函數(shù)的連續(xù)性的例題與習(xí)題一

1、 函數(shù)的連續(xù)性的例題與習(xí)題函數(shù)連續(xù)性這個(gè)內(nèi)容所涉及到的練習(xí)與考試題目，大致有3大類。第一類是計(jì)算或證明連續(xù)性；第二類是對(duì)間斷點(diǎn)（或區(qū)間）的判斷，包括間斷點(diǎn)的類型；第三類是利用閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)（最值性質(zhì)，零點(diǎn)存在性質(zhì)），進(jìn)行理論分析。下面就這三大類問(wèn)題，提供若干例題和習(xí)題。還是那句老話：看到題目不要看解答，而是先思考先試著做！這是與看文學(xué)小說(shuō)的最大區(qū)別。要提醒的是，例題里有不少是函數(shù)連續(xù)性（一）（二）中沒(méi)有給出解答的例題，你事先獨(dú)立做了嗎？如果沒(méi)有做，是不會(huì)做好是根本不想做，還是沒(méi)有時(shí)間？一函數(shù)的連續(xù) 例1.1（例1.20（一），這個(gè)序號(hào)值的是函數(shù)連續(xù)性（一）中的例題號(hào)，請(qǐng)對(duì)照） 設(shè)

2、滿足，且在連續(xù)。證明：在任意點(diǎn)處連續(xù)。分析：證明題是我們很多同學(xué)的軟肋，不知道從何下手。其實(shí)，如果你的基本概念比較清晰，證明題要比計(jì)算題號(hào)做，因?yàn)樗忻鞔_的方向，不像計(jì)算題，不知道正確的答案是什么在本題里，要證的是“在任意點(diǎn)處連續(xù)”，那么我們就先固定一個(gè)點(diǎn)，用函數(shù)連續(xù)的定義來(lái)證明在處連續(xù)。你可能要問(wèn)：函數(shù)連續(xù)的定義有好幾個(gè)，用哪一個(gè)? 這要看已知條件，哪個(gè)容易用，就用那一個(gè)。在本題中，提供了條件，也就是，你的腦海里就要想到，如果設(shè)，那么就有 ；這個(gè)時(shí)候，你應(yīng)該立即“閃過(guò)”，要用題目給的第二個(gè)條件了：在連續(xù)！它意味著：。 證明的思路就此產(chǎn)生！證明：因?yàn)?，取，則有 ，所以。 （#）對(duì)于固定的（任

3、意的?。羧?，有 ， （+）在（+）式兩邊取的極限，那么 ， （&）由已知條件：在連續(xù)，所以，代入（#）的結(jié)果，就有 ，但從（&）知，所以 。根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義E，在任意點(diǎn)處連續(xù)。你看，證明題并不難吧，但有個(gè)前提，必須有清晰的概念。很多同學(xué)的數(shù)學(xué)只會(huì)“代公式套題型”，所以做計(jì)算題還可能對(duì)付一下。其實(shí)計(jì)算也并不輕松。例1.2（例1.21（一）設(shè)常數(shù)，求的分段表達(dá)式，欲使連續(xù)，試確定的值。分析：首先要注意，函數(shù)不是平常的形式，用一個(gè)明顯的解析式表達(dá)出來(lái)，本題用一個(gè)極限形式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)。所以它要求先寫出的分段表達(dá)式，這是本題的第一個(gè)任務(wù)；第二，要確定參數(shù)的數(shù)值，怎么確定呢？利用函數(shù)的連續(xù)性。這里

4、需要計(jì)算極限的基本功。 中出現(xiàn)了幾個(gè)冪函數(shù) ，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，的大小對(duì)冪函數(shù)的變化趨勢(shì)有根本性的影響，所以要分為進(jìn)行討論。所以本題的第一層考核的是對(duì)冪函數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解。（1）： 都趨于零（當(dāng)時(shí)），所以 。（2）： 此時(shí)都將趨于無(wú)窮大。為此，要從分子，分母中提出最大項(xiàng)，約去相應(yīng)的部分，來(lái)簡(jiǎn)化函數(shù)： 。（3）： ；（4）： ， 極限不存在。 故得 。 欲使連續(xù)，即使在連續(xù)，等價(jià)于，故。例1.3 （例1.22（一）證明連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性：設(shè)在處連續(xù)，且，那么存在，當(dāng)時(shí)，。分析：這個(gè)性質(zhì)公式我們一個(gè)事實(shí)，若連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值為正，那么在這個(gè)點(diǎn)附近的點(diǎn)的函數(shù)值也是正的，不會(huì)取負(fù)值。這就是說(shuō)，連續(xù)

