二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)總結(jié)[共8頁]

1、二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式定理：（）等號右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。對二項(xiàng)式定理的理解：（1） 二項(xiàng)展開式有項(xiàng)（2） 字母按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1到0；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1到（3） 二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對于任意的實(shí)數(shù)，等式都成立，通過對取不同的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設(shè)，則（）（4） 要注意二項(xiàng)式定理的雙向功能：一方面可將二項(xiàng)式展開，得到一個(gè)多項(xiàng)式；另一方面，也可將展開式合并成二項(xiàng)式二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理

2、的核心，它在求展開式的某些特定項(xiàng)（如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對通項(xiàng)的理解：（1） 字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同（2） 與的次數(shù)之和為（3） 在通項(xiàng)公式中共含有這5個(gè)元素，知道4個(gè)元素便可求第5個(gè)元素例1等于 （ ）A B。 C。 D.例2（1）求的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)三、二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即偶數(shù)：；如果二項(xiàng)

3、式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大，即二項(xiàng)展開式的各系數(shù)的和等于，令，即；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，令，即例題：寫出的展開式中：（1） 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2） 項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；（3） 項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；（4） 二項(xiàng)式系數(shù)的和；（5） 各項(xiàng)系數(shù)的和4、 多項(xiàng)式的展開式及展開式中的特定項(xiàng)（1） 求多項(xiàng)式的展開式，可以把其中幾項(xiàng)結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式定理展開。例題：求多項(xiàng)式的展開式（2） 求二項(xiàng)式之間四則運(yùn)算所組成的式子展開式中的特定項(xiàng)，可以先寫出各個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)再分析。例題：求的展開式中的系數(shù)例題：（1）如果在 的展開式中，前三

4、項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。 （2）求的展開式的常數(shù)項(xiàng)。【思維點(diǎn)撥】 求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題：已知，求：（1）； （2）； （3）.六、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：1、二項(xiàng)式定理還應(yīng)用與以下幾方面：（1）進(jìn)行近似計(jì)算（2）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關(guān)的等式和不等式。如證明：取的展開式中的四項(xiàng)即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計(jì)算的處理方法當(dāng)n不是很大，|比較小時(shí)可以用展開式的前幾項(xiàng)求的近似值。例題：的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是（

5、）A1.23 B1.24 C1.33 D1.34（2） 整除性問題或求余數(shù)的處理方法解決這類問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，這里的通常為1，若為其他數(shù)，則需對冪的底數(shù)再次構(gòu)造和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項(xiàng)）一、二項(xiàng)就可以了要注意余數(shù)的范圍，對給定的整數(shù)，有確定的一對整數(shù)和，滿足，其中為除數(shù)，為余數(shù)，利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù)例題：求除以7所得的余數(shù)例題： 若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)是 （ ）A0 B。2 C。7 D.8例題：當(dāng)且1，求證【思維點(diǎn)

6、撥】這類是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1在的展開式中，的系數(shù)為（ ） A B C D2 已知， 的展開式按a的降冪排列，其中第n 項(xiàng)與第n+1項(xiàng)相等，那么正整數(shù)n等于（ ）A4 B9 C10 D113已知（的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為112，則n是（ ） A10 B11 C12 D1345310被8除的余數(shù)是（ ）A1B2C3D75 (1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是（ ）A1.23 B1.24 C1.33 D1.346二項(xiàng)式 (nN)的展開式中，

7、前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（ ） A1 B2 C3 D47設(shè)(3x+x)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h，若t+h=272，則展開式的x項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A B1 C2 D38在的展開式中的系數(shù)為（ ）A4 B5 C6 D7 9展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于1024，則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是（ ） A330 B462 C680 D79010的展開式中，的系數(shù)為（ ） A40 B10 C40 D4511二項(xiàng)式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為，則x在0，2內(nèi)的值為（ ）A或 B或C或 D或12在(1+x)5+(1+

8、x)6+(1+x)7的展開式中,含x4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列 an=3n5的（ ）A第2項(xiàng) B第11項(xiàng) C第20項(xiàng) D第24項(xiàng)二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結(jié)果.13展開式中的系數(shù)是 .14若，則的值為_.15若 的展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 . 16對于二項(xiàng)式(1-x)，有下列四個(gè)命題：展開式中T= Cx；展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng)；當(dāng)x=2000時(shí)，(1-x)除以2000的余數(shù)是1其中正確命題的序號是_（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分74分.17（12分）若展開式中第

9、二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列（） 求n的值；（）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？18（12分）已知()n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求展式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù) 19（12分）是否存在等差數(shù)列，使對任意都成立？若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由20（12分）某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？21. （12分）設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展開式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為11，試問：m、n取何值時(shí)，f(x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這