高等數(shù)學下冊期末復習試題及答案

1、 分）每小題321分 一、填空題（共2?1y?z?22z1?yz?x 軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞1曲線?0?x? t3x?z?4x?2y?t?3y?1L:?L:的夾角為與直線2直線 ? 21 23?5?2?t?7z?2? 222?1),1,gradf(1z?3)f(x,y,z?x?2y ，則3設函數(shù)4,62, ?ulimu?0 收斂，則4設級數(shù)nn?n?1?n ?0x?0,?xf()?x處則它的傅里葉級數(shù)在 5設周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為?,?x?1?x,0?1 收斂于 2 C?0xyx?xdyyd 的通解為6全微分方程 xx*?axe?e?2yy?yy 寫出微分方程的特解的形式7

2、分）每小題6二、解答題（共18分 0?3?2y?zx?)12,(1,? 1求過點的平面方程且垂直于直線?0?2?y?zx? kji?n3,1,2n?1?21?) ，則(4分 解：設所求平面的法向量為 11?10z?y?3x?2) 分 (6 所求平面方程為 ?vz)d(x,y,f 化為柱面坐標系下的三次積分，其中是曲面將積分2?2222yz?x?)2?(xz?y所圍成的區(qū)域 及 2?2?, 0?r, 0?r?1 ?:r?z?2? 解： (3分) 2?r22?1?,z)dz?fd(rdrrcos,rsinvf()dzyx, (6分) r00?22)xy?(22?yddI?ex?4xD:?y. 計算

3、二重積分3，其中閉區(qū)域D11?222?224?22r22?r?r?)?e(1?e?2d(?r?)d?ed?rredI?d 解 2200000 分） 每題7 三、解答題（共35分 v22xyv?zdue?zy?x?u ，1設，求，而v?u?z?z?z?32vvxy)y?2x?x?uex?y?ey?e(?2 解： x?vx?u?x?) 分(3v?zz?z?u?23vxyv)?2y?uex?x?exy?e(?2y) 分 (6 y?v?u?y?y233xyxy2ydx)?dx?exy(dz?e2(2x?xyy?y?) 分 (7 zz?z,),yz?z(x0?e?xyz 由方程2函數(shù)所確定，求 yx?z

4、xyz?z)?eF(x,y,) 分 (2 解：令 ， z,xzF?,xy?e?F,F?yz) 分 (5 則 xyzFxz?zFyz?zyx?) 分 (7 ， zzFy?Fx?xy?exy?ezz2?LA(2,0)O(0y?2x?x,0)y?xdy?dx的有是在圓周3計算曲線積分到點上由，其中L 向弧段DOAOAOA，根據(jù)格林與有向弧段解：添加有向輔助線段圍成的閉區(qū)域記為，有向輔助線段 公式?ydx?xdy?y2dxdy?ydx?xd (5分) OALD?2?0? (7分) 2x?f(x)f(0)?1y)yd(x)dx?ef?f(x，是連續(xù)可微函數(shù)且滿足4設曲線積分與路徑無關(guān)，其中L)f(x 求

5、?P?Qx?(x)x)?fe?f(， 由解： 得 ?y?xx?e?(fxf)(x)?) (3分 即 xd?)dx?(?1x?x?e?)(ee?x(Cdx?)f)Cx?e(? 所以 ) 分(6 ，x1?C)x?1f(x)?e() 代入初始條件，解得 (7分，所以 2?)n!(? 判斷級數(shù)的斂散性5 )!(2n1?n22u)!(n?1)!n1?nlimlim?) (3分 因為 解： )!(2n2u(2n?)!?n?n?n21)1n?(1?lim?) 分 (6 4)?1(2n?2)(2n?n?) (7分 故該級數(shù)收斂 四、?yddx?zdxzxdyd?ydz 是上半球計算曲面積分，其中（7分）?22

