概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4

1、3.6 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到這樣的問題：已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布，要求其函數(shù)的分布(假定此函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量)。對(duì)這類問題的解決方法,我們希望通過已知的 的分布來求出隨機(jī)變量函數(shù) 的分布。 一、一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 下面我們給出求 的分布函數(shù)和密度函數(shù)的一般步驟：,（1）由 的值域 確定 的值域 。 （2）對(duì)任意一個(gè) ，求出 ，即 其中 是實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)集合。 （3）按分布函數(shù)的性質(zhì)寫出 ； （4） 對(duì) 求導(dǎo)數(shù)得到 ，即,例1 設(shè) 服從 ，求 的分布函數(shù)和密度函數(shù)。 解 的取值范圍為 ，且 （1）當(dāng) 時(shí)，,（2）當(dāng) 時(shí)， （3）當(dāng) 時(shí)，,所以， 分布函數(shù)為 所

2、以， 密度函數(shù)為,例2 設(shè) ，求 的密度函數(shù)。 解 隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 隨機(jī)變量 的取值范圍為 ， （1）當(dāng) 時(shí)， （2）當(dāng) 時(shí)，,因此， 的分布函數(shù)為 所以， 的密度函數(shù)為,例3 已知 的密度函數(shù)為 求 的密度函數(shù)。,解 的值域?yàn)?，因此對(duì)任意一個(gè) ，有 所以， 的密度函數(shù)為,如果 是一個(gè)單調(diào)且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則隨機(jī)變量的函數(shù) 的密度函數(shù)有如下性質(zhì)： 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 ， 是一個(gè)單調(diào)函數(shù)且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 是 的反函數(shù)，則隨機(jī)變量的函數(shù) 的密度函數(shù)為,利用這條性質(zhì)，我們可以得到一條關(guān)于正態(tài)分布的線性性質(zhì)，結(jié)果如下： 設(shè) 則 特別地，當(dāng) 時(shí)，,例4 設(shè) 服從 ，求 的

3、密度函數(shù) 。 解 已知 且 為一個(gè)單調(diào)且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù) ，則隨機(jī)變量函數(shù) 的密度函數(shù)為,例5 假設(shè)由自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑 （單位：mm)服從正態(tài)分布 ，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損，已知銷售利潤(rùn) （單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑 有如下關(guān)系： 求 的分布律。,解 顯然 不是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。事實(shí)上， 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能的取值為 ，且 同理,所以， 的分布律為,二、二維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) 已知 的密度函數(shù)為 ，如何求得隨機(jī)變量 的密度函數(shù)？下面著重討論 的分布。 例6 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且都服從指數(shù)分布

4、 ，試求 的密度函數(shù)。,解 指數(shù)分布 的密度函數(shù)為 因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為 的值域 ，當(dāng) 時(shí)，,其中 ，從而，當(dāng) 時(shí)， 通過求導(dǎo)數(shù)得 的密度函數(shù)為,例7 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且 ，試求 的密度函數(shù)。 解 因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為 的值域 ，當(dāng) 時(shí)，,其中 。由于 和 時(shí)的積分區(qū)域形狀不同，因此，需要分別討論。 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，,所以， 的分布函數(shù)為 求導(dǎo)數(shù)得到 的密度函數(shù)為,一般地，當(dāng)X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為 時(shí)， 的分布函數(shù)為 對(duì)花括號(hào)內(nèi)的積分作變換 ，得到 于是,從而，Z的密度函數(shù)為 當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，上式成為 這個(gè)公式稱為卷積公式。,把X與Y的地位對(duì)

5、調(diào)，同樣可得卷積公式的另一種形式 注意：由于許多問題中 是分段函數(shù)，因此具體問題中使用卷積公式并不帶來方便。當(dāng)密度函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)時(shí)，應(yīng)用卷積公式可以直接求得密度函數(shù)，因而比較方便。,定理3.9（正態(tài)分布的可加性） 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，當(dāng) 時(shí)，有 證明 的邊緣密度函數(shù)分別為,按卷積公式，對(duì)任意一個(gè) ，隨機(jī)變量函數(shù) 的密度函數(shù) 由習(xí)題3.12提供的積分公式得到 這恰是 的密度函數(shù)。,用數(shù)學(xué)歸納法不難把定理3.9推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量和上去。 在有些情形下，對(duì)略微復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù) (例如 等)用本節(jié)所講的一般方法也很容易解決。計(jì)算過程的關(guān)鍵是確定區(qū)域 并求出重積分。,三、串并聯(lián)系統(tǒng)問題 設(shè)兩個(gè)元件的壽命分別為 ，假定它們相互獨(dú)立。 （1）當(dāng)這兩個(gè)元件并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的壽命為 （2）當(dāng)這兩個(gè)元件串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的壽命為,如果 的分布函數(shù)分別為 ，那么U的分布函數(shù)為 V的分布函數(shù)為,對(duì)于n個(gè)元件的串聯(lián)系統(tǒng)與并聯(lián)系統(tǒng)，很容易得到類似的結(jié)果。 例8 設(shè)X與Y是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，它們都服從區(qū)間 上的均勻分布，其中 ，試求 與 的密度函數(shù)。,解 均勻分布 的分布函數(shù) U的值域 ，當(dāng) 時(shí)， 于是，U的密度函數(shù),V的值域 ，當(dāng) 時(shí)： 于是，V的密度函數(shù)