(最新整理)計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱

1、(完整)計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱(完整)計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進(jìn)步，以下為(完整)計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱的全部內(nèi)容。數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)提綱第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差分析1了解誤差及其主要來源，誤差估計(jì);2了解誤差（絕對誤差、相對誤差)和有

2、效數(shù)字的概念及其關(guān)系；3掌握算法及其穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)算法遵循的原則。1、 誤差的來源模型誤差觀測誤差截?cái)嗾`差舍入誤差2誤差與有效數(shù)字絕對誤差 e（x）=x-x 絕對誤差限 相對誤差 有效數(shù)字若，稱有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字與誤差關(guān)系（1） m一定時(shí),有效數(shù)字n越多，絕對誤差限越小;（2） 有n位有效數(shù)字，則相對誤差限為.選擇算法應(yīng)遵循的原則1、 選用數(shù)值穩(wěn)定的算法，控制誤差傳播；例 x2、 簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)；3、 避免兩個(gè)相近數(shù)相減,和接近零的數(shù)作分母；避免第二章 線性方程組的數(shù)值解法1了解gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2掌握矩陣的三角分解，并利用三角分解求解方程組；（doo

3、little分解；crout分解；cholesky分解;追趕法) 3掌握迭代法的基本思想，jacobi迭代法與gaussseidel迭代法；4掌握向量與矩陣的范數(shù)及其性質(zhì)，迭代法的收斂性及其判定 .本章主要解決線性方程組求解問題，假設(shè)n行n列線性方程組有唯一解，如何得到其解？ 兩類方法，第一是直接解法,得到其精確解;第二是迭代解法，得到其近似解.一、 gauss消去法1、 順序auss消去法記方程組為:消元過程:經(jīng)步消元,化為上三角方程組第步若回代過程:、auss消去法避免回代，消元時(shí)上下同時(shí)消元、auss列主元消去法例 ：說明直接消元，出現(xiàn)錯(cuò)誤由順序auss消去法,得；auss列主元消去法原

4、理：每步消元前，選列主元,交換方程。算法：將方程組用增廣矩陣表示.（1)消元過程：對k=1,2,n1,選主元，找 如果，則矩陣a奇異,程序結(jié)束；否則執(zhí)行3。如果，則交換第k行與第行對應(yīng)的元素位置, 消元，對i=k+1, ,n,計(jì)算 對j=l+1, ,n+1,計(jì)算 （2）回代過程：1若則矩陣a奇異,程序結(jié)束；否則執(zhí)行。2 舉例說明。4、消元法應(yīng)用（1）行列式計(jì)算；（2）矩陣求逆。二、利用矩陣三角分解求解線性方程組1、求解原理線性方程組寫成矩陣形式為：ax=b若a=lu,則lux= b，記ux=y則ly= b若l、u為特殊矩陣，則求解線性方程組變?yōu)榻鈨蓚€(gè)特殊線性方程組問題。2、 doolittle

5、分解l為下三角矩陣, u為上三角矩陣,不一定能分解,分解也不一定唯一;設(shè)l或u是單位三角矩陣, 若能分解，則可分解唯一.l是單位下三角矩陣,稱為doolittle分解; u是單位上三角矩陣，稱為crout分解;定理: n階矩陣a有唯一分解的充要條件為a的前n-1階主子式都不為0.doolittle分解算法:由矩陣乘法：得到：算法特點(diǎn)：先計(jì)算u的行,再計(jì)算l的列,交替進(jìn)行;存儲時(shí)可用緊湊格式。矩陣分解后,解兩個(gè)三角方程組:ly= b,ux=y3、crout分解若l為下三角矩陣,u是單位上三角矩陣,則稱crout分解;算法特點(diǎn)：先計(jì)算l的列，再計(jì)算u的行，交替進(jìn)行.4、正定對稱矩陣的平方根法（ch

6、olesky分解）（1） 正定對稱矩陣性質(zhì)與判定：定義:是n階對稱矩陣，若對任意非零向量,有，則稱a為正定對稱矩陣； 判定：a為n階正定對稱矩陣充要條件a的各階順序主子式大于0.（2） cholesky分解定理：設(shè)a為n階正定對稱矩陣，則存在唯一主對角線元素都是正數(shù)的下三角陣l，使得。cholesky分解算法：5、 追趕法 三對角矩陣的特殊分解三對角方程組的追趕法：追的過程ly=d趕的過程ux=y2 線性方程組的迭代解法一、 jacobi迭代公式例： 其解為 方程變形得到迭代公式 給初值計(jì)算,觀察解的變化。一般地，對線性方程組若,則可從第i個(gè)方程中解出，得到j(luò)acobi迭代公式：簡記為:二、