6、y?z?1?x 面的上側(cè)22?1y?:?z?0,x?上應用和，取下側(cè)，則在由所圍成的空間閉區(qū)域解：添加輔助曲面11 高斯公式得?ydxdzdx?zxdydz?ydyxdydz?ydzdx?zdxd ?1?yxdx?zddxdydz?yz?d) (4分 ?1?0v?3?d) 分 (6 ?41?2?3? (7分) 32五、 R 在半徑為的圓的內(nèi)接三角形中，求其面積為最大的三角形（6分）?zy,x,2z?x?y? ，：設三角形各邊所對圓心角分別為解，則12)sinzx?sinA?y?R(sin ， 且面積為 2?)?z?sinz2(x?ysinF?x?siny) 分 (3 令 ?0?F?cosx?x

7、?0?F?cosy?2?y 由 ?zyx?此分)得(4? 3?0F?cosz?z?2z?x?y?3R?3R2?時，其邊長為 由于實際問題存在最大值且駐點唯一，故當內(nèi)接三角形為等邊三 2 )(6分 角形時其面積最大 n?x?六、 的收斂域，并求其和函數(shù)（8分）求級數(shù) n1?na(n?1)nR?11?limR?lim解： ，故收斂半徑為 (2分) an?nn?1n?x?1時，根據(jù)萊布尼茨判別法，級數(shù)收斂； 當 x?1時， 當級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散 ?1,1) 故原級數(shù)的收斂域為 (5分) n?x?)xS(?)S(x ，即設和為，求導得 n1?n?1?1?n?xS?(x)?， (6分) 1?x1n?x

8、?xd(x(x)?S)S 再積分得 01x?)?1)(?1?x?ln(1?x?dx) 分 ， (8 x?10七、f(x)在正實軸上連續(xù)，且等式 （5分）設函數(shù)xyxy?t)xdf(?ytf(t)dt?df(t)t 111f(1)?3f(x0x?0,y?)，求對任何 成立如果y求偏導得 解：等式兩邊對x?)(yt?xfy)?tf()dxf(x) (2分 1y?1f(1)?300,y?x?，故有上式對任何仍成立令，且因 x?x3dt?)?)f(txf(x) 分 (3 1由于上式右邊可導，所以左邊也可導兩邊求導，得 3?(x?0x)?f)(3x?f()?xf?(x)f(x) 即 xf(x)?3lnx

9、?Cf(1)?3Cx?1?3故通解為 時，當，故 )xf()?31(lnx?(5 因此所求的函數(shù)為 分) x2xx?xx2x?xexeye?y?xe?e?e?xe?y ，分）已知（ 八5312 是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求此微分方程 ?2xxee 是對應齊次方程的兩個線性無與：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知1解xxe 是非齊次方程的一個特解，故可設此方程為 關(guān)的解，?)xf?y(?2yy? xxxxe?f(x)?ey?xe2 代入上式，得，因此所求的微分方程為 將xx?xe?2y?ey2?y? xx?2ee 與解2：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理知是對應齊次方程的兩個線性無xx?x2xe?

10、Cey?xeC?xe 是非齊次方程的一個特解，故是所 關(guān)的解，21 求微分方程的通解，從而有x?xx2x?eye?e?xeC?2C ， 21x?xx2x?eC?2e?xe?4Cye 21C,C 消去，得所求的微分方程為21xx?xeye2?y?2y? B 06高數(shù) 每小題3分）一、填空題（共30分22xxoy36y4x?9為曲面程上的雙曲線方一周所生成的旋繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)坐標面122236?9(y)?z4x 2)?2(2,?1,)gradf(1,0,?1?z?yz2(fx,y,z)?x 2設函數(shù)，則 t3?x?z4x?2y?t?1?3yL:?:?L的夾角為 與直線直線3? 21 23?2?5?tz?

