陀螺進(jìn)動(dòng)理論

1、陀螺進(jìn)動(dòng)理論及其局限性什么是陀螺？廣義上說(shuō)，只要能繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而此軸又可繞另一匯交軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體就可叫作陀螺。但工程上常將具有固定點(diǎn)的，高速自轉(zhuǎn)的對(duì)稱(chēng)剛體稱(chēng)為陀螺。就像我們平時(shí)玩的玩具陀螺，由于高速自轉(zhuǎn)，就有可能對(duì)對(duì)稱(chēng)剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)作近似研究。設(shè)對(duì)稱(chēng)剛體在對(duì)稱(chēng)軸z（陀螺主軸）上具有固定點(diǎn)O，剛體有3個(gè)自由度；陀螺繞主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。如果陀螺的自轉(zhuǎn)角度大大的大于主軸在空間的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，就可用陀螺的自轉(zhuǎn)動(dòng)量矩近似代替陀螺對(duì)點(diǎn)O的全部動(dòng)量矩。這里是陀螺的自轉(zhuǎn)角速度，由陀螺馬達(dá)維持為常量（轉(zhuǎn)速通常為6000rpm到10000rpm），因此，陀螺自轉(zhuǎn)動(dòng)量矩H的大小為常量，方向與主軸一致這時(shí)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩

2、可近似寫(xiě)成：H對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的物理意義是H端點(diǎn)的速度，因而有 即陀螺自轉(zhuǎn)動(dòng)量矩H端點(diǎn)的速度等于陀螺所受的外力矩。由該式可推出陀螺的三個(gè)力學(xué)特性：1 定軸性 如果陀螺不受任何外力矩，則其主軸在慣性空間保持方向不變2 進(jìn)動(dòng)性 如果陀螺受到外力矩的作用，則主軸的運(yùn)動(dòng)并不是在外力矩的作用平面內(nèi)發(fā)生，而是在垂直于該平面發(fā)生。這種特殊運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為陀螺的進(jìn)動(dòng)性，如圖1所示，力F作用于陀螺主軸，對(duì)點(diǎn)O產(chǎn)生力矩為Mo，H端點(diǎn)有速度，于是主軸繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即垂直于力F與支點(diǎn)O形成的鉛垂平面運(yùn)動(dòng)。進(jìn)動(dòng)角速度圖13 陀螺效應(yīng) 如果強(qiáng)制陀螺以角速度W進(jìn)動(dòng)，則陀螺必給施力者一個(gè)反力偶，其力矩為Mr ， 有： MrMo MrH這個(gè)

3、力矩與一般剛體的反作用力矩也不相同，稱(chēng)為陀螺力矩；與陀螺力矩有關(guān)的現(xiàn)象稱(chēng)為陀螺效應(yīng)這些結(jié)論統(tǒng)稱(chēng)為陀螺的進(jìn)動(dòng)理論，它是高速自轉(zhuǎn)下的近似理論，只適用于三自由度陀螺。陀螺進(jìn)動(dòng)理論是有其局限性的，是近似的，其本質(zhì)是忽略了陀螺的慣性，一般的靜止物體受力時(shí)，物體有加速度，但不能立刻獲得速度，必須經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后才能獲得速度，這說(shuō)明物體有慣性。而陀螺進(jìn)動(dòng)理論指出，只要有力矩M作用，陀螺主軸立即以角速度進(jìn)動(dòng)，這顯然忽略了陀螺的慣性。這就導(dǎo)致了進(jìn)動(dòng)理論對(duì)某些必須考慮陀螺慣性的問(wèn)題失效，例如：涉及穩(wěn)定性的問(wèn)題。圖2如圖2所示，以直立陀螺為例，其重心位于支點(diǎn)的上方，A為對(duì)n軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。依照進(jìn)動(dòng)理論，在重力矩作用下，

4、H端點(diǎn)的速度恒垂直于陀螺主軸z與鉛垂軸n構(gòu)成的平面，因此，不管自轉(zhuǎn)角速度如何，陀螺主軸均作圓錐運(yùn)動(dòng)而不倒，這顯然與實(shí)際不符。實(shí)際上陀螺主軸在作進(jìn)動(dòng)的同時(shí)還疊加有高頻微幅的圓錐狀抖動(dòng)，稱(chēng)為陀螺的章動(dòng)。如果這個(gè)章動(dòng)是隨時(shí)間發(fā)散的，則陀螺在鉛直位置的直立狀態(tài)就不可能穩(wěn)定。若要考慮陀螺的章動(dòng)，就必須考慮其慣性，也就必須轉(zhuǎn)向精確的動(dòng)力學(xué)方程。當(dāng)直立陀螺的主軸在鉛直線附近作圓錐運(yùn)動(dòng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有 （1）引入變量 它的意義是陀螺角速度在主軸上的投影，且有。由于重力矩Mo恒垂直于主軸，即動(dòng)量矩矢量Lo端點(diǎn)的速度恒垂直于主軸，因此Lz是常量，即 代入式（1）得這是一個(gè)相對(duì)變量的二次代數(shù)方程式，要想有實(shí)數(shù)解，即要想使陀螺在直立位置附近的規(guī)則進(jìn)動(dòng)能夠?qū)崿F(xiàn)，判別式應(yīng)大于零 ：把在鉛垂位置直立的陀螺看成的極限狀態(tài)，則得到直立陀螺的穩(wěn)定條件是所以，要想使陀螺在鉛直位置穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)，