初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講義

1、.第一講 和絕對(duì)值有關(guān)的問題一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：二、 絕對(duì)值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。 說明：（）|a|0即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。也可以寫成： 三、 典型例題例1（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A-3a B 2ca C2a2b D b例2已知：，且， 那么的值（ ）A是正數(shù)B是負(fù)數(shù)C是零D不能確定符號(hào)例3

2、（分類討論思想）已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？例4（整體思想）方程 的解的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D無窮多個(gè)例5（非負(fù)性）已知|ab2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值例6（距離問題）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：_ .（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 _.（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 ，取得最小值時(shí)x的

3、取值范圍為 _.（4） 滿足的的取值范圍為 _ .第二講：代數(shù)式的化簡求值問題1、 知識(shí)鏈接1“代數(shù)式”是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容.2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會(huì)簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。 二、典型例題例1若多項(xiàng)式的值與x無關(guān)，求的值.例2x=-2時(shí)，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值。例3當(dāng)代數(shù)式的值為7時(shí),求代數(shù)式的值.例4 已知，求的值.例5（實(shí)際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會(huì)招

4、聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？例6三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_ 。172839410511612例7如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時(shí)針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射線 _上，“2008”在射線_上（2）若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為_例8 將正奇數(shù)按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列

5、第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列例9（2006年嘉興市）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n5；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行例如，取n26，則：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是_第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題一、典型例題例1若關(guān)于x的一元一次方程=1的解是x=-1，則k的值是（ ）A B

6、1 C- D0例2若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系） a、b、c、d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算 . （1）則的值為 ；（2）當(dāng) 時(shí)，= . 例4（方程的思想）如圖，一個(gè)瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（ ）不考慮瓶子的厚度.A B C D例5 小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊(duì)的人一樣多，就站在A窗口隊(duì)伍的里面，過了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊(duì)伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人。此時(shí)，若小李迅速從A窗口隊(duì)伍轉(zhuǎn)移到B窗口

7、后面重新排隊(duì)，將比繼續(xù)在A窗口排隊(duì)提前30秒買到飯，求開始時(shí)，有多少人排隊(duì)。 （提示）題中的等量關(guān)系為：小李在A窗口排隊(duì)所需時(shí)間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊(duì)所需時(shí)間+ 課外知識(shí)拓展：一、含字母系數(shù)方程的解法： 思考：是什么方程？在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡形式中都要求a0，所以不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6解方程例7問當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有無數(shù)解；（3）無解。例 8 解方程二、含絕對(duì)值的方程解法例9 解下列方程 例10 解方程 例11 解方程 第四講：圖形的初步認(rèn)識(shí)基本要求： 1如圖四個(gè)圖形都是由6個(gè)大小相同的正方形組成，其中是

8、正方體展開圖的是（ ）A B C D123645較高要求：2下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3一個(gè)正方體的展開圖如右圖所示，每一個(gè)面上都寫有一個(gè)自然數(shù)并且相對(duì)兩個(gè)面所寫的兩個(gè)數(shù)之和相等，那么a+b-2c= （ ）A40 B.38 C.36 D. 344下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（ ）ABCD 9下面是四個(gè)立體圖形的展開圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是( )A正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、

9、四棱柱、圓錐13對(duì)右面物體的視圖描繪錯(cuò)誤的是 （ ） （四）新穎題型16. 正方體每一面不同的顏色對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個(gè)這樣的正方體如圖拼成一個(gè)水平放置的長方體，那么長方體的下底面數(shù)字和為 .第五講：線段和角一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 二、典型問題：（一）數(shù)線段數(shù)角數(shù)三角形問題1、直線上有n個(gè)點(diǎn)，可以得到多少條線段？ 問題2如圖，在AOB內(nèi)部從O點(diǎn)引出兩條射線OC、OD，則圖中小于平角的角共有（ ）個(gè) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展： 在AOB內(nèi)部從O點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)？ （二）與線段中點(diǎn)有關(guān)的問題 線段的中點(diǎn)定義：文字語言：若一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，那么