11、2?7? 2222?vd,z)f(x,yyz?x?y?z?x2?化為柱面是曲面及4. 設所圍成的區(qū)域積分，則?2?r212?,z)rsindrrdzf(rcos,d 坐標系下的三次積分形式是 00r 2?L?ydx?xdy?x?2y?x 是圓周設5. ，取正向，則曲線積分L?2 n?1n?x)1(?R?1 冪級數(shù)6. 的收斂半徑 n1n? ?u0lim?u 收斂，則7設級數(shù)nn?n1n? ?x?00,?f(x)? 8設周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為 則它的傅 ?,?xx,0?x 里葉級數(shù)在 處收斂于 2 xdx?ydy?0xy?C 的通解為9全微分方程 x*x?axey?2yy?ye 的特解的

12、形式10寫出微分方程 二、解答題（共42分 每小題分） x?y?z?2?0?(1,2,1)且垂直于直線的平面方程1求過點 ?x?2y?z?3?0? kij?n32?,1,1n?1?2 解：設所求平面的法向量為 ，則 (4分) 11?1x?2y?3z?0 所求平面方程為 (2分) ?zz?z(x,y)sin(x?2y?3z)?x?2y?3z所確定，求由方程2函數(shù) ?xF(x,y,z)?sin(x?2y?3z)?x?2y?3z， (2：令解分) F?cos(x?2y?3z)?1,F?3cos(x?2y?3z)?3 則(2分 ) zxF?z1?cos(x?2y?3z)x?) (2分 ?xF3?3co

13、s(x?2y?3z)z?Dy?xdxy2, x?y?1所圍成的閉區(qū)域是由直線及 計算，其中3 D2x?xdd?yxy) (2分 原式 解法一： 1132xxy22x?(?)d?dx?xx 122211421xx2?1. (4分) 1 8484y12222?ydx?xyd1?y?) .(同上類似分 解法二：原式1 88y12222?1?xy?Dyxd1?xd?y即坐標軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)計算，其中4是由D 域 解： 選極坐標系?12 ?rr1?drd2) (3分 原式 00?1122?)rrd(1?(?)?1?) 分 (3 22602222?zd?x)dx?2yzd(yy?z,tx?,t

14、y? 計算，其中是曲線5?3t?z1t?t?0 上由的一段弧到21122546?t3tdt?2t?t(t?t?)?2) 分 解：原式 (3 0123117546?t?t?t2t)?d(3t?) (3分 0 35750?12n? 的斂散性6判斷級數(shù) n21n?u1n?1)2(2n?1?nlimlim? 分) 解： 因為 (3 n1n?u22?nn?n11? )(2分 ， 2) (1分 故該級數(shù)收斂 ? 0y?4y?3y?5?,y?y0? 的特解滿足初始條件7求微分方程0x?0x?2 0?4?r?3r1r?r?4, 解：特征方程 ，特征根21xx?4e?C?Cey) (3分 ， 通解為 21x?4

15、x?ee?C4y?C1C?1,C? ，代入初始條件得 ，2121x?4xe?ey 所以特解 ) (3分 22三、?ydxd?ydzdxzdxdyzz?1?x?y的上側(cè)是上半球面，其中 分）（8計算曲面積分?22?1?,z?0x?y:? 和解：添加輔助曲面所圍成的，取下側(cè)，則在由11? 上應用高斯公式得空間閉區(qū)域 ?zdxdyydz?ydzdx?xdydx?zddydxz?ydzdx ?1?yddxdx?zxdydz?yd?z) 分 (4 ?1?0?d?3v) 分 (2 ?41 ?2?3)(2分 322四、 ?ydx)?x)dx?2xf(yf(x)?0(x 內(nèi)8（分）設曲線積分在右半平面L)(x