7、gaussseidel迭代公式三、 sor迭代公式四、 迭代公式的矩陣表示 3 迭代公式的收斂性一、 向量與矩陣的范數(shù)與性質(zhì)1、 向量范數(shù)定義：向量，對應(yīng)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足三條件：（1）非負(fù)性 (2）齊次性 （3)三角不等式 稱為向量范數(shù)2、 常見向量范數(shù)1范數(shù) 2范數(shù) 范數(shù) 3、 矩陣范數(shù)定義：方陣,對應(yīng)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足三條件：（1）非負(fù)性 （2）齊次性 （3)三角不等式 (4）絕對值不等式 稱為矩陣范數(shù)；向量范數(shù)與矩陣范數(shù)相容性:4、常見矩陣范數(shù)1范數(shù),列范數(shù) ： 范數(shù),行范數(shù) : 2范數(shù)，譜范數(shù) ：f范數(shù)：舉例計(jì)算二、 迭代公式收斂性的判定1、 向量的極限2、 矩陣的譜半徑： 為特征值；3、收

8、斂性的判定收斂的充要條件：迭代公式收斂的充要條件為譜半徑。判定定理1:若則迭代公式收斂。判定定理2：若對方程ax=b的系數(shù)矩陣a為對角占優(yōu)，則jacobi迭代公式，gauss-seidel迭代公式收斂；判定定理3：若對方程ax=b的系數(shù)矩陣a為對稱正定,則gauss-seidel迭代公式收斂；jacobi迭代公式收斂與gauss-seidel迭代公式收斂關(guān)系舉例：第三章 非線性方程的數(shù)值解法1了解二分法的原理與算法；2掌握一般迭代法的基本思想及其收斂性判定 ；3掌握newton切線法、弦截法，并用它們求方程近似根的方法.本章問題:求方程f(x)=0的根1 二分法一、 根的存在性定理：函數(shù)f（x

9、）在區(qū)間a,b連續(xù)，且f（a)。f(b）0，則方程f(x）=0在區(qū)間a，b有根。方程的根存在，不一定唯一，若在區(qū)間a,b上有唯一根，稱區(qū)間a,b為根隔離區(qū)間。二、 二分法（區(qū)間逐次分半法)原理：通過計(jì)算根隔離區(qū)間中點(diǎn)，將區(qū)間分半，縮小區(qū)間，得到方程近似根數(shù)列。 取 2 迭代法一、 迭代原理迭代法是一種逐次逼近法，由提供的遞推公式計(jì)算，逐次精確，直到滿足精度要求。方程f（x)=0變形為，得到遞推公式-簡單迭代公式稱為迭代函數(shù)給初值計(jì)算,得到數(shù)列，若,則稱迭代收斂，否則發(fā)散。例:求方程寫出兩個(gè)簡單迭代公式：（1） （2)觀察計(jì)算得到數(shù)列的收斂性。迭代法的幾何解釋：二、 迭代收斂性判定收斂性定理:設(shè)

10、方程的迭代函數(shù)在a,b滿足：(1）當(dāng)時(shí)，；（2）在a，b可導(dǎo)，且，,則（1)方程在a，b有唯一根; (2)迭代公式收斂,即；（3)誤差估計(jì)。說明可根據(jù)迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷迭代收斂性。三、 迭代公式的加速3 newton 迭代法一、newton切線公式幾何作法迭代公式例：利用解二次方程推導(dǎo)近似計(jì)算的公式。由newton切線公式 三、 newton弦截公式newton切線公式的缺點(diǎn)及改進(jìn)幾何作法迭代公式newton弦截公式是兩步公式.第五章 插值法1。 掌握代數(shù)插值問題及其解存在唯一性，lagrange插值多項(xiàng)式構(gòu)造及其余項(xiàng)，插值基函數(shù)性質(zhì);2。 掌握差商的概念及其性質(zhì),newton插值多項(xiàng)式構(gòu)造，

11、兩種插值法之間的區(qū)別與聯(lián)系;3了解差分與等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式公式;4。 掌握hermite 插值問題及其構(gòu)造方法。本章問題:函數(shù)復(fù)雜，或無表達(dá)式，構(gòu)造簡單函數(shù)來代替。1 lagrange插值一、代數(shù)插值問題及插值多項(xiàng)式存在唯一條件1、代數(shù)插值問題:已知在區(qū)間a,b中互異的n+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，求次數(shù)n次多項(xiàng)式且滿足，（i=0，1，n）.2、插值多項(xiàng)式存在唯一條件：定理：存在唯一條件是n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)互異。二、lagrange插值構(gòu)造1、線形插值（n=1）幾何解釋；利用插值基函數(shù)構(gòu)造：基函數(shù)：一次多項(xiàng)式滿足 -1次lagrange插值多項(xiàng)式例1：求過點(diǎn)（4，2），（9,3）的1次lagrange插值多項(xiàng)

