數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機

對數(shù)學(xué)的淺思數(shù)學(xué)是什么，就必須從數(shù)學(xué)的起源說起。數(shù)學(xué)無所不在，人們從自然界獲得經(jīng)驗進行嚴(yán)格地“數(shù)學(xué)加工”（高度抽象的思維加工，使之概念明確，推理嚴(yán)格，整體內(nèi)容無矛盾），形成了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)不僅僅是純粹的數(shù)學(xué)理論知識，而是一種文化。正如著名數(shù)學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)如果正確地看待它，則發(fā)現(xiàn)它只有至高無上的美，一種冷色而嚴(yán)肅的美，這種美沒有音樂或繪畫那般華麗的裝飾，但它可以純凈到崇高的地步，只有偉大的藝術(shù)才能顯示那種完美的境地；一種真實喜悅的精神，一種精神的亢奮，一種高于普通人的意識，這些至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能在詩里得到，也能在數(shù)學(xué)里得到。數(shù)學(xué)具有一種至高無上的美，它是一種文化，也是一門自然科學(xué)?！睂W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論知識，還要理解數(shù)學(xué)的思想文化，更要去欣賞數(shù)學(xué)純凈崇高至真至善的美。數(shù)學(xué)是科學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家和工程師的有用工具，也是至美的自然科學(xué)。于2013年12月數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機第一次數(shù)學(xué)危機時間：公元前4世紀(jì)人物：畢達哥拉斯、希帕蘇斯地點：古希臘畢達哥拉斯是泰勒斯的傳人，生于希臘東部薩摩斯島，曾求學(xué)于泰勒斯門下，游歷過埃及和巴比倫。畢達哥拉斯在意大利南部的克倫吞成立了一個秘密組織，該組織是一個集科學(xué)、宗教、哲學(xué)于一體的幫會性學(xué)術(shù)團體，后人稱之為畢達哥拉斯學(xué)派。該學(xué)派紀(jì)律嚴(yán)明，主要有兩條：一是一切服從與畢達哥拉斯，二是一切發(fā)明都不得私自外出傳。畢達哥拉斯后來在政治斗爭中被殺，但其組織團體卻存在了兩個世紀(jì)多久，但是其數(shù)學(xué)貢獻是不朽的。畢達哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的信條為“萬物皆數(shù)”，他們所說的數(shù)為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)。認(rèn)為10是最完美的，因為10=1+2+3+4，稱1、2、3、4為“四象”。約公元前470年畢達哥拉斯學(xué)派成員希帕蘇斯考慮邊長為1的正方形對角線長度，根據(jù)勾股定理對角線長l應(yīng)滿足l2=2,什么樣的數(shù)l它的平方是2呢？顯然l不是整數(shù)，由此人們揭穿了畢達哥拉斯“萬物皆數(shù)”的數(shù)只是整數(shù)和分?jǐn)?shù)是不成立的。畢達哥拉斯的絕對權(quán)威受到嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，一方面已證明單位正方形對角線的長不是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，按畢達哥拉斯學(xué)派的觀點這條對角線的長度就不是數(shù)，這當(dāng)然是不能接受的；另一方面，畢達哥拉斯學(xué)派對數(shù)的根深蒂的認(rèn)識又不肯承認(rèn)自己的觀點有問題，于是一時間陷入了極大的矛盾之中，這就是第一次數(shù)學(xué)危機之后，承認(rèn)了除整數(shù)和分?jǐn)?shù)外，對這種存在的怪實數(shù)接受得很不情愿，于是起了個難聽的名字：無理數(shù)。第二次數(shù)學(xué)危機時間：17世紀(jì)前半葉人物：牛頓、萊布尼茨、伯克萊地點：歐洲1734年英國哲學(xué)家牧師伯克萊發(fā)表了《致一位不信神的科學(xué)家》。