16、)?1ff(x)f(1 ，求可導，且滿足 與路徑無關(guān)，其中 QP?x?2(xx)?2xf)f(x)?2f( ， 得， 解：由 xy?1?1)?f(x)?xf) 分 (3 ， 即 x211xdx?d? ?xx22)C?f(x)exe?(d 所以 11312? ?22)?xCdxx(?22)(Cxx?) 分 (3 ， 3211f(x)?x?C，所以)分 代入初始條件，解得 (2 333x33五、f(x,y)?x?y?3xy的極值（6分）求函數(shù) 2?f(x,y)?3x?3y?0?x解： ?2f(x,y)?3y?3x?0?y(0,0),(1,1) 得駐點 (3分) f(x,y)?3,f(x,y)?6y

17、,y(fx,)?6x xxyyxy2(0,0)f(0,0),?0B?AC?9非極值；在點 故處，2 1?1,1)(f)1,(1,B?AC?0?27?)分在點 (3處， 是極小值 故 y六、z?xf()上任一點處的切平面都過原點（6試證：曲面分） xyzy1?yzyy?)()?xff),f(?f()? (3分) 證：因 xxx?yxxx?xy0)z?xf()z,y,M(x ，得切平面方程為則取任意點，有00 0000x0yyyyy00000?)?y()(y()(x?x)?f)z?xf(?f()?f 0000 xxxxx00000yyyy0000?0?)y(f(?)x?f)?(fz 即 xxxx0

18、000) 分 (3 故切平面過原點 07A 分）3分，共21一、 填空題（每小題?1?5,?1,a?2,3,1,bb?a 1與，已知設向量垂直，則 ? 6?a?b?3,bb)(a,?2,a 2，則設 3 zy22z1?yoz 繞坐標面上的曲線軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為3 ba22zx?y2221? ba22 01?x?2z?08?3y?z?(2,4,0)2x? 垂直的平面方程且與直線4過點02?3z?y? ?0,x?y(x,yx?0?D)?y?zxln(x 二元函數(shù)5的定義域為 ,11,0)z?ln(x?yf(x,y,z)?222?),0,1gradf(1 6函數(shù)，則 e?z)xdyydx

19、e(?xyxy?dz ，則7設 yuy?ffxf?,)f?xu?xf( 8設具有連續(xù)偏導數(shù)，則， 21xxx? ,31,2?Tt?,ty?tzx?32)1(1,1 曲線9處的切向量上點 111ydyy)?dxf(x,dy)f(x,ydx? 10交換積分順序：x000 dvz)x(,y,fy?zx1z?222?化為柱面及平面所圍成，將三重積分由曲面11閉區(qū)域?121?dz),z(drdrfrcos,rsin? 坐標系下的三次積分為r00 ?x?y?1?2L?)y?(xds22?，則設12 為下半圓周L ?9?yx?L22?x)dy2y)dx?(x?4(2xy?18?2? 為取正向圓周13設，則L

20、 ?0?0?x?)f(x設周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為14則它的傅里葉級數(shù)在?x0x?x 處收斂于 2 ?0?limuu 15若 發(fā)散 ，則級數(shù) 的斂散性是 nn ?n?1?n!2nn? 級數(shù)16 的斂散性是 收斂 nn 1n? uuu ，已知 絕對收斂 收斂，則 的斂散性是 17設一般項級數(shù)nnn 1n1n?n?1?0)?5xyxy?2(y3 是 18微分方程2 階微分方程 ?yxeCe?Cx2?2xy?0y?y44 微分方程19的通解21 ?e?3yy?2)ax?yb?xex(xx22的特解形式為20微分方程 5分）二、（共xz?zxy?,ulnv,?v?zu,2 ，求設 yy?xx1u

