反常積分習題課

1、數(shù)學分析,反常積分習題課,第十一章,基本問題：反常積分的斂散性判別及其計算,無窮積分與暇積分的概念及其斂散性，絕對收斂性 斂散性判別：Cauchy準則，比較判據(jù)（Cauchy），Dirichlet判據(jù)，Able判據(jù) 無窮積分與暇積分的計算（極限）,統(tǒng)一思想：轉(zhuǎn)化思想，極端原理,由熟悉（有界閉區(qū)間有界函數(shù)的性質(zhì)）認識（極限性質(zhì)）陌生；極端原理（抓主要矛盾、控制思想）。 同號函數(shù)，越小越好。,變號函數(shù)，分解為二，一單調(diào)，二震蕩，二者相輔相成。,基本要求：理解思想，牢記法則,理解Cauchy收斂準則的科學依據(jù)； 理解比較判別法、Dirichlet及Able判別法的科學依據(jù)； 牢記兩個特殊函數(shù)類的積分

2、斂散性； 牢記三種判別法：比較判別法、Dirichlet及Able判別法。,主要知識點,一、反常積分及其斂散性概念,無窮積分 = 無界區(qū)間上（有界函數(shù)）的積分 三種情況： a, )； (, b； (, ) 暇積分 = （有界區(qū)間上）無界函數(shù)的積分 三種情況：(a,b;a,b);a,c)(c,b,在任何有限區(qū)間a, u上可積，且存在極限,1. 無窮積分的收斂性,歸結(jié)為變上限積分函數(shù)的極限問題 計算無窮積分的依據(jù),在任何內(nèi)閉區(qū)間u, b (a, b上可積且存在極限,2. 暇積分的收斂性,歸結(jié)為變下限積分函數(shù)的極限問題 計算暇積分的依據(jù),3. 兩類重要的反常積分,當且僅當p 1時收斂。,當且僅當q

3、1時收斂。,典型的控制函數(shù),二、 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別,任給 0, 存在G a, 只要u1, u2G, 便有,1. Cauchy收斂準則,無窮遠片段無限小,起點無關(guān)性,2. 基本性質(zhì),區(qū)間可加性,線性可加性,與,同斂散.,絕對收斂性,若 f 在任何有限區(qū)間a, u上可積, 且有,絕對收斂者一定收斂，反之未必.,收斂而不絕對收斂者稱為條件收斂.,3. 非負函數(shù)比較法則,設(shè)定義在a, )上的兩個函數(shù)， f 和g都在任何,有限區(qū)間a, u上可積, 且存在M a 使得,非負函數(shù) 大的收斂 小的收斂 小的發(fā)散 大的發(fā)散,比較判別法的極限形式,若 f 和 g 都在a, u上可積, g(x)0, 且,則

4、有 :,也發(fā)散.,Cauchy判別法,設(shè) f 定義于a, )(a0), 且在,任何有限區(qū)間a, u上可積, 則,(i) 當,(ii) 當,其中M是某正實數(shù)。,Cauchy判別法極限形式,設(shè) f 定義于a, ), 在任何,有限區(qū)間a, u上可積, 且,則有,Dirichlet判別法 若,原理：Cauchy判別準則，積分第二中值定理。,(2) g(x)在a, )當x時單調(diào)趨于0.,3. 非負函數(shù)比較法則,f (x)的原函數(shù)是有界函數(shù),Abel判別法 若,原理：Cauchy判別準則，積分第二中值定理。,(1),(2) g(x)在a, )上單調(diào)有界.,收斂,重要例子,與,在p0時收斂.,收斂(絕對收斂

5、)的無窮積分的被積函數(shù)(即使連續(xù))未必趨于0，甚至可能是無界的。,若無窮積分收斂且被積函數(shù)f(x)收斂或一致連續(xù)或單調(diào)，則被積函數(shù) f(x) 趨于0。,三、瑕積分的性質(zhì)與收斂判別,1. Cauchy收斂準則,任給 0, 存在 0, 只要u1, u2(a, a ), 總有,瑕積分 (瑕點為a) 收斂的充要條件是:,線性可加性,2. 基本性質(zhì),區(qū)間可加性,終點無關(guān)性(a為瑕點),與,同斂散.,絕對收斂性,設(shè) f 的瑕點為a, f 在(a, b的任一內(nèi)閉區(qū)間u, b上可,積. 則當 收斂時, 也必收斂, 并有,絕對收斂者一定收斂，反之未必.,當 收斂時, 稱 絕對收斂；收斂而非絕對收斂者稱條件收斂,

6、比較法則,設(shè)定義在(a, b上的兩個函數(shù) f 和g,瑕點同為xa, 在任何u, b(a, b上都可積, 且滿足,3. 非負函數(shù)比較判別法,比較判別法漸近性態(tài),若g(x)0, 且,則有:,Cauchy判別法,上可積, 則,(i) 當,設(shè) f 定義于(a, b, a為其瑕點,且在任何u, b(a, b,(ii) 當,Cauchy判別法漸近性態(tài),則有:,上可積. 如果,設(shè) f 定義于(a, b, a為其瑕點,且在任何u, b(a, b,Dirichlet判別法,(2) g(x)在(a, b當x a+時單調(diào)趨于0.,原理：Cauchy判別準則，積分第二中值定理。,若,4. 變號函數(shù)判別法,f (x)的原函數(shù)是有界函數(shù),Abel判別法,若,(2) g(x)在(a, b上單調(diào)有界.,習題釋疑及例題選講,習題解題思路,課本各節(jié)習題(略),課后作業(yè),習 題,看1例3-6； 2例1-4；3例1-2.