空間幾何體的表面積和體積

1、1.3 簡單幾何體的表面積和體積,1.3.1 柱體、錐體、臺體 的表面積與體積,1、表面積：幾何體表面的面積,2、體積：幾何體所占空間的大小,表面積、全面積和側面積,表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個面的面積相加 ） 全面積全面積是立體幾何里的概念，相對于截面積（“截面積”即切面的面積）來說的，就是表面積總和 側面積指立體圖形的各個側面的面積之和（除去底面,棱柱、棱錐、棱臺的側面積,側面積所指的對象分別如下： 棱柱-直棱柱。 棱錐-正棱錐。 棱臺-正棱臺,2.幾何體的表面積 （1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是 . （2）圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是 、 、 ；它

2、們的表面積等于,各面面積,之和,矩,形,扇形,扇環(huán)形,側面積,與底面面積之和,回憶復習有關概念,1、直棱柱,2、正棱柱,3、正棱錐,4、正棱臺,側棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心 的棱錐,正棱錐被平行于底面的平面所截， 截面和底面之間的部分叫正棱臺,作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個，找出 斜高,斜高的概念,2、分別作出一個圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉軸,分別經過旋轉軸作一個平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形,矩 形,等腰三角形,等腰梯形,直棱柱：設棱柱的高為h，底面多邊形的周長為c，則 S直棱柱側 .（類比矩形的面

3、積） 圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線長為l，那么 S圓柱側 .（類比矩形的面積,ch,2rl,知識點一：柱、錐、臺、球的表面積與側面積,1)柱體的側面積,把直三棱柱側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？ 側面積怎么求,棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積,h,正棱柱的側面展開圖,2.棱柱、棱錐、棱臺的展開圖及表面積求法,思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖 有什么關系,長方形,圓柱的側面展開圖是矩形,3.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖及表面積求法,圓柱,正棱錐：設正棱錐底面正多邊形的周長為c，斜高為h，則 S正棱錐側 .（類比三角形的面積）

4、圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線長為l，那么 S圓錐側 .（類比三角形的面積,12ch,rl,2)錐體的側面積,把正三棱錐側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？ 側面積怎么求,棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積,正三棱錐的側面展開圖,棱錐的展開圖,正五棱錐的側面展開圖,棱錐的展開圖,思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖 有什么關系,扇形,圓錐的側面展開圖是扇形,圓錐,正棱臺：設正n棱臺的上底面、下底面周長分別為c、c，斜高為h，則正n棱臺的側面積公式：S正棱臺側 . 圓臺：如果圓臺的上、下底面半徑分別為r、r，母線長為l，則S圓臺側,1

5、2(cc)h,l(rr,3)臺體的側面積,注：表面積側面積底面積,把正三棱臺側面沿一條側棱展開，得到什么圖形？ 側面積怎么求？（類比梯形的面積,正四棱臺的側面展開圖,棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積,棱臺的展開圖,參照圓柱和圓錐的側面展開圖，試想象圓臺的側面展開圖是什么,圓臺的側面展開圖是扇環(huán),圓臺,思考：把圓柱、圓錐、圓臺的側面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖 有什么關系,扇環(huán),圓臺側面積公式的推導,圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系,棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體,棱柱、棱錐、棱臺的表面積,它們的側面展開圖還是平面圖形,計算它

6、們的表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積 之和,例1：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側面積,分析：關鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,例3：圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側面展開圖扇環(huán)所對的圓心角,分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關鍵,小結：1、抓住側面展開圖的形狀，用好相應的計算公式，注意逆向用公式； 2、圓臺問題恢復成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺問題，注意相似比,答：1800,例：圓臺的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺的側面積是多少？（結果中保留

7、,小結：1、弄清楚柱、錐、臺的側面展開圖的形狀是關鍵； 2、對應的面積公式,例1：一個正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側棱長為4，則其側面積為 _,答：60,例2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個小棱錐和一個棱臺，求棱臺的側面積,例3 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積,B,C,A,S,分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成,因此，四面體S-ABC 的表面積,交BC于點D,例4(2010年廣東省惠州市高三調研)如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點，AEDE. (1)求此正三棱柱的側棱長； (