21、uz?z?z?v?22?1y?2ln(xy)u?2lnv?解： yv?x?v?xy?x?u2xuu?z?vx?z?z?22ln(xy)?1?lnv?(?)?x?2?2u yvyy?y?u?y?v32 分）（共5三、z?0?yx?2?z?2xyz ，求設 x?xyzz?2?x?2y?)F(x,y,z 解：令yzxy?xyzxyz?FF? zxxyzxyzyz?xyzF?z?x ?xFxyz?xyz四、（共5分） xdxdydz?x?y?z?1?所圍成的閉區(qū)域計算為三個坐標面及平面，其中 ?:0?x?1,0?y?1?x,0?z?1?x?y 解：x?y11x11?1?x?dy(1?x?ydxdy)x

22、dz?dxxxdxdydz? 00000?11111?x)dx(x?2x?x(1x)dx?322? 242200 五、（共6分）Ldy1)(ecosy?dx(esiny?y)?)0,0,0)O(A(axx?周圓到點上計算的，其中點為由半Laxy?x?22 DOAOAOA 和有向弧段則有向輔助線段，根據(jù)格林解：添加有向輔助線段圍成閉區(qū)域記為, 公式dy1)ecosy?sin(ey?y)dx?(xx? Ldy)cosy?1)siny?ydx?(e?dxdy?(exx? OADa1?0?()2 221?a?3 8 分）六、（共6)3(x?n? 求冪級數(shù)的收斂域 3nn1?n 對絕對值級數(shù)，用比值判斂

23、法解：n?1n3?ux?3x1n1 3?lim?lim?xlim?x?3?1n? 3u(1n?n1)333n?n?1n?n?n?nn10?x?613?x? ，原級數(shù)絕對收斂時，即當 31x?0或x?613?x? ，原級數(shù)發(fā)散當時，即 3(?1)n?0?x收斂 當時，根據(jù)萊布尼茲判別法，級數(shù) n1?n1?6?x)6,0 時，級數(shù)當發(fā)散，故收斂域為 n1n? 七、（共5分）?dxdyzx?y?z?12222?在第一卦限的外側(cè)為球面 計算，其中?xoyx?y?1,x?0,y?022D 在解：面的投影：xydxdyz2? ?1?1?rdrrd?)(1?2dxdy?y)?(1?x22? 2 82400D

24、xy 7分）八、（共1),y)u(xuf(x)(x,y0f(1)?dy(fx)lnx?f(x)ydx? 求為某二元函數(shù)的全微分，設并求使， xQP?11?xln(x)?x)f(x)?flnx?f(x)?f( ，即：由解，得 x?y?xx1111?dx?dx?)C(lnx?dxxe?C)?x?C)ef(x)?x(lnx(ln2 ?xx 所以 2x10?C?)xxlnf(x2所以, 帶入初始條件，解得 211),y(xxdylnydx?x(lnx?lnx)?u(x,y)22? 22)0(0,11yxxln?xlnxdy?xy?022? 2200B 高數(shù)07 每題3分）一、（共60分 得分?3?b

25、?4a?6, 2,?a2b?1, ?, ? ，已知則與 設向量，平行,1. 22222zxyyz? 1?1?z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞2. 坐標面上的曲線yoz 2222baca ?r?r ?),b2,b?1,(aa?3?a?b 則,設3. 3 0?y?4x?2?)1,1,(103z?2x?y 4.設一平面經(jīng)過點，且與直線垂直，則此平面方程為?0?z?3y? ?2201?2x?(x,y)|y1?z?lny2?x 的定義域為二元函數(shù) 5. xyxyez?dz)dydx?ex(y ，則6. 設 222)10,(1)?1,1gradf(,0,)z?y?),f(xy,z?ln(x 函數(shù)，則7.