10、這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)圖形語言：幾何語言： M是線段AB的中點(diǎn) ，典型例題：1由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點(diǎn)”的是（ ）（A）AP=AB （B）AB2PB （C）APPB （D）APPB=AB 2若點(diǎn)B在直線AC上，下列表達(dá)式：；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC其中能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3已知線段MN，P是MN的中點(diǎn)，Q是PN的中點(diǎn)，R是MQ的中點(diǎn)，那么MR= _ MN4如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，若MN=a，BC=b，則線段AD的長是（ ） A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-

11、b（三）與角有關(guān)的問題1 已知：一條射線OA，若從點(diǎn)O再引兩條射線OB、OC，使AOB=600，BOC=200，則AOC=_度（分類討論）2 A、O、B共線，OM、ON分別為 AOC 、 BOC的平分線，猜想 MON的度數(shù)，試證明你的結(jié)論3如圖，已知直線和相交于點(diǎn)，是直角，平分，求的度數(shù)4如圖，BO、CO分別平分ABC和ACB，（1）若A = 60，求O；（2）若A =100，O是多少？若A =120，O又是多少？（3）由（1）、（2）你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？ （提示：三角形的內(nèi)角和等于180）5如圖，O是直線AB上一點(diǎn),OC、OD、OE是三條射線,則圖中互

12、補(bǔ)的角共有（ B ）對(duì) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56互為余角的兩個(gè)角（ ）（A）只和位置有關(guān) （B）只和數(shù)量有關(guān) （C）和位置、數(shù)量都有關(guān) （D）和位置、數(shù)量都無關(guān)7已知1、2互為補(bǔ)角，且12，則2的余角是（ ）A.（12） B.1 C.（12） D.2第六講：相交線與平行線 一、知識(shí)框架二、典型例題1.下列說法正確的有( ) 對(duì)頂角相等;相等的角是對(duì)頂角;若兩個(gè)角不相等,則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角;若兩個(gè)角不是對(duì)頂角,則這兩個(gè)角不相等. A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.如圖所示,下列說法不正確的是( )毛A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB; B.點(diǎn)C到AB的垂線段是

13、線段ACC.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段; D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段3.下列說法正確的有( )在平面內(nèi),過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線; 在平面內(nèi),過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線; 在平面內(nèi),過一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于已知直線;在平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線. A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30第二次向右拐30 B. 第一次向右拐50第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50第二次向右拐130 D. 第一次向左拐50第二次向左拐1305

14、如圖，若ACBC于C，CDAB于D，則下列結(jié)論必定成立的是（ ）A. CDAD B.ACBD D. CDBD6如圖,已知ABCD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72,則2=_.7 如圖,ABEFCD,EGBD,則圖中與1相等的角(1除外)共有( )A.6個(gè) B.5個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)8如圖，直線l1、l2、l3交于O點(diǎn)，圖中出現(xiàn)了幾對(duì)對(duì)頂角，若n條直線相交呢？9. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關(guān)系是_12310. 如圖所示,L1,L2,L3交于點(diǎn)O,1=2,3:1=8:1,求4的度數(shù).( 方程思想) 12如圖，若AB/EF，C= 90，求x+y-z 度數(shù)。13已知

15、：如圖， 求證：第七講：平面直角坐標(biāo)系一、知識(shí)要點(diǎn)：1、特殊位置的點(diǎn)的特征（1）各個(gè)象限的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)： 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,即縱坐標(biāo)為0;軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為0;2、具有特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且;、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且;、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，且。3、距離（1）點(diǎn)A到軸的距離：點(diǎn)A到軸的距離為|；點(diǎn)A到軸的距離為|；（2）同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)之間的距離：A、B，則；A、B，則；二、典型例題1、已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），如果xyc,b+ca,c+ab（兩點(diǎn)之間線段最短）由上式可變形得到： acb，bac，cba即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2

16、 高:由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 中線：連接三角形的頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段，稱為三角形的中線4 角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線與這個(gè)角對(duì)邊的交點(diǎn)和這個(gè)角的頂點(diǎn)之間線段稱為三角形的角平分線.二、典型例題（一）三邊關(guān)系1已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是( ) A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a（AB+AC）（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？ （2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4如圖，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜邊上的高，DEAC，D

