人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5.5.1《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》教案（2）

1、【新教材】5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變形的基礎(chǔ)，是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識(shí)的延伸，同時(shí)，它又是兩角和、差、倍、半角等公式的“源頭”。兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容，對(duì)于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等三角問(wèn)題的解決有著重要的支撐作用。 課程目標(biāo)1、能夠推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式并能應(yīng)用; 2、掌握二倍角公式及變形公式，能靈活運(yùn)用二倍角公式解決有關(guān)的化簡(jiǎn)、求值、證明問(wèn)題數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式； 2.邏輯推理： 運(yùn)用公式解決基本三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)

2、題；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用公式解決基本三角函數(shù)式求值問(wèn)題.4.數(shù)學(xué)建模：學(xué)生體會(huì)到一般與特殊，換元等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。. 重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之間的內(nèi)在聯(lián)系； 難點(diǎn)：求值過(guò)程中角的范圍分析及角的變換. 教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。一、 情景導(dǎo)入我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本215-218頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六組）？ 2. 二

3、倍角公式是什么？升冪公式是？降冪公式是？ 要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_；tan 2.提醒：1必會(huì)結(jié)論(1)降冪公式：cos2 ，sin2 .(2)升冪公式：1cos 22cos2 ，1cos 22sin2 .(3)公式變形：tan tan tan()(1tan tan )(4)輔助角公式：asi

4、n xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .2常見(jiàn)的配角技巧2()()，()，等四、典例分析、舉一反三題型一 給角求值例1 利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值. 【答案】（1）（2）0（3）.解題技巧：（利用公式求值問(wèn)題）在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題時(shí),要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差(或同一個(gè)非特殊角與特殊角的差),利用公式直接化簡(jiǎn)求值,在轉(zhuǎn)化過(guò)程中,充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,正確地順用公式或逆用公式求值. 跟蹤訓(xùn)練一1.cos 50=( ) A.cos 70cos 20-sin 70sin 20 B.cos 70sin 20-sin 7

5、0cos 20 C.cos 70cos 20+sin 70sin 20 D.cos 70sin 20+sin 70cos 20 【答案】C【解析】 cos 50=cos(70-20)=cos 70cos 20+sin 70sin 20. 2.cos512cos6+cos12sin6的值是( )A.0 B.12C.22D.32【答案】C【解析】cos512cos6+cos12sin6=cos512cos6+sin512sin6=cos512-6=cos4=22.3. 求值：(1)tan75；(2).【答案】（1）2；（2）1.【解析】(1)tan75tan(4530)2.(2)原式tan(601

6、5)tan451.題型二 給值求值例2 【答案】例3 【答案】見(jiàn)解析.解題技巧：(給值求值的解題策略)(1)已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角. (2)由于和、差角與單角是相對(duì)的,因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見(jiàn)角的變換有: =(-)+;=+2+-2;2=(+)+(-);2=(+)-(-).跟蹤訓(xùn)練二1.(1)已知為銳角,sin =35,是第四象限角,cos =45,則sin(+)= .(2)若sin(-)cos +cos(-)sin =35,且2,則tan-34 = .【答案】（1）0；（2）17【

7、解析】 (1)為銳角,sin =35,cos =45.是第四象限角,cos =45,sin =-35.sin(+)=sin cos +cos sin =3545+45-35=0.(2)由已知得sin (-)+=35,即sin =35,又因?yàn)?,所以cos =-45,于是tan =-34,故tan-34=tan-tan 341+tantan 34=-34-(-1)1+-34(-1)=17.題型三 給值求角例4已知tan，sin，且，為銳角，求2的值【答案】.【解析】 tan1且為銳角，0.又sin且為銳角0，02.由sin，為銳角，得cos，tan.tan().tan(2)1.由可得2.解題技巧

8、：(解決三角函數(shù)給值求角問(wèn)題的方法步驟)(1)給值求角問(wèn)題的步驟求所求角的某個(gè)三角函數(shù)值確定所求角的范圍(范圍討論得過(guò)大或過(guò)小，會(huì)使求出的角不合題意或漏解)，根據(jù)范圍找出角(2)選取函數(shù)的原則已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好 跟蹤訓(xùn)練三1.若tan =12,tan =13,且,32,0,2,則+的大小等于( )A.4B.54C.74D.94【答案】B .【解析】由已知得tan(+)=tan+tan1-tantan=12+131-1213=1.又因?yàn)?32,0,2,所以+(

9、,2),于是+=54.題型四 二倍角公式應(yīng)用例5 【答案】見(jiàn)解析.解題技巧：(二倍角公式應(yīng)用)應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)(求值)的策略:化簡(jiǎn)求值關(guān)注四個(gè)方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異跟蹤訓(xùn)練四1. (1)已知，sin，則sin2_，cos2_，tan2_；(2)已知sin，0x，求cos2x的值【答案】（1），；（2）.【解析】 (1)因?yàn)?，sin，所以cos，所以sin22sincos2，cos212sin2122，tan2，故填，.(2)因?yàn)閤，所以x，又因?yàn)閟in，所以cos，所以cos2xsin2sincos2.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、六組公式 例1 例2 二、二倍角公式 例3 例4 七、作業(yè)課本228頁(yè)習(xí)題5.5.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是通過(guò)復(fù)習(xí),進(jìn)一步理解兩角和