26、 y?uy?f?xu?xf(,)xf?f? 設具有連續(xù)導數(shù)，則，8. f 21xxx? ?222)2,(10,?4?02,1?zy?x?n 9.在點曲面處的法向量 111x?xdf(x,dxyf(x,y)dy?)dy 交換積分順序：10. y000 ?22vdz)f(x,y,yx?z?1?z所圍成，將三重積11.閉區(qū)域化為柱面坐標系下的三次及平面由曲面?121?zd,cosz,drsinrdr)f(r 積分為2r00 ?3VVydxdzdx?zxdydx?yd?是的體積，則=設是閉區(qū)域 的整個邊界曲面的外側(cè), 12. ?222?s)(xd?yxy?1?L13. 設 為上半圓周，則L ?x?00

27、,?x?x)f(處收斂則它的傅里葉級數(shù)在 14. 設周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為?,?xx,0? 于 2 ?u0u?lim的斂散性是 發(fā)散15. 若，則級數(shù) nn ?n1n?n?n? 的斂散性是 收斂16. 級數(shù) n!5n 1?nsinn? 17.級數(shù)收斂 的斂散性是 2n 1?n?42?6y?0?5(xyy)是 18. 微分方程2 階微分方程 x?0?y?2yy(C?Cxe)微分方程的通解為 19. 21 *2?2x?x2?e?bx)y?(axxe5?y3?6y?y微分方程 的特解的形式20. 5分）三、（共 得分?z),(xyz?z22204yz?z?x?所確定，求 函數(shù)由方程 ?x22

28、2F(x,y,z)?x?y?z?4z，解：令 (1分) F?2z?4,?F2x (2分 則) zxF?zxx?) (2 分 ?xF2?zz 分）6（共五、 得分?22ydy)?(x?(xsin?2y)dx)0(0,2,0)OA(L周圓的點上到點，其中計算曲線積分半為由L22xy2x? OAD，根據(jù)格林公式 解：添加有向輔助線段 ，它與上半圓周圍成的閉區(qū)域記為22?y)dy?(x?(xsin?2y)dx L22?yxd?2)y)dy?d(?(x1?2y)dx?(x?sin) (3分 OAD3?8122?2?2?1?yxd?dxxd? (3分) 23230D 分）6 七、（共得分 y),y)u(x

29、1)?0f(xf(y)d?f(x(sinx?fx)dx 為某二元函數(shù)，確定使設的全微分 x?P?Q)(xsinx?f?)(?fx 由 得， 解： x?y?x1sinx?(xf)?)f(x? ) 即 (2 分 xx11xsin?x?dxd ?)Cx?f(x)e(?edxx 所以 xsinxlnxx?ln?eedx(?C) (2分) x1(?cosx?C?)， (1分) x1C?cos1f(x)x)?cos(cos1?，所以 (1分) 代入初始條件，解得 x八、(共6分) 得分 ?222?2yxdzd,0x?1?x?y?z0?y是球面，其中外側(cè)在計算的部分 ?ddxzdxdy?yydxdz 解：

30、(2分) ?21?2222yd?y)dx?1y)ydxd?(?)(1x?(1x) (2 分DDxyxy?22yd)d1?xx?2y( Dxy?1? 2?rr1?r?2dd)?(?2 ) (2分 400A 高數(shù)08 分） 每小題3一、選擇題（共24分 ?L,p?Lms?,m,n,pnsLL 的方向向量，則 與分別為直線 ，1設垂直的充要條件是221221112111A ） （pnpmmn ）（A）（B）D（C）1111111?1?nn?ppmm?pmm?nn?p?0 212222112111pnpmmn222222 z21z?y?)C ( 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為2Yoz平面上曲線 D

31、）C）（）（A）（B222222 x?1z?yz?xx?yz?y?zy?1?2?2xlny?1z?的定義域為 （B）3 二元函數(shù)?）B）（A2201?2x,y|y)?2x?0|y?x(y(x,) ?）D（C）20y?0,x,y)|x( 0?1?2x(x,y)|y?1y ?y)dxdyf(x,） A （4交換積分順序： 00y11x1111 D）（B）C）（A）（?dy)dx(f(x,y)dyx,ydxfdxy)dyf(x,dxf(x,dyy)10x010y0?2dv= （ C ）5空間閉區(qū)域所圍成，則三重積分由曲面 1?r?84）C（? D）（B）2（A）2 33?z )x,yz?z(2220

