離散型隨機(jī)變量及其分布規(guī)律

1、第二節(jié),離散型隨機(jī)變量及其分布規(guī)律,1、定義,稱,為X的分布律(列)或概率分布。,分布列也可以用列表法表示,一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取 且取這些值的概率依次為 p1, p2, , pn,2. 分布列的性質(zhì),（非負(fù)性）,（歸一性）,給定了,我們就能很好的描述X.,即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取這些值。,解: 依據(jù)分布律的性質(zhì):,解得,這里用到了常見的冪級數(shù)展開式,例1.,例題2,設(shè)X 為離散型隨機(jī)變量，其分布律為：,x,p,-1,0,1,1/2,1-2q,q2,解:,某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，,解: 顯然，X 可能取的值是1,2, ，,P(

2、X =1)=P(A1)=p,為計算 P(X =k )， k = 1,2, ，,Ak = 第k 次命中，k =1, 2, ，,設(shè),于是,已知他每發(fā)命中的概率是p，,求射擊次數(shù)X 的分布列.,例5.,可見,這就是所求射擊次數(shù) X 的分布列.,若隨機(jī)變量X的分布律如上式，,不難驗證:,幾何分布.,則稱X 服從,幾個重要的離散性隨機(jī)變量模型,(0,1)分布 二項分布 波松分布,一、 (0-1)分布 （二點分布）,隨機(jī)變量X 只取0與1兩個值,它的分布列是,或者表示為：,將一枚均勻硬幣拋擲1次，,則X 的分布列是：,反面,正面,X = 0,X = 1,“正面”的次數(shù),令X 表示1次中出現(xiàn),例6,例3 1

3、00件相同的產(chǎn)品中有4件次品和96件正品，,現(xiàn)從中任取一件，,解,求取得正品數(shù) X 的分布列。,伯努利試驗,和,二項分布,則稱 X 服從參數(shù)為n,p 的二項分布。,事件A 發(fā)生的概率均為P，,定義 設(shè)將試驗獨立重復(fù)進(jìn)行n 次，,n 重貝努里試驗.,若以X 表示n 重貝努里試驗事件A 發(fā)生的次數(shù)，,記作,則稱這n 次試驗為,每次試驗中，,用X 表示n 重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn),不難驗證：,的次數(shù)，則,若,其分布列為：,正好是二項式,的展開式,中的通項，,因此該分布為二項分布。,顯然，n = 1 時，,二項分布化為二點分布。,(0-1) 分布記為,二項分布的分布列,已知100個產(chǎn)品中有5個

4、次品，現(xiàn)從中有放回,解: 因為這是有放回地取3次，因此這3 次試驗的,依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.,設(shè) X 為所取的3個中的次品數(shù)，,于是，所求概率為：,則,X B(3, 0.05)，,例10,地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個,次品的概率.,條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.,注： 若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各,次試驗條件就不同了，,古典概型求解.,不是貝努里概型，,此時只能用,二項分布的取值情況,分布取得最大值,分布取得最大值,直至達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.,( x 表示不超過 x 的最大整數(shù)),對于固定n 及 P，,當(dāng)k 增加時 ,概率P

5、(X = k ) 先是隨之增加,當(dāng),不為整數(shù)時，,二項概率,達(dá)到最大值；,在,二項分布的圖形特點:,簡要說明,例3 一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo) 必須被擊中r 次才能被摧毀. 若每次擊中目 標(biāo)的概率為p (0 p 1), 且各次轟擊相互獨 立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需 轟擊次數(shù) X 的概率分布.,例3,帕斯卡 分 布,設(shè)隨機(jī)變量X 所有可能取的值為 0,1,2 , ,且概率分布為：,泊松分布, 記作,泊松分布,設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊,解: 由題意,求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。,松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.,例12,泊松分布的

6、圖形特點：,XB(n,p),當(dāng) n 很大，p 很小時，,下面圖形顯示：,泊松分布是二項分布的極限分布，,參數(shù) = n p 的泊松分布,二項分布就可近似看成是,在實際計算中,當(dāng) n 20, p 0.05時, 可用上 述公式近似計算; 而當(dāng) n 100, np 10 時, 精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,

7、例13,有產(chǎn)品15000件，其中次品 150件，,今抽取100,件，求有2件是次品的概率。,解法一 超幾何分布,解法二 二項分布,為次品率,解法三 泊松分布,歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.,近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性, 成為概率論中最重要的幾個分布之一.,在實際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布.,泊松分布在管理科學(xué)、運籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問題中都占有重要的地位 .,都可以看作服從泊松分布.,每天119收到的火災(zāi)報警次數(shù)；,一個售貨員接待的顧客數(shù);,一臺紡紗機(jī)的斷頭數(shù);,例如,例6 設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變 量 X ,例6,設(shè)各個蟲卵是否