8、2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面積,思路點撥】(1)證明AED為直角三角形，然后求側棱長；(2)分別求出側面積與底面積,點評】求表面積應分別求各部分面的面積，所以應弄清圖形的形狀，利用相應的公式求面積，規(guī)則的圖形可直接求，不規(guī)則的圖形往往要再進行轉化，常分割成幾部分來求,思考：怎樣求斜棱柱的側面積？ 1）側面展開圖是 平行四邊形 2）S斜棱柱側=直截面周長側棱長 3） S側=所有側面面積之和,1高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體的結構，準確應用面積公式，就可以順利解決,幾何體的表面積問題小結,2多面體的表面積是各個面的面積之和圓柱

9、、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和 3幾何體的表面積應注意重合部分的處理,幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積,一、體積的概念與公理,公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積,V長方體= abc,推論1 、長方體的體積等于它的底面積s和高h的積,V長方體= sh,推論2 、正方體的體積等于它的棱長a 的立方,V正方體= a3,公理2、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等,冪勢既同，則積不容異,祖暅原理,定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積

10、等于它的底面積 s 和高 h 的積,V柱體= sh,二：柱體的體積,三:錐體體積,例2,如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h,答:可分成棱錐A-D1DC, 棱錐A-D1C1C, 棱錐A-BCD,問：（1）從A點出發(fā)棱柱能分割成幾個三棱錐,3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h,注意：三棱錐的頂點和底面可以根據需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，可以用來求點到面的距離,問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積,定理如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是,推論：如果圓錐的底面半徑是，高是， 那么它的體積是,圓錐,h,x,四.臺體的體積,V臺體,上下底面積分

11、別是s/,s,高是h，則,推論：如果圓臺的上,下底面半徑是r1.r2,高是，那么它的體積是,五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關系,S為底面面積，h為柱體高,S分別為上、下底面面積，h 為臺體高,S為底面面積，h為錐體高,1)長方體的體積 V長方體abc . (其中a、b、c為長、寬、高，S為底面積，h為高) (2)柱體(圓柱和棱柱)的體積 V柱體Sh. 其中，V圓柱r2h(其中r為底面半徑,Sh,知識點二柱、錐、臺、球的體積,3)錐體(圓錐和棱錐)的體積 V錐體 Sh. 其中V圓錐 ， r為底面半徑,13r2h,4)臺體的體積公式 V臺h(SS) 注：h為臺體的高，S和S分別為上下兩個

12、底面的面積 其中V圓臺 注：h為臺體的高，r、r分別為上、下兩底的半徑 (5)球的體積 V球,13h(r2rrr2,13R3,例從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾,1求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法,幾何體的體積小結,2計算柱體、錐體、臺體的體積關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題,R,R,球的體積,一個半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個 以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐 后，所

13、得的幾何體的體積與一個半徑為R的 半球的體積相等,探究,R,R,第一步：分割,O,球面被分割成n個網格， 表面積分別為,則球的表面積,則球的體積為,設“小錐體”的體積為,知識點三、球的表面積和體積,O,第二步：求近似和,O,由第一步得,第三步：轉化為球的表面積,如果網格分的越細,則,由 得,設球的半徑為R，則球的體積公式為 V球,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面積之比4，則它們的半徑之比_,1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼谋丁?(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋丁?(3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是。 (4)若兩球體積之比是1

14、:2，則其表面積之比是,例2,例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積,分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等,略解,變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=。 變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S,關鍵,找正方體的棱長a與球半徑R之間的關系,例4已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積,解：如圖，設球O半徑為R， 截面O的半徑為r,例5、有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正

15、方體的各側棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比,作軸截面,規(guī)律方法總結,1直棱柱的側面展開圖是一些矩形，正棱錐的側面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺的側面展開圖是一些全等的等腰梯形 2斜棱柱的側面積等于它的直截面(垂直于側棱并與每條側棱都相交的截面)的周長與側棱長的乘積,3如果直棱柱的底面周長是c，高是h，那么它的側面積是S直棱柱側ch. 4應注意各個公式的推導過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導中的作用,規(guī)律方法總結,5如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側面積或全面積時，應對每一個側面的面積分別求解后再相加