32、4yz?z?x?） D （= 6函數(shù)由方程所確定，則 ?xxzyx （D（C） （A） （B） y2?zz2?z?22? n?x?的收斂域是 （ C 7冪級數(shù)） nn31n?3,3?3?3,?3330, （C） （B （A） （D）x?2yy?y?e*xxey?，則它的通解是（ B ）的一個特解為8已知微分方程 2xx?2xx2xx?xxxeCeCex?xCeeC?xCxC?xeCxe?C?e? ）B）A（）（C（）D21212121 每小題3分）二、填空題（共15分220?z?1?2x 1曲面處的切平面的方程是在點zyx?)1,0,(1 ?u0?limu ，則級數(shù)若2 發(fā)散 的斂散性是nn?

33、n 1n?ncos? 3級數(shù)絕對收斂 的斂散性是 2n 1n?1?220x,y0?, 。 ，當 時的極限等于 0 4二元函數(shù) sin)?)?(xyxf(,y 2x c?xy0ydx?xdy? 5全微分方程的通解為_ 分）每小題6三、解答題（共54分 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線10?1i?0x?y?x?zy?z? ?0z?42x?y?3?z2x?y?3?4?0? 解：因所求直線與兩平面的法向量都垂直，于是該直線的方向向量為? kij?) (4分 3?1,1?11?4,s32?11x? 在直線上找出一點，例如，取代入題設方程組得直線上一點0?2?1,0, 5分） （ 故題設直線的對稱式方程為2

34、z?1y?0x) 分 (6 ? 3?4?1 參數(shù)方程為 t4x?1?ty? 分） （ 7 ?t3?2?z?22? 4，其中是平面計算三重積分vd?yx2z?22yx?z? 所圍成的區(qū)域（提示：利用柱面坐標計算） 及曲面 ? (3 分) 解： 2?202, ?r?, 0? ?:r?z?22222? 6分）（ vydx?zrdrdr?dr00?8 （7分） ? 32L)O(0,?2x?x0A(2,0y?的有向弧是在圓周5計算曲線積分，其中上由到點yxdy?dx?2L 段DOAOAAO，根據(jù)格林公與有向弧段解法1：添加有向輔助線段圍成的閉區(qū)域記為，有向輔助線段 （2分） 式 ?yd?2?3dxdyx

35、?yd?ydx?2xdy?x) 分 (4 OALD?) 分 (6 ?0?3 22 2：直接求曲線積分解法2 求表面積為而體積為最大的長方體的體積。 6a ，則題設問題歸結(jié)為約束條件1：設長方體的長、寬、高分別為 解法z,x,y2?0?2yz?2xz?a(x,y,z)?2xy 2分） （ 下，求函數(shù)均大于0）的最大值。 xyz?Vz,x,y 作拉格朗日函數(shù)2?)2yz?2xzy,z,?)?xyz?a(2xy?L(x, 分） （4 由方程組?0?(y?z)L?yz?2X? （5分） 0(x?z)2L?xz?y?0?xxyL?2)(y?z 進而解得唯一可能的極值點 a6 ?z?x?y 6 由問題的本

36、身意義知，該點就是所求的最大值點。故該問題的最大體積為63 （6分） aV? 36 從條件中解出z代入目標函數(shù)中，再用無條件極值的辦法求解。解法2： ?22?ds?zx?y16?yx? 7計算 被柱面，其中為平面 所截的部分。 4z?y? 解：積分曲面的方程為，它在面上的投影為閉區(qū)域 y4?z?xoy? 22 分） （2 16?yx?Dy,xxy22z2?1?z? 又 xy?2dxdy?4y?xydsx?zy? 所以 分）4（= D?xy?42?rdr2cosd4?rdxdyx24? 分） =（ 5= 00Dxy ?26424dxdy?16?2?4?2?64 Dxy（6分） 1展開成x的冪級數(shù)

