201X_202x學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章集合1.1集合的含義與表示北師大版必修1

1、1集合的含義與表示,1,2,一,二,三,四,一、元素與集合的相關(guān)概念 一般地,指定的某些對象的全體稱為集合.集合常用大寫字母A,B,C,D,標(biāo)記.集合中的每個對象叫作這個集合的元素.常用小寫字母a,b,c,d,表示集合中的元素. 【做一做1】 下列各組對象能構(gòu)成集合的有() 2018年1月1日之前,在騰訊微博注冊的會員;不超過10的非負奇數(shù);立方接近零的正數(shù);高一年級視力比較好的同學(xué). A.1個B.2個C.3個D.4個 解析:中元素確定,能構(gòu)成集合;中不超過10的非負奇數(shù)有:1,3,5,7,9共5個數(shù),是確定的,故能構(gòu)成集合;中“接近零”的標(biāo)準(zhǔn)不明確,故不能構(gòu)成集合;中“比較好”沒有明確的界限

2、,不滿足元素的確定性,故不能構(gòu)成集合. 答案:B,3,一,二,三,四,集合中元素的性質(zhì) (1)確定性:指的是給定一個集合A,任何一個元素a是不是這個集合的元素就確定了,即某一個元素要么是該集合中的元素,要么不是,二者必居其一. (2)互異性:集合中的元素必須是互異的.就是說,對于一個給定的集合,它的任何兩個元素都是不同的. (3)無序性:集合中的元素是沒有順序的.也就是說,集合中的元素沒有先后之分,4,一,二,三,四,做一做2】 集合M是由大于-2且小于1的實數(shù)構(gòu)成的,則下列關(guān)系式正確的是(,答案:D,5,一,二,三,四,三、常用數(shù)集及集合的分類 1.常用數(shù)集及符號表示,2.集合的分類,6,一

3、,二,三,四,解析:(1)(2)(3)(4)正確,(5)(6)錯誤,(5)(6)中應(yīng)為 R,-1N. 答案:4 【做一做4】 下列各式正確的是() A.0B.0 C.0=D.00 解析:0是一個元素;是一個集合,不含任何元素;0表示含有一個元素0,比較四個選項可知D正確. 答案:D,7,一,二,三,四,四、集合的常用表示方法 1.列舉法:把集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)的方法,形式為x1,x2,xn. 2.描述法:用確定的條件表示某些對象屬于一個集合并寫在大括號內(nèi)的方法,形式為xA|p(x,在不引起混淆的情況下,為了簡便,用描述法表示某些集合時,可以省去豎線及豎線左邊表示元素的符號.如所

4、有奇數(shù)組成的集合,可以表示為奇數(shù).“”本身就有“全部”“所有”的意思. 【做一做5】 (1)用列舉法表示集合xN|-1x 為. (2)不等式3x4在實數(shù)范圍內(nèi)的解集可表示為,8,一,二,三,四,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)個子很高的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合. () (2)若2 018與a是集合M中的兩個元素,則a2 018. () (3)xR|x2+x+1=0=. () (4)集合(0,1),(1,2),(2,3)中含有6個元素. () (5)二次函數(shù)y=x2+1的圖像上所有點的集合可表示為y|y=x2+1,xR. () 答案:(1)(2)(3

5、)(4)(5,9,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,集合的判定 【例1】 2018年9月,我們踏入了心儀的高中校園,找到了自己的班級.則下列對象能構(gòu)成一個集合的是哪些?并說明你的理由. (1)你所在班級中全體同學(xué); (2)班級中比較高的同學(xué); (3)班級中身高超過178 cm的同學(xué); (4)班級中比較胖的同學(xué); (5)班級中體重超過75 kg的同學(xué); (6)學(xué)習(xí)成績比較好的同學(xué); (7)總分排前五名的同學(xué). 分析:根據(jù)研究對象的特征是否具有衡量、判斷的標(biāo)準(zhǔn),即是否具有確定性進行逐個判斷,10,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,解:(1)班級中全體同學(xué)是確定的,所以可以構(gòu)成一個集

