反常積分習(xí)題1

1、反常積分概念 1 1、討論下列無窮積分是否收斂？若收斂，則求其值：221dxx?x?dxdxxedxxe； （1） （3 ） ； （2）（4）； 2)xx(1?01?0xe dxdxx?x?xdxsinsinxdxee）8 （7）； （5）； （6； 254x?4x0?2?0?x1? 1）因?yàn)榻猓?A1A?2222x?x?x?x?dxdxxe?xelim?xedxe?lim 02000?A?A?2111111x?2A?0?lim?e?dxxe? 收斂，其值為 故。 222222?0?A221x?x?0?222x?xx?0?xedxdxxexedx?dxxe?dxxe其值2（）故收斂，= 20?

2、0? 0。為xAxA1dx?A? ?edxlim?lim(2?2e)?2e2?lim?222）（3000xA?A?A?e 1?dx收斂，其值為2。 故0xedxdxx?11?A?A?lim?dx?lim? （4） 222x1?)x1x?(1x)x(x?111?A?A? A111?A?lnA?1)?lim(ln)?1?lim(ln(1x)?nx?21?ln 1AAx?A?A?1 dx?2?ln1 因此收斂，其值為。 2)?1xx(11dxdxdxdx? ?2）5（1 22224)x4?(x?4x?5124)?4?(2x?)(2x?11? 2 11dtdt du1du?220?0? 222241?

3、1u?u4?4t?t?0?0? AA11?u?arctan?limarctanu)arctan(?A?limarctanA? ? 0044?A?A?dx11?2arctanA?2lim 所以收斂，其值為 24424454x?4x?A?xx?x?x?xdxcossinx?xe?e?esin?sinxdx?e ）因?yàn)椋?xcossinx?x?xx?xx?c?exdxsin?exdxe?sinsinx?eecox從而 2 A xcosx?sin1A?cosAsin?A?x?x?e?lim)?exdx?lime(sin?故 2202?0?A?A 11?x?xdxsine?收斂，其值為 可見 220xx

4、xxxx?xdxsinx?e?ecosxdx?esinx?ecosxesinxdx?esin因?yàn)椋?） xcossinx?A?xxxx?xdxsinlimeesinxdx?cexdx?esin所以于是 200?A Ax?cossinx1A?cosAsinAx?limee?lim 0222?A?A0?xx?xdxsinxdxesinsin?xdx?ee發(fā)散因最后的極限不存在，故?0? ?22?dsecdxdsec?d?sec?222 （8） ?sec000022?tamx?11?2 A?|sec?tan?limln|secA?tanA?limln|故限不存在，因?yàn)樽詈蟮臉O0xx?A?A 22dx

5、? 不收斂02x?1 、討論下列瑕積分是否收斂？若收斂，則求其值：2xdxdxdx112b?dx；）； ； （1 ）（3（2； （）4 2x?1p002|1x(x?a)?|0ax1? xdxdx1111?dxxdxln；（8 （7（5）； ； （6 ） px1?)xx(ln00002x?x b1dxbb?dxlim?|a|x?limln1?p 時，有解（1）當(dāng) puax?)a(x?uaa?uaa?|a|u?|)ln|b?a|?limln?lim(ln|b?a|?ln|ua =。an?u?adxb?1p? 時，發(fā)散。因最后的極限不存在，故當(dāng) p)(x?aadx1b1p?1p?a)?(u?a?li

6、m(b?)1?p 時，有當(dāng) p1?p)ax?(aa?n1?p?1p?)a(b?)?ab(dxb?1?p?收斂，其值為 故僅當(dāng)時， p1?1p?p?)(ax?a udxdx1u?lim?|?lim(ln|1?x|?ln|1x? （2）因?yàn)?220xx1?1?001u?1u?dx1?|)u1?u|?ln|(ln?lim|1?發(fā)散。因最后的極限不存在，故 2x1?01?u 11?2udxdxdx221?)(x?1?lim?2(1x)?2?22?因?yàn)椋?）u01|x?1x1?x|1001?u? 11dx2 ?4?12?2?(u?)?(?lim221u22收斂，故其值為4。|x|?101?u 3 12)

7、?xd(1?1 ux 2u12? limdx?)x)?(1?lim2 ）因?yàn)椋?000221u?1?ux11?x?x112?dx1)?lim1?(1?u 故1收斂，其值為 2021?ux?11 11?1?u)?lim?(?1?ulu?)1?x?lnxdx?lim(lnlnxdx?limx）因?yàn)椋?uu00?u0u?0?u 1?xdxln 。因此收斂，其值為102?11tx2u?1?2?dt?limdtdx? 6）因?yàn)椋? 2222t1?(1?t)x1?)t(1?000?u? u11u?lim?2axctanu?axctan 2221?u?u?x11u1?1?dx?2?limarctanu?2?

8、。，其值為故收斂， 2x1?221?u22220?u? dxdxdx2111? （）因?yàn)?1000112xx?22)x?1?2()?(x224 limu?du11?)?u?2(x?(?arcsinu?2?limarcsinu?2 21?uu21?21u?u1? dx1? 因此收斂，其值為。02xx? udx1?1?p)ln(lnx)?lim?limln(lnx ）當(dāng)8時，（ ?exxln01u?0u?)?limln(lnln(lnln(ln?limln(lnu)?) 0?1u?u?)u?lim(ln?limln(ln 極限不存在。01u?uup?1p1?)(lnu)xdx(ln1?lim1?p

9、?lim極限不存在。當(dāng)時， pp1?0p1?)(lnxx01u?1u? 4 1p1?p1?)(lnu)xdx(ln1?lim?1p?lim?極限不存在。時，當(dāng) pp?1up1?)x(lnx00u?0u? dx1? 不收斂。綜上可知： p)x(lnx0bb2?dx(xf)dx)(fx 不一定收斂。3、舉例說明：瑕積分收斂時，aa dxdx111112?f?(xdx)f(x)?(dxx)f發(fā)散。令收斂，則但中， 解 在習(xí)題2 xxx0000 ?f(x)dxlimf(x)?0),?fa。收斂且4、舉例說明：上連續(xù)時，不一定有在a?x 1?, x不為然數(shù)1dx?A A?2lim)dx?1f(xlim?)(xfx?則解 令 2xx11?A?A?1, x為自然數(shù)? lim不存在。 但極限)?x?f(x5 ?f(x)dxlimf(x)?A則收斂，且存在極限A5、證明：若=0 a?x? limf(x)?Alimf(x)?A?0,A?0。不妨設(shè) 由于存在，設(shè) 證 ?x?xAA?0f(x?)?0,?MMx?，從而有對，使得當(dāng)時 22A?f(x)dx?f(x)dx?dx?A?0。,與 收斂矛盾。故 2aMM?(x)fdx