2011年重慶高考數(shù)學(xué)理科試卷(帶詳解)

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給也的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)= () A.B.C.D.【測量目標】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算.【考查方式】直接給出復(fù)數(shù)的代數(shù)式，求值.【難易程度】容易【參考答案】C【試題分析】復(fù)數(shù)=.故選C2. “”是“”的 ()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【測量目標】充要條件的判斷，不等式的解.【考查方式】根據(jù)不等式的解，判斷充要條件.【難易程度】容易【參考答案】A【試題分析】“”，“”“或”“”是“”的充

2、分而不必要條件故選A3已知，則 ()A6B.2C3D.6【測量目標】極限的運算.【考查方式】先將極限式通分化簡，根據(jù)極限值，求未知數(shù)【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】原式=(步驟1)=（步驟2）=a=6 （步驟3） 故答案選D4 (其中且)的展開式中與的系數(shù)相等，則n= ()A6B.7 C8D.9【測量目標】二項式定理.【考查方式】利用二項展開式的通項公式求出二項展開式的通項，求出展開式中與的系數(shù)，列出方程求出n【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】二項式展開式的通項為（步驟1）展開式中與的系數(shù)分別是（步驟2）解得n=7（步驟3）故選B5下列區(qū)間中，函數(shù)，在其上為增函數(shù)的是()A.

3、B. C.D. 【測量目標】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)，零點.【考查方式】根據(jù)零點分段法，我們易將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進而得到結(jié)論【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】，（步驟1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性我們易得在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上單調(diào)遞增（步驟2）故選D.6若的內(nèi)角所對的邊滿足，且則的值為()A B. C.1 D.【測量目標】余弦定理.【考查方式】將已知的等式展開；利用余弦定理表示滿足的條件，繼而求值【難易程度】中等【參考答案】A【試題解析】即由余弦定理得，（步驟1），（步驟2）.故選A7已知，則的最小值是()AB.4 C.

4、D.5【測量目標】基本不等式.【考查方式】根據(jù)題設(shè)中的等式，把表達式轉(zhuǎn)化展開，利用基本不等式求最小值【難易程度】中等【參考答案】C【試題解析】（步驟1）= (當且僅當時等號成立)（步驟2）故選C8在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A. B. C. D. 【測量目標】圓的標準方程，兩點間的距離公式，面積公式.【考查方式】把圓的方程化為標準方程后，得到圓心坐標與圓的半徑，根據(jù)兩點間的距離公式求長度，再根據(jù)面積公式求四邊形面積.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】把圓的方程化為標準方程得：，則圓心坐標為，半徑為，（步驟1）根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示：（步

5、驟2）由圖象可知：過點E最長的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦，則,所以，又，（步驟3）所以四邊形ABCD的面積S= =（步驟4）故選B 第8題圖 9.高為的四棱錐SABCD的底面是邊長為1的正方形，點S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為()A B. C.1 D. 【測量目標】點、線、面間的距離，球內(nèi)接多面體.【考查方式】由題意可知ABCD所在的圓是小圓，可以推出頂點S在球心距的垂直分的平面上，根據(jù)條件，則可求出距離【難易程度】較難【參考答案】C【試題解析】由題意可知ABCD所在的圓是小圓，對角線長為，四棱錐的高為，點S，A，B，C

6、，D均在半徑為1的同一球面上，球心到小圓圓心的距離為，頂點S在球心距的垂直分的平面上，而頂點S到球心的距離為1，所以底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為1.故選C10.設(shè)m，k為整數(shù)，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，則的最小值為()AB.8 C.12 D.15【測量目標】二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點，解不等式.【考查方式】利用函數(shù)零點的有關(guān)性質(zhì)，得到關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解不等式，進而求解【難易程度】較難【參考答案】D【試題解析】令，則在內(nèi)有兩個不同的零點，又，由二次函數(shù)圖象可知，（步驟1）即由題意可以得到： （步驟2）且，（步驟3）又因為m，k為整數(shù)且m為正整數(shù)，由上證知k為正整數(shù)，故為使得m+k

7、最小，（步驟4）只需令時，得到k的取值為8時，m的取值為7，此時m+k的最小值為15（步驟5）故答案選：D二、填空題(共5小題，每小題3分，滿分15分)11.在等差數(shù)列中，則=【測量目標】等差數(shù)列的性質(zhì).【考查方式】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)所有下標之和相同的兩項之和相等，直接計算出結(jié)果【難易程度】容易.【參考答案】74【試題解析】等差數(shù)列中，故答案為：7412.已知單位向量的夾角為，則【測量目標】平面向量數(shù)量積.【考查方式】由向量模的平方等于向量的平方，將已知等式平方，利用向量的數(shù)量積公式及將已知條件代入，求出?！倦y易程度】容易.【參考答案】【試題解析】=.故答案為.13將一枚均勻的硬幣投擲6次，則

8、正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_【測量目標】互斥事件的概率，獨立重復(fù)試驗.【考查方式】根據(jù)獨立重復(fù)試驗，得到互斥的情況，寫出概率，得到結(jié)果.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】由題意知本題是一個n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率，（步驟1）正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多包括正面出現(xiàn)4次，反面出現(xiàn)2次；正面出現(xiàn)5次，反面出現(xiàn)1次；正面出現(xiàn)6次，共有三種情況，這三種情況是互斥的，（步驟2）正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率是+=（步驟3）故答案為：14已知，且，則的值為_【測量目標】二倍角，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦的兩角和公式.【考查方式】利用題設(shè)等式，兩邊平方后即可求得

