2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解5-3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、專題5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1. 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，了解三角函數(shù)的周期性.2本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等.3.高考預(yù)測(cè)：（1） “五點(diǎn)法”作圖；（2）三角函數(shù)的性質(zhì)；（3）往往將三角恒等變換與三角函數(shù)圖象、性質(zhì)結(jié)合考查.4.備考重點(diǎn)：（1）掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象；（2）掌握三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及最值.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，既無(wú)最大值，也無(wú)最小

2、值周期性奇偶性,奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱圖形.知識(shí)點(diǎn)2“五點(diǎn)法”做函數(shù)的圖象“五點(diǎn)法”作圖：先列表，令，求出對(duì)應(yīng)的五個(gè)的值和五個(gè)值，再根據(jù)求出的對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描出五個(gè)點(diǎn)，再把五個(gè)點(diǎn)利用平滑的曲線連接起來(lái)，即得到在一個(gè)周期的圖象，最后把這個(gè)周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數(shù)的圖象.【典例剖析】高頻考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義域和值域【典例1】（2020山東高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)【答案

3、】【解析】解不等式，可得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【典例2】（2017新課標(biāo)2）函數(shù)（）的最大值是_【答案】1【解析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式，則 ，由可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1【規(guī)律方法】1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解2三角函數(shù)值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所給的三角函數(shù)式變換成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(4)利用sin xcos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域【變式探究】1.（

4、2020上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，最小值為，則_，_.【答案】 【解析】由已知得，解得.故答案為：；.2.（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）要使函數(shù)有意義，必須使.由正弦的定義知，就是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是非負(fù)數(shù).角的終邊應(yīng)在軸或其上方區(qū)域，.函數(shù)的定義域?yàn)?（2）要使函數(shù)有意義，必須使有意義，且.函數(shù)的定義域?yàn)?【總結(jié)提升】在使用開(kāi)平方關(guān)系sin和cos時(shí)，一定要注意正負(fù)號(hào)的選取，確定正負(fù)號(hào)的依據(jù)是角所在的象限，如果角所在的象限是已知的，則按三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)來(lái)確定正負(fù)號(hào)；如果角所在的象限是未知的，則

5、需要按象限進(jìn)行討論高頻考點(diǎn)二 三角函數(shù)的單調(diào)性【典例3】（2020海南楓葉國(guó)際學(xué)校高一期中）函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）ABCD【答案】D【解析】由五點(diǎn)作圖知，解得，所以，令，解得，故單調(diào)減區(qū)間為（，），故選D.【典例4】（2020河南洛陽(yáng)高一期末（理）已知，則，的大小關(guān)系是（ ）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所?故選：.【典例5】（2020浙江柯城衢州二中高三其他）已知函數(shù)，則的最大值為_(kāi)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_.【答案】2 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以的最大值為2，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，解得.故答案為：(1). 2 (2). 【規(guī)律方

6、法】1.求形如或 (其中A0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過(guò)解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：把“ ()”視為一個(gè)“整體”；A0(A0，0)的函數(shù)最值通常利用“整體代換”，即令xZ，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為yAsinZ的形式求最值3.正切函數(shù)單調(diào)性的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)正切函數(shù)在定義域上不具有單調(diào)性(2)正切函數(shù)無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，有無(wú)數(shù)個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，在(，)，(，)，上都是增函數(shù)(3)正切函數(shù)的每個(gè)單調(diào)區(qū)間均為開(kāi)區(qū)間，不能寫(xiě)成閉區(qū)間，也不能說(shuō)正切函數(shù)在(，)(，)上是增函數(shù)高頻考點(diǎn)三 三角函數(shù)的周期性【典例6】（2018年全國(guó)卷文）函數(shù)的最小正周期為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知得

7、的最小正周期故選C.【規(guī)律方法】1.求三角函數(shù)的周期的方法（1）定義法：使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有.利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路，非常適合選擇題；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個(gè)公式不要弄混；(3)圖象法：可以畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫(huà)出函數(shù)草圖的函數(shù)；(4)絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定. 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變.2.使用周期公式，必

8、須先將解析式化為或的形式；正弦余弦函數(shù)的最小正周期是，正切函數(shù)的最小正周期公式是；注意一定要注意加絕對(duì)值.3.對(duì)稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心、相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是四分之一個(gè)周期;正切曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.【變式探究】已知函數(shù)ysinx|sinx|(1)畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(2)這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是，求出它的最小正周期【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）是，2.【解析】 (1)ysinx|sinx|函數(shù)圖象如圖所示(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象每隔2重復(fù)一次，則函數(shù)的周期是2【特別提醒】最小正周期是指使

9、函數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的最小正數(shù)，是對(duì)x而言，而不是對(duì)x而言.高頻考點(diǎn)四 三角函數(shù)的奇偶性【典例7】（2018屆遼寧省丹東市測(cè)試（二）設(shè)，若，則函數(shù)A. 是奇函數(shù) B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. 是偶函數(shù) D. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【解析】由題意得， ，函數(shù)為偶函數(shù)故選C【規(guī)律方法】1. 一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù).2. 如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利

10、用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見(jiàn)的結(jié)論如下：(1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；(2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；(3)若為奇函數(shù)則有.【變式探究】（浙江省2019屆高考模擬卷（二)）函數(shù)的圖象可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除C,D又當(dāng)時(shí)，因此可排除B故選A【特別提醒】利用定義判斷與正切函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則，即首先要看f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再判斷f(x)與f(x)的關(guān)系高頻考點(diǎn)五 三角函數(shù)的對(duì)稱性【典例8】（2018年江蘇卷）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

11、則的值是_【答案】【解析】由題意可得，所以，因?yàn)?，所以【?guī)律方法】函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，往往先將函數(shù)化成的形式，其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心, 關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心【變式探究】（2021廣西欽州一中高三開(kāi)學(xué)考試（理）關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：的圖像關(guān)于軸對(duì)稱. 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱. 的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.其中所有真命題的序號(hào)是_.【答案】【解析】對(duì)于，定義域?yàn)?，顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，命題正確；對(duì)于，則，所以的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題錯(cuò)誤；對(duì)，則，所以的圖象

12、不關(guān)于對(duì)稱，命題錯(cuò)誤；對(duì)，則，命題正確.故答案為：.【特別提醒】1.求yAsin(x)或yAcos(x)函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，應(yīng)把x作為整體，代入相應(yīng)的公式中，解出x的值，最后寫(xiě)出結(jié)果2.正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是(，0)而非(k，0)(kZ)高頻考點(diǎn)六 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用【典例9】（2018年理北京卷】設(shè)函數(shù)f（x）=，若f(x)f(sc4)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】因?yàn)閒(x)f(sc4)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因?yàn)?，所以當(dāng)k=0時(shí)，取最小值為.【典例10】（2020上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是_，最小值是_.【答案】 【解析】即

13、，故答案為：；【典例11】（2020陜西省漢中中學(xué)（理）已知函數(shù)的周期是.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的最值及其對(duì)應(yīng)的的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）解：,又,的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）解：,當(dāng)時(shí),當(dāng),即時(shí),【規(guī)律方法】1求形如yasinxb的函數(shù)的最值或值域時(shí)，可利用正弦函數(shù)的有界性(1sinx1)求解2對(duì)于形如yAsin(x)k(A0)的函數(shù)，當(dāng)定義域?yàn)镽時(shí)，值域?yàn)閨A|k，|A|k；當(dāng)定義域?yàn)槟硞€(gè)給定的區(qū)間時(shí)，需確定x的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定值域3求形如yasin2xbsinxc，a0，xR的函數(shù)的值域或最值時(shí)，可以通過(guò)換元，令tsinx，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為

14、關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值，求解過(guò)程中要注意正弦函數(shù)的有界性4求形如y，ac0的函數(shù)的值域，可以用分離常量法求解；也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解出y綜上可知，求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函數(shù)的有界性、單調(diào)性求解；(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)求解注意求三角函數(shù)的最值對(duì)應(yīng)的自變量x的值時(shí)，要考慮三角函數(shù)的周期性【變式探究】1.（2020山東濰坊高一期末）若函數(shù)的最小正周期為，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的最小正周期為，可得，解得，即，令，即，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，又由，所以.故選：C.2.（2020陜西新城西安中學(xué)高三月考（文）設(shè)，若不等式對(duì)于任意的恒成立，則的取值范