6、合; (2)因為“比較高”無法衡量,所以對象不確定,所以不能構(gòu)成一個集合; (3)因為“身高超過178 cm”是確定的,所以可以構(gòu)成一個集合. (4)“比較胖”無法衡量,所以對象不確定,所以不能構(gòu)成一個集合; (5)“體重超過75 kg”是確定的,可以構(gòu)成一個集合; (6)“比較好”無法衡量,所以對象不確定,所以不能構(gòu)成一個集合; (7)“總分排前五名”是確定的,可以構(gòu)成一個集合,判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于能否找到一個明確的標(biāo)準(zhǔn).對于任何一個對象,都能確定它是否為給定集合的元素,不存在模棱兩可的情況,11,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓(xùn)練1給出下列幾種說法: 高一數(shù)學(xué)

7、課本中的難題; 所有的正三角形; 方程x2+2=0的實數(shù)解. 其中能夠構(gòu)成集合的是() A.B.C.D. 解析:中,任給高一數(shù)學(xué)課本中一道題,是否為難題無法客觀地判斷,不能構(gòu)成一個集合;中,任給一個三角形,可明確判斷出它是否為正三角形,因此能構(gòu)成集合;x2+2=0在實數(shù)范圍內(nèi)無解,因此方程x2+2=0的解集為,也是一個集合,只不過是不含任何元素的集合. 綜上知,能構(gòu)成集合的是. 答案:C,12,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,判斷元素與集合的關(guān)系 【例2】 用符號“”和“”填空,答案:(1)(2)(3,13,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,1.如果集合是用列舉法給出的,那么

8、可通過觀察直接判斷元素是否屬于該集合;如果集合是用描述法給出的,那么應(yīng)判斷元素是否具有這個集合元素的共同屬性. 2.如果是利用元素與集合的關(guān)系求參數(shù),那么應(yīng)該注意求參后要有代入檢驗的意識,14,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓(xùn)練2(1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是(,A.1B.2C.3D.4 (2)我們在初中學(xué)習(xí)過一元二次方程及其解法.設(shè)A是方程x2-ax-5=0的解組成的集合. 0是否是集合A中的元素? 若-5A,求實數(shù)a的值; 若1A,求實數(shù)a的取值范圍,15,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,分析:(1)首先判斷給出的數(shù)的屬性,然后根據(jù)常用數(shù)集的符號判斷兩者的關(guān)系.

9、(2)將0代入,驗證方程是否成立,若方程成立,則0就是集合A中的元素;若方程不成立,則0就不是集合A中的元素;-5是集合A中的元素,則代入方程即可得到關(guān)于a的方程并求解;1不是集合A中的元素,則代入后方程不成立,得到關(guān)于a的不等式,解之即可. (3)觀察元素的特征,驗證所求式子是否滿足特征,若滿足就是集合A中的元素,若不滿足就不是集合A中的元素,16,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,1)解析:根據(jù)各個數(shù)集的含義可知,正確,不正確.故選C. 答案:C (2)解:將x=0代入方程,02-a0-5=-50,所以0不是集合A中的元素; 若-5A,則有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-

10、4. 若1A,則12-a1-50,解得a-4,17,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,用列舉法表示集合 【例3】 試用列舉法表示下列集合. (1)滿足-3x0且xZ; (2)倒數(shù)等于其本身數(shù)的集合; (3)滿足x+y=3且xN,yN的有序數(shù)對; (4)方程x2-4x+4=0的解. 分析:用列舉法表示集合,需要先辨析集合中元素的屬性及滿足的性質(zhì),再一一列舉出滿足條件的元素,18,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,解:(1)xZ且-3x0,x=-3,-2,-1,0. 故滿足條件的集合為-3,-2,-1,0. (2)x= ,x=1. 滿足條件的集合為-1,1. (3)由x+y=3且x

11、N,yN, x=0時,y=3;x=1時,y=2;x=2時,y=1;x=3時,y=0. 滿足條件的集合為(0,3),(1,2),(2,1),(3,0). (4)方程x2-4x+4=0的解為x=2, 滿足條件的集合為2,19,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,1.一般地,當(dāng)集合中元素的個數(shù)較少時,可采用列舉法;當(dāng)集合中的元素較多或無限,且有一定規(guī)律時,也可用列舉法表示,但必須把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)清楚,才能用省略號. 2.要弄清楚集合中的元素是什么,是數(shù)還是點,還是其他的元素,從而用相應(yīng)的形式寫出元素表示集合,20,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓(xùn)練3用列舉法表示下列集合. (