9、，進而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，利用把原式的分母展開，把和的值代入即可【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，（步驟1）兩邊平方后求得，（步驟2）（步驟2）（步驟4）（步驟5）故答案為：15動圓的圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則動圓必過點【測量目標】拋物線的方程，定義.【考查方式】先由拋物線的標準方程寫出其焦點坐標，準線方程，再結(jié)合拋物線的定義得出焦點必在動圓上，從而解決問題【難易程度】較難【參考答案】【試題解析】拋物線的焦點，準線方程為，（步驟1）故圓心到直線的距離即半徑等于圓心到焦點F的距離，所以F在圓上（步驟2）故答案為：三、解答題(共6小題，滿分75分)16設(shè)滿足，求函數(shù)

10、f(x)在上的最大值和最小值【測量目標】由的部分圖象求解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,二倍角.【考查方式】利用二倍角公式化簡函數(shù)，然后根據(jù)已給的條件，求出參數(shù)的值，進一步求解析式，再根據(jù)自變量的范圍求出的范圍，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值【難易程度】中等【試題解析】=(步驟1)由得解得所以，(步驟2)所以時，是增函數(shù)，(步驟3)所以 時，是減函數(shù)，(步驟4)函數(shù)在上的最大值是：；(步驟5)又，；(步驟6)所以函數(shù)f(x)在上的最小值為：；(步驟7)17.某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人

11、中：()恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；()申請的房源在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望【測量目標】離散型隨機變量的期望，等可能事件的概率.【考查方式】(I)給出等可能事件的實際例子，分析得到包含的的事件的個數(shù)，再求目標的個數(shù)，得到概率；根據(jù)題意，結(jié)合第一問，寫出變量對應(yīng)的概率，畫出分布列，求出變量的期望值.【難易程度】中等【試題解析】(I)由題意知本題是一個等可能事件的概率試驗發(fā)生包含的事件是4個人中，每一個人有3種選擇，共有34種結(jié)果，(步驟1)滿足條件的事件是恰有2人申請A片區(qū)房源，共有(步驟2)根據(jù)等可能事件的概率公式得到P=(步驟3)(II)由題意知的可能取值是1，2，3，(步驟4)，(步驟5

12、)(步驟6)的分布列是123P(步驟7).(步驟8)18設(shè)的導(dǎo)數(shù)滿足，其中常數(shù)，(I)求曲線在點處的切線方程(II)設(shè)求函數(shù)的極值【測量目標】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)零點的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求極值，求函數(shù)解析式.【考查方式】已知含參數(shù)的函數(shù)解析式，根據(jù)兩個導(dǎo)數(shù)值的聯(lián)立，求出參數(shù)得到函數(shù)的解析式，進而求具體某點的切線方程;構(gòu)造新函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求極值.【難易程度】較難【試題解析】(I)(步驟1)令，得，解得(步驟2)令，得，因此，解得，(步驟3)因此，(步驟4)又故曲線在點處的切線方程為，即(步驟5)(II)由(I)知從而有(步驟6)令，則或當時，(步驟7)當時，當時，(步驟8)在時取極小值，在

13、時取極大值(步驟9)19如圖，在四面體ABCD中，平面()若，求四面體ABCD的體積()若二面角CABD為，求異面直線AD與BC所成角的余弦值第19題圖 【測量目標】異面直線及其所成的角,棱錐的體積,三垂線定理.【考查方式】根據(jù)所給的幾何圖形以及已知的條件，找到椎體的底面和高，利用椎體的體積公式，求值;根據(jù)三垂線定理，找到二面角的平面角，利用平移找到異面直線所成的角，求余弦值【難易程度】較難【試題解析】(I)設(shè)F為AC的中點，由于，所以(步驟1)故由平面平面，知DF平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，(步驟2)且，(步驟3)在中，因，由勾股定理易知，(步驟4)故四面體ABCD的

14、體積V=(步驟5)(II)設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點，則，(步驟6)從而是異面直線AD與BC所成角或其補角設(shè)E為邊AB的中點，則，由，知，(步驟7)又由(I)有DF平面ABC，故由三垂線定理知，所以為二面角CABD的平面角，(步驟8)由題設(shè)知設(shè)AD=a，則，(步驟9)在中，(步驟10)從而，因，故在中，(步驟11)又，從而在中，因FG=FH，由余弦定理得(步驟12)20.如圖，橢圓的中心為原點O，離心率，一條準線的方程為()求該橢圓的標準方程()設(shè)動點P滿足，其中M，N是橢圓上的點直線OM與ON的斜率之積為問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由第20題圖 【測量目標】橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系,橢圓的定義,圓錐曲線中的探索問題.【考查方式】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，求出各參數(shù)，得到橢圓的標準方程;利用直線與橢圓的位置關(guān)系，通過直線方程和橢圓方程的聯(lián)立，探索橢圓中是否存在定點問題.【難易程度】較難【試題解析】()由 (步驟1)求得.(步驟2橢圓的方程為： (步驟3)()設(shè)則由，得,即，(步驟4)點M，N在橢圓上，所以，故(步驟5)設(shè)分別為直線的斜率，根據(jù)題意可知(步驟6)(步驟7)所以P在橢圓設(shè)該橢圓的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，(步驟8)由橢圓的定義可