為相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng),四、兩個(gè)互相垂直不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,如果兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率不相同，它們的合運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只討論簡(jiǎn)單的情形,兩振動(dòng)的頻率只有很小的差異,則可以近似地看做同頻率的合成，不過相差在緩

5、慢地變化，因此合成運(yùn)動(dòng)軌跡將要不斷地按上圖所示的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直線變成橢圓再變成直線等等,如果已知一個(gè)振動(dòng)的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個(gè)振動(dòng)的周期，這是一種比較方便也是比較常用的測(cè)定頻率的方法,則合成運(yùn)動(dòng)又具有穩(wěn)定的封閉的運(yùn)動(dòng)軌跡。這種圖稱為李薩如圖,如果兩振動(dòng)的頻率相差較大，但有簡(jiǎn)單的整數(shù)比,五、諧振分析和頻譜,在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動(dòng)大多不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是復(fù)雜的振動(dòng)，處理這類問題，往往把復(fù)雜振動(dòng)看成由一系列不同頻率的間諧振動(dòng)組合而成，也就是把復(fù)雜振動(dòng)分解為一系列不同頻率的間諧振動(dòng)，這樣分解在數(shù)學(xué)上的依據(jù)是傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為傅立葉

6、分析,自學(xué),先看一個(gè)倍頻諧振動(dòng)的例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動(dòng)，頻率之比為3:1，實(shí)線代表它們的合振動(dòng)，圖（a),(b), (c)分別表示三種不同的初相位所對(duì)應(yīng)的合振動(dòng)。三種不同情況，和振動(dòng)各有不同形式，它們不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但仍然是周期運(yùn)動(dòng)，而且合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)中的最低頻率（基頻）相等,如果分振動(dòng)不止兩個(gè)，而且它們的振動(dòng)頻率是基頻地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動(dòng)仍然是周期運(yùn)動(dòng)，其頻 率等于倍頻。按規(guī)律,如果增加合成的項(xiàng)數(shù)，就可以得到方波形的振動(dòng),既然一系列倍頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是頻率等于基頻的周期運(yùn)動(dòng)，那么，與之相反，任意周期性振動(dòng)都可以分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)，各個(gè)分振動(dòng)的頻率都是原振動(dòng)頻率的整

7、數(shù)倍，其中與原振動(dòng)頻率一致的分振動(dòng)稱為基頻振動(dòng)，其它的分振動(dòng)則依照各自的頻率相對(duì)于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、諧頻振動(dòng)。這種把一個(gè)復(fù)雜的周期振動(dòng)分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和的方法，稱為諧振分析,各系數(shù)可由公式得,其中,為了顯示實(shí)際振動(dòng)中所包含的各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)情況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來。若用橫坐標(biāo)表示各諧頻振動(dòng) 的頻率，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動(dòng)的振幅分布圖，稱為振動(dòng)的頻譜。不同的周期運(yùn)動(dòng)，具有不同的頻譜，周期運(yùn)動(dòng)的各諧振成分的頻率都是基頻的整數(shù)倍， 所以它的頻譜是分立譜,不同樂器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色各不相同，就是由于各種樂器所包含的諧頻振動(dòng)的振幅不同所致。下圖表示

8、小提琴和鋼琴同奏基頻為440Hz(A調(diào)）的振動(dòng)曲線和相應(yīng)的頻譜,近年來，配備有數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的專用儀器相繼問世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機(jī)、信號(hào)處理機(jī)等， 使用這類儀器可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成頻譜分析,在阻尼較小時(shí)， 0,由牛頓第二定律,令,代入上式（ 稱為阻尼因子,稱為阻尼系數(shù),對(duì)于摩擦阻尼， 當(dāng) 不太大時(shí),阻尼振動(dòng)（摩擦阻尼，輻射阻尼,略講自學(xué),20.3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng),阻尼振動(dòng)的特點(diǎn)： 1.振幅特點(diǎn):振幅A(t) = A0e- t 振幅隨t衰減(因?yàn)檎駝?dòng)能量不斷損耗) 2.周期特點(diǎn):嚴(yán)格講，阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)，更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因?yàn)槲灰苮(t)不是t的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某

9、種重復(fù)性,式中,稱為阻尼振動(dòng)振幅,三種阻尼flash演示,曲線,為 過阻尼振動(dòng),曲線為 臨界阻尼,在生產(chǎn)實(shí)際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小,圖中曲線1,2為 阻尼振動(dòng),設(shè) 為物體相繼兩次通過極大(或極小)位置所經(jīng)時(shí)間,阻尼、臨界阻尼和過阻尼,受迫振動(dòng),驅(qū)動(dòng)力,運(yùn)動(dòng)方程,穩(wěn)態(tài)振動(dòng)后，方程的解為,對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)一定時(shí)，位移振幅A隨頻率 而改變,注意:穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)與無(wú)阻尼自由振動(dòng)實(shí)質(zhì)有所不同,令,頻率為外力頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率無(wú)關(guān),受迫振動(dòng)特點(diǎn)： 穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化(要注意它和無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)的區(qū)別)。 角頻率：等于策動(dòng)力的角頻率 。 振幅：由系統(tǒng)參數(shù)(0)，阻尼()，策動(dòng)力(F0，)共同決定。 A的大小敏感于和0的相對(duì)大小關(guān)系，而和初始條件(x0、0和F0)無(wú)關(guān)。 初相：亦決定于0、F0和，與初始條件無(wú)關(guān)。值在- 0之間?？梢?，位移x落后于策動(dòng)力f的變化( f的初相為零,共振,2）速度共振（圖2,1）位移共振（圖1,在一定條件下，振幅出現(xiàn)極大值，振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象,一定條件下，速度幅A極大的現(xiàn)象,即速度共振時(shí)，速度與策動(dòng)力同相，一周期內(nèi)策動(dòng)力總作正功，此時(shí)向系統(tǒng)輸入的能量最大,俄羅斯伏爾加大橋恐怖蛇形振動(dòng),為合振幅隨時(shí)間作緩慢變化