12、1)15以內(nèi)質(zhì)數(shù)的集合; (2)方程x(x2-1)=0的所有實數(shù)根組成的集合; (3)一次函數(shù)y=x與y=2x-1的圖像的交點組成的集合. 分析:(1)質(zhì)數(shù)又稱素數(shù),指在一個大于1的自然數(shù)中,除了1和此數(shù)自身外,不能被其他自然數(shù)整除的數(shù);(2)中要明確方程x(x2-1)=0的實數(shù)根有哪些;(3)中要明確一次函數(shù)y=x與y=2x-1的圖像的交點有哪些,應(yīng)怎樣表示. 解:(1)2,3,5,7,11,13. (2)解方程x(x2-1)=0,得x1=-1,x2=0,x3=1,故方程x(x2-1)=0的所有實數(shù)根組成的集合為-1,0,1,因此一次函數(shù)y=x與y=2x-1的圖像的交點為(1,1), 故所求

13、的集合為(1,1,21,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,用描述法表示集合 【例4】 用描述法表示以下集合. (1)所有不小于2且不大于20的實數(shù)組成的集合; (2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限內(nèi)點組成的集合; (3)使 有意義的實數(shù)x組成的集合; (4)200以內(nèi)的正奇數(shù)組成的集合; (5)方程x2-5x-6=0的解組成的集合. 分析:用描述法表示集合時,關(guān)鍵要先弄清元素的屬性是什么,再給出其滿足的性質(zhì),注意不要漏掉類似“xN”等條件,22,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,解:(1)集合可表示為xR|2x20. (2)第二象限內(nèi)的點(x,y)滿足x0, 故集合可表示為(x,y)

14、|x0. (3)要使該式有意義,需有 解得x2,且x0. 故此集合可表示為x|x2,且x0. (4)x|x=2k+1,x200,kN. (5)x|x2-5x-6=0,23,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,用描述法表示集合應(yīng)注意的問題 (1)寫清楚該集合中的代表元素,即弄清代表元素是數(shù)還是點或是其他形式; (2)準(zhǔn)確說明集合中元素所滿足的特征; (3)所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi),并且不能出現(xiàn)未被說明的符號; (4)用于描述的語句力求簡明、準(zhǔn)確,多層描述時,應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語句之間的關(guān)系,24,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓(xùn)練4給出下列說法: 在直

15、角坐標(biāo)平面內(nèi),第一、三象限的點組成的集合為(x,y)|xy0; 所有奇數(shù)組成的集合為x|x=2n+1; 集合(x,y)|y=1-x與x|y=1-x是同一集合. 其中正確的有() A.1個B.2個C.3個D.0個,答案:A,25,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,忽視集合中元素的互異性 【典例】 已知集合A中含有兩個元素a和a2,若1A,則實數(shù)a的值為. 錯解:因為1A,所以a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.故填1或-1. 以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范? 錯因分析:以上錯解中沒有注意到元素a與a2不相等,得到了錯誤答案1或-1.事實上,當(dāng)a=1

16、時,不滿足集合中元素的互異性. 正解:因為1A,所以a=1或a2=1. 當(dāng)a=1時,a2=1,不滿足集合中元素的互異性,舍去. 當(dāng)a2=1,即a=1時,a=1舍去. 若a=-1,集合A含有兩個元素1和-1,符合集合中元素的互異性. 綜上,a=-1. 答案:-1,26,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,1.分類討論思想的運用 解答含有字母參數(shù)的元素與集合之間關(guān)系的問題時,要具有分類討論的意識.如本例中由1A,可知a=1或a2=1. 2.集合中元素的互異性的作用 求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)時,需要利用集合中元素的互異性來檢驗所求字母參數(shù)的值是否符合要求.如本例中需對所求出的1與-1分別進行檢

17、驗,27,探究一,探究二,探究三,探究四,易錯辨析,變式訓(xùn)練已知集合A=3,4,5,B=4,5,6,7,定義A*B=(a,b)|aA, bB,則A*B中元素的個數(shù)為. 解析:本題是考查“新定義”型集合問題,首先應(yīng)明確A*B是一個點集,點的橫坐標(biāo)為集合A中的元素,點的縱坐標(biāo)為集合B中的元素,然后從A和B中分別取數(shù)確定點,所確定的點的個數(shù)即為A*B中元素的個數(shù).所確定的點有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4), (5,5),(5,6),(5,7).故填12. 答案:12,28,1,2,3,4,5,1.下列各組對象中,不能組成集合的是() A.北京大學(xué)2018年入學(xué)的全體學(xué)生 B.參加某校校慶65周年招待會的全體成員 C.清華大學(xué)建校以來畢業(yè)的所有學(xué)生 D.中國的著名數(shù)學(xué)家 答案: