指數(shù)方程與對數(shù)方程教師版

1、指數(shù)方程與對數(shù)方程 【知識要點】 1指數(shù)方程與對數(shù)方程的定義：在指數(shù)上含有未知數(shù)的方程，叫做指數(shù)方程；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程，叫做對數(shù)方程。 2解指數(shù)方程、對數(shù)方程的基本思想：化同底或換元。 3.指數(shù)方程的基本類型： （1）(0,1,0),xacaac?其解為logaxc?； （2）()()(0,1)fxgxaaaa?，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程()()fxgx?求解； （3）()()(0,1,0,1)fxgxabaabb?，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程()lg()lgfxagxb?求解； （4）()0(0,1)xFaaa?，用換元法先求方程()0Fy?的解，再解指數(shù)方程xay?。 4. 對數(shù)方程的基本類型：

2、（1）log(0,1)axbaa?,其解為bxa?； （2）log()log()(0,1)aafxgxaa?，轉(zhuǎn)化為()()()0()0fxgxfxgx?求解； （3）(log)0(0,1)aFxaa?，用換元法先求方程()0Fy?的解，再解對數(shù)方程logaxy?。 典型例題 【例1】 解下列方程： (1)9x+6x=22x+1； (2)log4(3-x)+log41(3+x)=log4(1-x)+log41(2x+1)； (3)log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2. 【解前點津】 (1)可化為關(guān)于（32）x的一元二次方程；(2)直接化為一元二次方程求解；(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于3x

3、-1的一元二次方程. 【規(guī)范解答】 (1)由原方程得：32x+3x2x=222x，兩邊同除以22x得：(23)2x+（23）x-2=0. 因式分解得： （23）x-1(23)x+2=0. (23)x+20， (23)x-1=0，x=0. (2)由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)?(3-x)(2x+1)=(1-x)(3+x)解之:x=0或7，經(jīng)檢驗知：x=0為原方程解. (3)log2(9x-1-5)=log24(3x-1-2) ?9x-1-5=4(3x-1)-8因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=0?3x-1=1或3x-1=3

4、?x=1或2.經(jīng)檢驗x=2是原方程解. 【解后歸納】 指數(shù)方程與對數(shù)方程的求解思路是轉(zhuǎn)化.將超越方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，因轉(zhuǎn)化過程中有時“不等價”，故須驗根，“增根須舍去，失根要找回”是解方程的基本原則. 【例2】 解關(guān)于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0. 【解前點津】 利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉對數(shù)符號，并保留“等價性”. 【規(guī)范解答】 化原方程為： ?36)(21362036022222aaaxaaaxxaaxx a21，a2+6a-341+621-30，故由(x-a2)=a2+6a-3得：x-a=362?aa即x=a362?aa (a21). 【解后歸納】 含參方程的求解

5、，常依具體條件，確定參數(shù)的取值范圍. 【例3】 解關(guān)于x的方程：a24x+(2a-1)2x+1=0. 【解前點津】 令t=2x，則關(guān)于t的一元方程至少有一個正根，a是否為0，決定了方程的“次數(shù)”.【規(guī)范解答】 當(dāng)a=0時，2x=1，x=0； 當(dāng)a0時，=(2a-1)2-4a2=1-4a；若0則a41 (a0). 且關(guān)于t的一元二次方程a2t2+(2a-1)t+1=0至少有一個正根，而兩根之積為21a0，故兩根之和為正數(shù)，即221aa?0?a0，a1)有解，則b的取值范圍是 ( B ) A.-1，1 B.(-1，1) C (-，-1)1，+) D. (-，-1)(1，+) 9.關(guān)于x的方程|x-

6、2|=logax(a1)的解的個數(shù)是 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、思維激活 10.若關(guān)于x的方程：2x2+(3log2m-1)x-3=0和6x2+(2log2m-3)x-2=0有公共根，則使log2m為整數(shù)的m值為 . 10.從方程組中消去x2得公共根為：x=logm2，令u=log2m代入第一個原方程得22u+(3u-1)u1-3=0?u=2?log2m=2，m=4. 11.方程5x4log3=125log3的解集是 . 11.兩邊取對數(shù)：log3(4x)log35=log35log312?4x=12，x=3即解集為3. 12.關(guān)于x的方程5x=lg(a+3)有負根，aZ，則a的值所成之集為 . 12.x0，5x(0，1)即0lg(a+3)1?lg1lg(a+3)lg10?1a+310?-3a0，故由根與系數(shù)關(guān)系得：?23log2log27log2logmmaaaaloga2 (27-loga2)= 23?a=4或32. 15.解關(guān)于x的方程：lg(ax-1)-lg(x-1)=1. 15. 由?101011)1(1010101xaxxxax