5、函數(shù)的函數(shù)值有“慣性”。證明的過(guò)程很容易很簡(jiǎn)單，其實(shí)我們?cè)谧C明極限的保號(hào)性時(shí)就已經(jīng)用過(guò)。證明：因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以對(duì)任給的，總存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有，也就是 。（+）若取 ，在（+）式中取左邊的那個(gè)不等式，就有 ；若取，那么就有 。 （不過(guò)，此時(shí)的中的要變?。┊?dāng)然，你也可以取不同的，當(dāng)然要變。如果我們只需要證實(shí)的值為正，那么取就已經(jīng)夠了。例1.4（例1.23（一） 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)并大于零，證明在也連續(xù)。分析：我們需要證明的是：在上任取點(diǎn)，對(duì)任給的，存在一個(gè)，使當(dāng)時(shí)，有。 直接做下去，是有困難的，所以我們需要對(duì)上述不等式做點(diǎn)放大（這是一個(gè)基本功?。?注意，上面第一個(gè)不等號(hào)是因?yàn)槲覀冊(cè)诶?.3中，已

6、經(jīng)證明了在的一個(gè)鄰域中有！ 至此，一個(gè)完整的證明思路就形成了。證明：對(duì)任一，是的連續(xù)點(diǎn)。由局部保號(hào)性，存在的鄰域，使得。所以在這個(gè)鄰域中， ； 由在區(qū)間上的連續(xù)性知，對(duì)于任給，存在，使得當(dāng)時(shí)，有 。 我們?nèi)。敲丛谶@個(gè)更小的鄰域中，（即）有 ，則有函數(shù)的連續(xù)的定義知， 是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)；又由的任意性，得在區(qū)間也連續(xù)。例1.5 確定之值，使函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。解：在和兩個(gè)區(qū)間里，對(duì)應(yīng)的函數(shù)均為初等函數(shù)，它們都是連續(xù)函數(shù)。所以，要使在整個(gè)實(shí)數(shù)域中連續(xù)，只需確定在的連續(xù)性條件。 在有定義，所以我們只需考慮它在的極限。 ；由此得方程 ， 容易解得： ，而對(duì)參數(shù)，連續(xù)性條件對(duì)它沒(méi)有任何限制，所以可取任何實(shí)數(shù)。例

7、1.6 設(shè)，求之值，使在實(shí)數(shù)域上連續(xù)。解：兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以它們之和這個(gè)新函數(shù)的定義域需要加以明確。顯然，需要考慮3個(gè)區(qū)間： 。現(xiàn)在可以對(duì)2個(gè)分界點(diǎn)處的連續(xù)性條件做研究了（定義問(wèn)題已經(jīng)解決）： ， ， 故有方程 ， （1）又 ， ， 又有方程 ， （2）聯(lián)立（1）（2），解得 。練習(xí)題1 設(shè)滿足條件：，有，且在處連續(xù)。求證在整個(gè)實(shí)數(shù)域連續(xù)。練習(xí)題2 設(shè)，求之值，使在實(shí)數(shù)域上連續(xù)。二函數(shù)的間斷點(diǎn) 這里的基本概念是間斷點(diǎn)的類型和分類。請(qǐng)自己整理整理的內(nèi)容。例2.1 考察函數(shù) 的間斷點(diǎn)，判別其類型。解： 函數(shù)在有定義，但是 ，所以在的左，右極限雖然存在，但不相等，故屬于跳躍間斷點(diǎn)（第一類）。

8、例2.2 考察函數(shù) 的間斷點(diǎn)，判別其類型。解：函數(shù)在有定義，但不存在，這是因?yàn)闀r(shí)，不存在；又，這是因?yàn)樵跇O限過(guò)程中是有界量，。 所以 是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。例2.3 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，確定其類型，瑞為可去間斷點(diǎn)，則請(qǐng)補(bǔ)充定義，使它連續(xù)。（1）； （2）。解：（1） 都是使函數(shù)沒(méi)有定義的點(diǎn)，故是間斷點(diǎn)。 由于 ，所以是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)（第二類）。 又 ， 是個(gè)確定的值，極限存在，所以是可移去間斷點(diǎn)，加以補(bǔ)充定義： 后函數(shù)在連續(xù)。但是要注意的是，仍然是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)（第二類），函數(shù)在仍然間斷。（2）顯然，是使函數(shù)沒(méi)有定義的點(diǎn)，所以是間斷點(diǎn)。， 故 是無(wú)窮間斷點(diǎn)（第二類）。， 故 是可去間斷點(diǎn)（

9、第一類），補(bǔ)充定義 后，函數(shù)在連續(xù)。，可見(jiàn) 也是可去間斷點(diǎn)（第一類），補(bǔ)充定義 后，函數(shù)在連續(xù)。例2.4 討論下列函數(shù)的間斷點(diǎn)： （1） ； （2）。解：（1） 使函數(shù)無(wú)定義（對(duì)無(wú)定義，故函數(shù)本身也無(wú)定義），故為間斷點(diǎn)。 ， （因?yàn)?） ， （因?yàn)椋?左，右極限存在，卻不相等，故是跳躍型間斷點(diǎn)（第一類）。（2）處沒(méi)有定義，故為間斷點(diǎn)。 ， ，可見(jiàn)，處函數(shù)的左，右極限都存在，且相等，故是可去間斷點(diǎn)（第一類）。例2.5 根據(jù)的不同數(shù)值，討論在處的連續(xù)性，若間斷，判別屬于何種間斷點(diǎn)： 。解： ， （請(qǐng)你講出理由） ， 且 所以，當(dāng)，且 時(shí)，在的左，有極限存在且相等，并等于函數(shù)值，故函數(shù)在連續(xù)； 當(dāng)，

10、且時(shí)，在間斷，左，右極限存在但不相等，故屬于跳躍間斷點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，在左連續(xù)，右間斷，故屬于第二類間斷點(diǎn)。例2.6 （1998年考研題數(shù)二）求函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判別其類型。解： 當(dāng)時(shí)，使成為無(wú)窮大，沒(méi)有定義，故是的間斷點(diǎn)； 因?yàn)?， 故 ； ， 故 ， 所以，在間斷點(diǎn)，函數(shù)的極限存在，是第一類間斷點(diǎn)。 又因當(dāng)時(shí)，使得沒(méi)有定義，從而函數(shù)在這些點(diǎn)沒(méi)有定義，因此也是函數(shù)的間斷點(diǎn)。 ， 故 ；， 故 所以，間斷點(diǎn)屬于第二類間斷點(diǎn)。例2.7 （2001年考研題數(shù)二）求極限 ，記此極限為，求出的間斷點(diǎn)，并指出其間斷點(diǎn)的類型。分析：本題不是單純討論間斷問(wèn)題，首先要計(jì)算一個(gè)極限，得出函數(shù)。解： 至此，可以看出這是一個(gè)型的極限。這是我們已經(jīng)很熟悉的問(wèn)題了，做下去 。所以下面我們討論函數(shù) 的間斷點(diǎn)。 顯然，使的點(diǎn)是使得沒(méi)有定義的點(diǎn)，即是的間斷點(diǎn)。 因?yàn)?， ， 所以，是第一類間斷點(diǎn)，而是第二類間斷點(diǎn)。練習(xí)題3 設(shè) 在處連續(xù)，求參數(shù)之值。練習(xí)題4 設(shè)在上連續(xù)，且 ，則常數(shù)應(yīng)滿足（ ）：A； B. ; C. ; D. .練習(xí)題5