16、 6求球的體積和表面積的關鍵是求出球的半徑反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大小 7計算組合體的體積時，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構成，然后再通過軸截面分析和解決問題,8計算圓柱、圓錐、圓臺的體積時，關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，應注意充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解,題型一 幾何體的展開與折疊 有一根長為3 cm，底面半徑為1 cm的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并 使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端, 則鐵絲的最短長度為多少？ 把圓柱沿這條母線展開，將問題轉 化為平面上兩點間的最短距離,題型分類 深度剖析,

17、解 把圓柱側面及纏繞其上 的鐵絲展開，在平面上得到 矩形ABCD（如圖所示）， 由題意知BC=3 cm， AB=4 cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位 置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度. 故鐵絲的最短長度為5 cm,求立體圖形表面上兩點的最短距離 問題，是立體幾何中的一個重要題型.這類題目的 特點是：立體圖形的性質和數量關系分散在立體 圖形的幾個平面上或旋轉體的側面上.為了便于發(fā) 現它們圖形間性質與數量上的相互關系，必須將 圖中的某些平面旋轉到同一平面上，或者將曲面 展開為平面，使問題得到解決.其基本步驟是：展 開（有時全部展開，有時部分展開）為平面圖形， 找出表示最短距離的線段，再計

18、算此線段的長,題型二 旋轉體的表面積及其體積 如圖所示,半徑為R的半圓內的 陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋 轉一周得到一幾何體,求該幾何體的 表面積(其中BAC=30)及其體積. 先分析陰影部分旋轉后形成幾何體的 形狀,再求表面積,解 如圖所示, 過C作CO1AB于O1,在半圓中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解決這類題的關鍵是弄清楚旋轉后所 形成的圖形的形狀，再將圖形進行合理的分割， 然后利用有關公式進行計算,知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內作一個內 接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它 的側面積最大？側面積的最大值是多少？ 解

19、 如圖為軸截面. 設圓柱的高為h，底面半徑為r， 側面積為S，則,知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內作一個內 接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它 的側面積最大？側面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設圓柱的高為h，底面半徑為r， 側面積為S，則,題型三 多面體的表面積及其體積 一個正三棱錐的底面邊長為6，側棱長 為 ，求這個三棱錐的體積. 本題為求棱錐的體積問題.已知底面 邊長和側棱長，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據體積公式求出其體積. 解 如圖所示， 正三棱錐SABC. 設H為正ABC的中心， 連接SH， 則SH的長即為該正三棱錐的高,連接AH并延長交BC于E， 則E為

20、BC的中點，且AHBC. ABC是邊長為6的正三角形,求錐體的體積，要選擇適當的底面和 高，然后應用公式 進行計算即可.常用方 法：割補法和等積變換法. （1）割補法：求一個幾何體的體積可以將這個幾 何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出錐體和柱 體的體積，從而得出幾何體的體積. （2）等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為 三棱錐的底面.求體積時，可選擇容易計算的方 式來計算；利用“等積性”可求“點到面的 距離,題型四 組合體的表面積及其體積 (12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E為AB的中點， 將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求

21、形成的三棱錐的外接球的體積. 易知折疊成的幾何體是棱長為1的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可. 解 由已知條件知，平面圖形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個正四面體. 2分,方法一 作AF平面DEC，垂足為F， F即為DEC的中心. 取EC的中點G，連接DG、AG， 過球心O作OH平面AEC. 則垂足H為AEC的中心. 4分 外接球半徑可利用OHAGFA求得. 在AFG和AHO中，根據三角形相似可知,6分,10分,12分,方法二 如圖所示，把正四面體放在正 方體中.顯然，正四面體的外接球就 是正方體的外接球. 3分 正四面體的棱長為1， 正方體的棱長為 ， 6分,9分,12