37、。 8將函數(shù))(?1,f(x)?1,x? ?2x?1解法1： 因為 11? （2分） ?2x1?x?1 而又 123n （4 分） .?x?x?1?x?x.)1(?1,x? x1? 逐項求導，得 12n?1 （6 分） .?.nx1?2x?3x?)?1,1x?( ?2x1?解法2：直接求展開式的系數(shù)，然后根據(jù)余項是否趨近于零確定收斂域。 ?2yy1?的通解。 9求微分方程?yu 則原方程變?yōu)?解：令 2u?1u （2分） arctanu?x?c 分離變量后積分得 （4分） 1?c?yx?tan 分）（5 則， 1? ?ccxy?lncos? （6故原方程的通解為 分） 21四、證明題（7分）

38、? ?b?,RR?a?xb,a?y，在若證明：函數(shù)，令上連續(xù))f,y(x2121? ，則?y,aR?a?x?212?)(,yf(x,)dxdy?f ?R? 證： ?R,?，設連續(xù)，在已知),yxf(R?dy),(F),)?(fx,ydxdy?y(dxfx （3分）aa21R? ?,a連續(xù)，所以，有因為在dyf?)x(y,x)1a2F? （5分） ?dy?)f(,y ?a2?ba, 又因為上連續(xù)，所以有在)f(y,222F?),?f( ?2?),)dxdy?f(f(x,y 分）7 （ 即 ?R?B 08高數(shù) 3分）24分 每小題一、選擇題（共?c?,a?,a,b,cbnn 件是 兩，平面垂直的充

39、要條，面1設兩平的法向量分別是則這22111121C （） cab ）（B （A） 111?1aa?bb?cc? 212211cab222cba D） （C） （ 1111?0?ccaa?bb? 221121cba222 z2yz?) B 2Yoz平面上曲線 繞( 軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 ）（B （A222 x?z?1?z?yy （）D） （C222x?z?z?yy?x1? Axy?z?） （3的定義域為二元函數(shù)? （B） （A ）01?y)|x?,(x ?)|x,x?0y,(xy?）（D （C20?,y|x?0(x,y)xy)|y?(x, 11 B?dy,(xydx)f） （ = 4

40、交換積分順序： x01y11 ） （BA） （?dx)dyx,yf(dx),ydyf(x00y0y11x）（D （ C）?dxdyyf(x,)dx(x,)dyyf 1010?3dv= （ D ）5空間閉區(qū)域所圍成，則三重積分由曲面 1r? 2B） （ ） （A3 44）C （?）（D 3?zA ),xy?zz(2220z?4yx?z?）6所確定，則由方程（函數(shù)= y?xy ） （B （A） y2?z?2zx （ C）D） （ z?z2?2n?x? D ）的收斂域是 （7冪級數(shù) n5n1n?5,0?5,5 （A） （B）?55,?5,?5 D） （） （Cx?ey?y?2?yx* ） ，則它的通

41、解是（的一個特解為8已知微分方程 Axey?xxxx?2xx2x2x? （D（B）（C）（A）xee?e?xe?CCxCx?Cx?xee?CeCxeC?C22211211 分）每小題3二、填空題（共15分 220?12Y?z 在點處的切平面的方程是1曲面z?x?y)1(0,1, ?u?nu 當?shù)臄可⑿?，則數(shù)列2若級數(shù)時的極限是 0 nn 1n?2?nsin? 的斂散性是 收斂3級數(shù) 2n 1n?1?22?,x,y? ，當。 1 4二元函數(shù)時的極限等于 sinx?y)xf(,y)?( 22yx? xc)?y?y 5微分方程_的通解為_1?y2x x 6分） 三、解答題（共54分 每小題)12,(1, 且垂直于兩平面1設平面過點? ： ： 00x?2y?z?zx?y?21 求此平