垂徑定理課件

1、趙州石拱橋,1300多年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).,垂直于弦的直徑 （垂徑定理）,把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？,圓是軸對(duì)稱圖形，,判斷：任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸（ ）,X,任何一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸。,如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E （1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。繛槭裁?？,O,A,B,C,D,E,

2、思考,（1）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸,（2） 線段： AE=BE,總結(jié)：,垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分弦， 并且平分弦對(duì)的兩條弧。,應(yīng)用垂徑定理的書寫步驟,定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,CDAB, CD是直徑,AM=BM,引申定理,定理中的徑可以是直徑、半徑、弦心距等過(guò)圓心的直線或線段。從而得到垂徑定理的變式： 一條直線具有：,平分弦,經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦,平分弦所對(duì)的劣（優(yōu)）弧,E,O,A,B,D,C,E,A,B,C,D,E,O,A,B,D,C,E,O,A,B,C,E,O,C,D,A,B,練習(xí)1,O,B,A,E,D,在下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？

3、,O,垂徑定理的幾個(gè)基本圖形,判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,注意：定理中的兩個(gè)條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！,A,B,C,D,E,A,B,D,C,AC=BC,AD=BD,CDAB,CDAB,AE=BE,平分弦 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,（不是直徑）,垂徑定理的推論1:,CDAB嗎？,(E),“知二推三” (1)垂直于弦 (2)過(guò)圓心 (3)平分弦 (4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 (5)平分弦所對(duì)的劣弧 注意:當(dāng)具備了(1)(3)時(shí),應(yīng)對(duì)另一 條弦增加”不是直徑”的限制.,你可以寫出相應(yīng)的命題嗎? 相信自己是最棒的!,垂徑定理的推論,如圖,在下列五個(gè)條件中:,只要具備其中兩個(gè)條件,就

4、可推出其余三個(gè)結(jié)論., CD是直徑, AM=BM, CDAB,垂徑定理及推論,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.,平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對(duì)的兩條弧.,平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.,垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.,平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且垂直平分弦.,一、判斷是非：,（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。,（2）平分弦的直線，必定過(guò)

5、圓心。,（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑）， 那么這 條直線垂直這條弦。,(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。,（5）平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的 弦。,（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。,（7）平分弦的直徑垂直于弦,弦心距：過(guò)一個(gè)圓的圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離叫做弦心距,如圖：圓O中，AB是圓O中的一條弦，其中OCAB 圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長(zhǎng)用a表示，則d，r，a之間滿足什么樣的關(guān)系呢？,8cm,1半徑為4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圓心O到弦AB的距離是 。 2O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的 距離為3cm，則弦AB的長(zhǎng)是 。 3半徑為2

6、cm的圓中，過(guò)半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是 。,練習(xí) 1,垂徑定理的應(yīng)用,1.如圖,在O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心到AB的距離為3cm,則O的半徑為 .,練習(xí) 2：,A,B,O,C,5cm,3,4,2.弓形的弦長(zhǎng)AB為24cm，弓形的高CD為8cm，則這弓形所在圓的半徑為.,13cm,(1)題,(2)題,12,8,方法歸納:,解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常連接半徑；過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。 垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。,3、如圖，P為O的弦BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PAAB2，PO5，求O的半徑。,關(guān)于弦的問(wèn)題，常常需要過(guò)圓心作弦心距，這是一條非常重要的輔助線

7、。 弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。,解：如圖，設(shè)半徑為R，,在tAOD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.,趙州橋主橋拱的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋 主橋拱的半徑嗎？,AB=37.4,CD=7.2,R,18.7,R-7.2,再逛趙州石拱橋,1如圖，在O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑,O,A,B,E,練習(xí),解：,答：O的半徑為5cm.,活 動(dòng) 三,在RtAOE中,圖中兩圓為同心圓,變式3：隱去（變式1）中的大圓，得右

8、圖連接OA，OB，設(shè)OA=OB，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？,變式4：隱去（變式1）中的大圓，得右圖，連接OC，OD，設(shè)OC=OD，AC、BD有什么關(guān)系？為什么？,變式1：AC與BD有什么關(guān)系？,變式2：ACBD依然成立嗎,2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形., OEAC ODAB,已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。 求證：ACBD。,圖,課 堂 練 習(xí),已知P為O內(nèi)一點(diǎn),且OP=2cm,如果O的半徑是3cm,那么過(guò)P點(diǎn)的最短的弦等于_,小 結(jié),、圓的軸對(duì)稱性,、垂徑定理及其推論的圖式,E,小結(jié):,解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,別忘記還有我喲！,1、教材88頁(yè)習(xí)題24.1 第8題； 2、教輔書48-51頁(yè),作業(yè)：,1.過(guò)o內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為10,最短弦長(zhǎng)為8,那么o的半徑是,2.已知o的弦AB=6,直徑CD=10,且AB