17、FAB，垂足分別為E、F，則圖中與C（C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（ ） A5 B4 C3 D2 5如圖，ABC中，A = 40，B = 72，CE平分ACB，CDAB于D， DFCE，求CDF的度數(shù)。6ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點(diǎn)O。（1）若ABC = 40，ACB = 50，則BOC = 。（2）若ABC +ACB =116，則BOC = 。（3）若A = 76，則BOC = 。（4）若BOC = 120，則A = 。（5）你能找出A與BOC 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？8已知: BE, CE分別為 ABC 的外角 MBC, NCB的角平分線,求: E與A的關(guān)系 9已知: BF為ABC的角平

18、分線, CF為外角ACG的角平分線, 求: F與A的關(guān)系第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理（一）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180（二）三角形的外角性質(zhì)定理：三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和三角形的任意一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角（三）多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180 多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360二、典型例題1如圖,在ABC中,B=C,BAD=40,且ADE=AED,求CDE的度數(shù).2如圖：在ABC中，CB，ADBC于D，AE平分BAC 求證：EAD（CB） 3已知：CE是ABC外角ACD的角平分線，CE交BA于E 求證：BACB4

19、多邊形內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和是1350，求多邊形的邊數(shù)。5 科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D4中的 步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（ ）A. 6米B. 8米 C. 12米D. 不能確定 第十講：二元一次方程組一、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1、 二元一次方程的定義：經(jīng)過整理以后，方程只有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)都不為0，這樣的整式方程稱為二元一次方程。2、二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)式： 3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)和的值，叫做這個(gè)方程的一個(gè)解。4、 二元一次方程組的定義：方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程都是一次方程，這樣的方程組稱為二

20、元一次方程組。5、 二元一次方程組的解：使二元一次方程組的二個(gè)方程左右兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。二、典型例題1下列方程組中，不是二元一次方程組的是（ ） 2有這樣一道題目：判斷是否是方程組的解？小明的解答過程是：將，代入方程，等式成立所以是方程組的解小穎的解答過程是：將，分別代入方程和中，得，所以不是方程組的解你認(rèn)為上面的解答過程哪個(gè)對(duì)？為什么？3若下列三個(gè)二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值應(yīng)是（ ）A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=34解方程組5已知方程組的解是，則方程組的解是（ ）A B C D67解方程

21、組8解三元一次方程組9字母系數(shù)的二元一次方程組。當(dāng)為何值時(shí)，方程組有唯一的解 11為了改善住房條件，小亮的父母考察了某小區(qū)的A、B兩套樓房，A套樓房在第3層樓，B套樓房在第5層樓，B套樓房的面積比A套樓房的面積大24平方米，兩套樓房的房價(jià)相同。第3層樓和第5層樓的房價(jià)分別是平均價(jià)的1.1倍和0.9倍。為了計(jì)算兩套樓房的面積，小亮設(shè)A套樓房的面積為x 平方米，B套樓房的面積為y平方米，根據(jù)以上信息列出下列方程組，其中正確的是（ ）A B C D12某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：購買香蕉數(shù)（千克）不超過20千克20千克以上但不超過40千克40千克以上每千克價(jià)格6元5元4元張強(qiáng)兩次共購買香蕉50千

22、克（第二次多于第一次），共付出264元，請(qǐng)問張強(qiáng)第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？ 第十一講：一元一次不等式一、知識(shí)鏈接：1不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不改變。若ab，則a+cb+c（a-cb-c）。性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。若ab且c0，則acbc。性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。若ab且c0，則acb。即“大大取大” “小小取小” “大小小大取中間” “大大小小取不了”二、典型例題：1下列關(guān)系不正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則2已知且，為任意有理數(shù)，下列式子中正確的是（ ）A B C D3下列判斷不正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則4若不等式axb的解集是x，則a的范圍是（ ）A、a0 B、a0 C、a0 D、a05解關(guān)于x的不等式 6解關(guān)于x的不等式。7若不等式是同解不等式，求m的值。8不等式組的解集為_.9若不等式組的解是x3，則m的取值范圍是（ ）A B C D10 關(guān)于x的不等式組 有四個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）A B C D11已知關(guān)于、的方程組的解適合不等式，求的取值范圍.12解下列不等式（1） （2） 思考題：解下列含絕對(duì)值的不等