不信神的科學(xué)家指幫助牛頓出版《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的哈雷，主要矛頭指向牛頓的流數(shù)法，對萊布尼茨的微積分也同樣的竭力非難。由于牛頓和萊布尼茨的微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，特別是無窮小的混亂遭到了伯克萊的非難，例如伯克萊的言論片段：“一次推導(dǎo)任意次冪的流數(shù)的方法如下：設(shè)x均勻流動。欲求xn的流數(shù)與x通過流動變?yōu)閤+o的同時，冪xn編成（xn+noxn-1+nn-n2ooxn-2+＆c而增量o與noxn-1+nn-n2ooxn-2+＆c之比為1：nxn-1+nn-n2oxn-2+＆c現(xiàn)在假設(shè)增量消失最終之比為1：由“貝克萊悖論”對牛頓、萊布尼茨的微積分引起的非難，牛頓和萊布尼茨也不能自圓其說，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上聳人聽聞的第二次數(shù)學(xué)危機。第二次數(shù)學(xué)危機激發(fā)了18世紀(jì)、19世紀(jì)的眾多數(shù)學(xué)家為微積分的完善做出了出色的工作。微積分基礎(chǔ)的日臻完善，排除了第二次數(shù)學(xué)危機。第三次數(shù)學(xué)危機時間：19世紀(jì)后半葉代表人物：康托爾、羅素地點：歐洲康托爾是俄國數(shù)學(xué)家。1871年，他給出集合的第一個定義且引入點集的極限點、閉集、開集、交集、并集等概念。1874年，康托爾證明了代數(shù)集與有理數(shù)集的可數(shù)性和實數(shù)集的不可數(shù)性。。1878年，他引入了集合“勢”的概念，且證明了Cantor塵集與實數(shù)集等勢且不可數(shù)，但其測量度為零。1883年，他證明了“Cantor定理”一個集合與它的冪集間不可能建立一一對應(yīng)，冪集的勢大于原集合的勢。1887年，他證明了一條直線上的點與平面上的點乃至N維空間中的點一一對應(yīng)。開始連他自己開始感到疑惑，當(dāng)然，康托爾還是相信自己嚴(yán)格證明出的理論是真的，他雄辯地證明無窮集合不在遵守有窮集合的很多規(guī)則。它的一一對應(yīng)的原理突破了傳統(tǒng)的“整體大于部分”的舊觀念，例如正整數(shù)與全體偶數(shù)一一對應(yīng)，正整數(shù)集與偶數(shù)集等勢，相當(dāng)于傳統(tǒng)上的“個數(shù)相等”?？低袪柕募险摤F(xiàn)在稱為樸素集合論?？低袪栐趧?chuàng)立完集合論之后，他自己已經(jīng)覺察到樸素集合論在邏輯上要出事兒，可惜他本人沒來得及建立一套公理系統(tǒng)給出集合論以明確無暇的概念和理論。1902年，羅素發(fā)表了理發(fā)師悖論改造成一個所謂的“羅素悖論”引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機。理發(fā)師悖論說：一位鄉(xiāng)村理發(fā)師宣稱，“他不給村子任何給自己刮臉的人刮臉，但他給所有不給自己刮臉的人刮臉?！比藗儐?，“理發(fā)師先生，您給自己刮臉嗎？”如果理發(fā)師回答自己刮臉，那么違背了他宣稱的約定前半部分；如果理發(fā)師回答自己不自己刮臉，那么根據(jù)他約定的后半部分，他必給自己刮臉。理發(fā)師陷入了矛盾之中而不能自圓其說。由此可見，康托爾的樸素集合論會發(fā)生不是自己集合的元素，又會發(fā)生是自己的元素。羅素悖論：羅素構(gòu)作了如下的集合：B={A∣A?A}其中A與B是集合代號。羅素問道：“B∈B？”若B∈B，按B的定義，B?B矛盾；若B?B，按B的定義，B∈B矛盾。其中的矛盾回避不了。1908年，法國數(shù)學(xué)家策墨羅和弗倫克爾合作提出一套2F公理。在2F公理出現(xiàn)以前，人們可以自由地構(gòu)作集合{x∣φ(x)},其中φ(x)是對該集合中的元素性質(zhì)的一種描述，正是這樣限制了不嚴(yán)格地隨意制作集合導(dǎo)致羅素悖論。2F公理限制說：必須先有一個集合A在A中選擇滿足性質(zhì)φ(x)的元素x們來構(gòu)作另一個集合，包含一切集的集合不存在，從而樸素集合論蛻變?yōu)楣砑险?。于是，集合論中剔除了羅素悖論，解除了第三次數(shù)學(xué)危機。三