全微分與鏈式法則[高教課堂]

1、第八章,8.3,8.3.1、全微分,全微分與鏈式法則,8.3.2、鏈式法則,1,詳細課資,一元函數(shù) y = f (x) 的微分,常數(shù)A與x 無關,僅與x 有關,對 x 的偏增量,對 x 的偏微分,對 y 的偏增量,對 y 的偏微分,8.3.1、全微分,2,詳細課資,引例: 一塊長方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了,設面積為 A , 則,面積的增量為,關于x,y的線性主部,故,變到,分別由,其邊長,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,變到,多少?,3,詳細課資,定義:,如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依賴于

2、 x , y , 僅與 x , y 有關，,稱為函數(shù),在點 (x, y) 的全微分, 記作,若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù),f ( x, y ) 在點( x, y) 可微，,處全增量,則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.,一般地,4,詳細課資,(2) 偏導數(shù)連續(xù),下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:,(1) 函數(shù)可微,函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微,由微分定義 :,得,函數(shù)在該點連續(xù),偏導數(shù)存在,函數(shù)可微,即,5,詳細課資,定理1(必要條件),若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點偏導數(shù),同樣可證,證: 因函數(shù)在點(x, y) 可微,

3、 故,必存在,且有,得到對 x 的偏增量,因此有,6,詳細課資,反例: 函數(shù),易知,但,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !,即:,因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 .,7,詳細課資,定理2 (充分條件),（證略）,若函數(shù),的偏導數(shù),則函數(shù)在該點可微分.,于是，全微分,解:,8,詳細課資,例2. 計算函數(shù),的全微分.,解:,例3. 計算函數(shù),的全微分.,解:,9,詳細課資,例4.計算,的近似值.,解: 設,則,取,則,10,詳細課資,內(nèi)容小結(jié),1. 微分定義:,2. 重要關系:,偏導數(shù)存在,函數(shù)可微,偏導數(shù)連續(xù),11,詳細課資,思考與練習,函數(shù),在,可微的充分條

4、件是( ),的某鄰域內(nèi)存在 ;,時是無窮小量 ;,時是無窮小量 .,1. 選擇題,12,詳細課資,2. 設,解:,利用輪換對稱性 , 可得,注意: x , y , z 具有 輪換對稱性,13,詳細課資,答案:,3. 已知,在點 (0,0) 可微 .,備用題,在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數(shù)存在,續(xù),證: 1),因,故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ;,但偏導數(shù)在點 (0,0) 不連,證明函數(shù),所以,14,詳細課資,同理,極限不存在 ,在點(0,0)不連續(xù) ;,同理 ,在點(0,0)也不連續(xù).,2),3),15,詳細課資,4) 下面證明,可微 :,說明: 此題表明, 偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.,

5、令,則,16,詳細課資,一元復合函數(shù),求導法則,本節(jié)內(nèi)容:,一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則,二、多元復合函數(shù)的全微分,微分法則,8.3.2、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則,17,詳細課資,定理. 若函數(shù),處偏導連續(xù),在點 t 可導,則復合函數(shù),且有鏈式法則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 全導數(shù)公式 ),18,詳細課資,推廣:,1) 中間變量多于兩個的情形. 例如,設下面所涉及的函數(shù)都可微 .,2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,19,詳細課資,3),當它們都具有可微條件時, 有,注意:,這里,表示固定 y 對 x 求導,表示固定 v 對 x 求導,與

6、,不同,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,口訣 :,連線相乘, 分叉相加, 單路全導, 叉路偏導,20,詳細課資,例1. 設,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,21,詳細課資,例2. 設,求全導數(shù),解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.,解:,令 u = 1+ x2 , v = cos x ,則,22,詳細課資,解: 設,于是,23,詳細課資,例4.,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,24,詳細課資,例5. 設,f 具有一階連續(xù)偏導數(shù),求,解: 令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,25,詳細課資,多元復合函數(shù)的全微分,設函數(shù),的全微分為,可見無論 u , v

7、 是自變量還是中間變量,則復合函數(shù),都可微,其全微分表達,形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.,26,詳細課資,例6. 設,例1 .,解:,所以,27,詳細課資,8.3.3 一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù),定理1. 設函數(shù),則方程,單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù),(隱函數(shù)求導公式),定理證明從略，僅就求導公式推導如下：, 具有連續(xù)的偏導數(shù);,的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個,在點,的某一鄰域內(nèi)滿足,滿足條件,導數(shù),28,詳細課資,兩邊對 x 求導,在,的某鄰域內(nèi),則,29,詳細課資,若F( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù) :,則還可求隱函數(shù)的,30,詳細課資,例4. 求由方程,解法一 令,所確定的y是x的函數(shù)的,導數(shù).,解法二,方程兩邊對 x 求導,31,詳細課資,定理2 .,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù) ;,則方程,在點,并有連續(xù)偏導數(shù),定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) ,定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:,滿足, 在點,滿足:,某一鄰域內(nèi)可唯一確,32,詳細課資,兩邊對 x 求偏導,同樣可得,則,33,詳細課資,例5. 設,解法1 利用隱函數(shù)求導,再對 x 求導,34,詳細課資,解法2 利用公式,設,則,兩邊對 x 求偏導,35,詳細課資,內(nèi)容小結(jié),1. 復合函