12、式,并計(jì)算近似值。2、拋物插值（n=2）幾何解釋；利用插值基函數(shù)構(gòu)造：基函數(shù)：二次多項(xiàng)式滿足 -2次lagrange插值多項(xiàng)式例2：求過點(diǎn)（1，1），（4，2),（9，3）的2次lagrange插值多項(xiàng)式，并計(jì)算近似值.3、一般情形：利用插值基函數(shù)構(gòu)造：基函數(shù)：n次多項(xiàng)式滿足 -n次lagrange插值多項(xiàng)式三、插值余項(xiàng)定理：若則插值誤差，其中。2 分段插值一、分段線性插值在區(qū)間a，b，分為n個(gè)區(qū)間，i=0,1，2n1每個(gè)區(qū)間由直線代替曲線，形成分段線性插值函數(shù)，二、分段拋物插值3 newton 插值一、差商及其性質(zhì)定義:一階差商:二階差商：k階差商：性質(zhì)：(1）差商可由節(jié)點(diǎn)函數(shù)值表示；（2)

13、差商值與節(jié)點(diǎn)次序無關(guān)。二、newton 插值多項(xiàng)式由差商定義。.依次帶入- newton 插值多項(xiàng)式計(jì)算時(shí)先造差商表；三、余項(xiàng)4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式一、差分及其性質(zhì):二、等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式5 hermite 插值一、帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式1、問題：求次數(shù)不超過3次多項(xiàng)式；2、利用基函數(shù)構(gòu)造二、一般情形1、問題：求次數(shù)不超過2n+1次多項(xiàng)式2、利用基函數(shù)構(gòu)造見教材第七章 數(shù)值微積分1. 了解數(shù)值求積基本思想;2. 掌握newtoncotes公式(梯形公式，simpson公式，cotes公式)推導(dǎo)及誤差；3。 了解romberg 求積公式原理；4了解數(shù)值微分的方法。本章問題:數(shù)值積分問題求定積分

14、 不能使用微積分公式情形存在問題:（1）f（x)表達(dá)式復(fù)雜，原函數(shù)更復(fù)雜； (2）f(x)表達(dá)式不復(fù)雜，但原函數(shù)復(fù)雜；(3）原函數(shù)不存在； （3）f（x)無表達(dá)式1 newtoncotes公式一、 數(shù)值求積基本思想1、 不利用原函數(shù)，直接利用函數(shù)值積分中值定理：為平均高度；機(jī)械求積方法：為求積節(jié)點(diǎn)；為求積系數(shù)。2、 幾個(gè)簡單求積公式左矩形公式右矩形公式中矩形公式梯形公式二、 newton-cotes公式1、公式推導(dǎo)由lagrange插值多項(xiàng)式代替函數(shù)f(x）記則求積系數(shù)的計(jì)算：-為cotes系數(shù)；- newton-cotes求積公式2、cotes系數(shù)性質(zhì)對稱性：權(quán)性：3、常用公式n=1梯形公式

15、：n=2simpson,拋物公式：n=4cotes公式： 4誤差估計(jì)：見教材 舉例說明。 2 romberg 求積公式一、復(fù)化梯形公式將積分區(qū)間a，b, n等份，步長誤差估計(jì):二、梯形公式遞推化三、romberg 求積公式由梯形公式修正，提高精度3 gauss型求積公式一、代數(shù)精確度定義：若求積公式對任意m次代數(shù)多項(xiàng)式精確成立,而對m+1次代數(shù)多項(xiàng)式不精確成立，稱求積公式具有m次代數(shù)精確度。判定:求積公式具有m次代數(shù)精確度求積公式對精確成立;而對 不精確成立。例:梯形公式具有1次代數(shù)精確度；定理1：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式代數(shù)精確度至少為n;定理2；newtoncotes公式代數(shù)精確度至少

16、為n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可達(dá)n+1次代數(shù)精確度。二、gauss型求積公式定義：若n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)求積公式具有2n+1次代數(shù)精確度,則稱為gauss型求積公式，節(jié)點(diǎn)為gauss點(diǎn).gauss點(diǎn)的特性:見教材第八章 常微分方程數(shù)值解1。 掌握 euler方法（euler公式，梯形公式，euler預(yù)估校正公式）,局部截?cái)嗾`差，公式的階；2。 了解 rungekutta 方法的基本思想及四階經(jīng)典rungekutta 公式；3。 掌握線性多步方法的原理與公式推導(dǎo)。本章問題:一階常微分方程初值問題 解的存在性定理:解析解的概念數(shù)值解的概念1 euler方法一、 euler公式導(dǎo)數(shù)離散化由向前差商代替導(dǎo)數(shù)得記為 - euler顯式公式由向后差商代替導(dǎo)數(shù)得記為 - euler隱式公式由中心差商代替導(dǎo)數(shù)得記為 - euler兩步公式二、 euler預(yù)估校正公式梯形公式預(yù)估：校