第7章小波變換

1、7.7 小波變換簡(jiǎn)介,7.7.1 小波變換的背景介紹,圖 像 金 字 塔,用哈爾基函數(shù)的離散小波變換,7.7.2 小波變換的理論基礎(chǔ) 傳統(tǒng)的傅立葉變換(FT)：提供了有關(guān)頻率域的信息，但有關(guān)時(shí)間（空間）的局部化信息卻基本丟失。 小波變換(WT)：提供局部分析與細(xì)化的能力，可聚焦到分析對(duì)象的任意細(xì)節(jié)“數(shù)學(xué)顯微鏡“。,連續(xù)小波變換 (Continuous Wavelet Transform， CWT) 小波分析就是把一個(gè)信號(hào)分解為將母小波經(jīng)過(guò)縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過(guò)縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。

2、,波和小波波與小波之間的差異,上部?jī)蓷l曲線(xiàn)是頻率不同的余弦波，持續(xù)寬度相同。底下的兩條是沿著軸向頻率和位置都不相同的小波。最古老又最簡(jiǎn)單的小波 Haar小波 ，它的基向量都是由一個(gè)函數(shù)通過(guò)平移和伸縮來(lái)產(chǎn)生的。,生動(dòng)的例子：小波和音樂(lè),樂(lè)譜可以看作描繪了一個(gè)二維的時(shí)頻空間。頻率(音高)從層次的底部向上增加，而時(shí)間(以節(jié)拍來(lái)測(cè)度)則向右發(fā)展。樂(lè)章中每一個(gè)音符都對(duì)應(yīng)于一個(gè)將出現(xiàn)在這首歌的演出記錄中的小波分量(音調(diào)猝發(fā))。每一個(gè)小波持續(xù)寬度都由音符(為四分之一音符、半音符等)的類(lèi)型來(lái)編碼。,分析一次所記錄下的音樂(lè)演出并寫(xiě)出相應(yīng)的樂(lè)譜，那么可以說(shuō)我們得到一種小波變換。同樣，音樂(lè)家一首歌的演奏錄音就可看作

3、是一種小波逆變換，因?yàn)樗怯脮r(shí)頻表示來(lái)重構(gòu)信號(hào)的。,連續(xù)小波變換的定義 ：,該式表示小波變換是信號(hào)f(x)與被縮放和平移的小波函數(shù)()之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。CWT的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon）的函數(shù)。,基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖所示。,小波的縮放操作,(2) 平移小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上， 函數(shù)f(t)延遲k的表達(dá)式為f(t-k)，如圖所示。,小波的平移操作 (a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k),CWT計(jì)算的主要步驟

4、： （1）取一個(gè)小波， 將其與原始信號(hào)的開(kāi)始一節(jié)進(jìn)行比較。 （2）計(jì)算數(shù)值C， C表示小波與所取一節(jié)信號(hào)的相似程度，計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀。 （3）向右移動(dòng)小波，重復(fù)（1）和（2）,直至覆蓋整個(gè)信號(hào)。 （4）伸展小波， 重復(fù)（1）至（3）。 （5）對(duì)于所有縮放，重復(fù)（1）至（4）。,計(jì)算系數(shù)值C,計(jì)算平移后系數(shù)值C,計(jì)算尺度后系數(shù)值C,小波的縮放因子與信號(hào)頻率之間的關(guān)系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號(hào)的細(xì)節(jié)變化，表示信號(hào)頻率越高；縮放因子scale越大， 表示小波越寬，度量的是信號(hào)的粗糙程度，表示信號(hào)頻率越低。,2. 離散小波變換 （ Discrete Wavele

5、t Transform ，DWT） 如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j0且為整數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，會(huì)使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱(chēng)為雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet Transform），它是離散小波變換（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。,離散小波變換的有效方法是使用濾波器， 該方法是Mallat于1988年提出的，稱(chēng)為Mallat算法。 S表示原始的輸入信號(hào)， 通過(guò)兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組， 其中一個(gè)濾波器為低通濾波器，通過(guò)該濾波器

6、可得到信號(hào)的近似值A(chǔ)（Approximations），另一個(gè)為高通濾波器， 通過(guò)該濾波器可得到信號(hào)的細(xì)節(jié)值D（Detail）。,小波分解示意圖,在小波分析中，近似值是大的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量，而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量。,小波分解樹(shù)（Wavelet Decomposition Tree）,小波分解下采樣示意圖,3. 小波重構(gòu)（Wavelet Reconstruction） 將信號(hào)的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要根據(jù)需要把信號(hào)恢復(fù)出來(lái)，也就是利用信號(hào)的小波分解的系數(shù)還原出原始信號(hào)，這一過(guò)程稱(chēng)為小波重構(gòu)（Wavelet Reconstruction）

7、或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。這一合成過(guò)程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做逆離散小波變換（Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。,小波重構(gòu)算法示意圖,1）重構(gòu)近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào) 由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號(hào)。同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號(hào)的近似值或細(xì)節(jié)值，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可。,重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號(hào)示意 (a)重構(gòu)近似信號(hào)； (b) 重構(gòu)細(xì)節(jié)信號(hào),2）多層重構(gòu) 重構(gòu)出信號(hào)的近似值A(chǔ)1與細(xì)節(jié)值D1之后，則原信號(hào)可用A1D1S重構(gòu)出來(lái)。對(duì)應(yīng)于信號(hào)的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)如圖所示。重構(gòu)過(guò)程為：A3

8、D3=A2；A2D2=A1；A1+D1=S。 信號(hào)重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿(mǎn)意的原始信號(hào)。低通分解濾波器（L）和高通分解濾波器（H）及重構(gòu)濾波器組（L和H）構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)， 這個(gè)系統(tǒng)稱(chēng)為正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系統(tǒng)。,多層小波重構(gòu)示意圖,多層小波分解和重構(gòu)示意圖,4. 小波包分析（Wavelet Packet ） 而小波包分析的細(xì)節(jié)與近似部分一樣，也可以分解，對(duì)于N層分解，它產(chǎn)生2N個(gè)不同的途徑。,小波包分解示意圖,小波包分解也可得到一個(gè)分解樹(shù)， 稱(chēng)其為小波包分解樹(shù)（Wavelet Packet Decompositio

9、n Tree）， 這種樹(shù)是一個(gè)完整的二叉樹(shù)。小波包分解方法是小波分解的一般化， 可為信號(hào)分析提供更豐富和更詳細(xì)的信息。信號(hào)S可表示為AA2ADA3DDA3D1等。,5. 二維離散小波變換 二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣， 其實(shí)質(zhì)上是將二維信號(hào)在不同尺度上的分解， 得到原始信號(hào)的近似值和細(xì)節(jié)值。由于信號(hào)是二維的，因此分解也是二維的。分解的結(jié)果為： 近似分量cA、 水平細(xì)節(jié)分量cH、 垂直細(xì)節(jié)分量cV和對(duì)角細(xì)節(jié)分量cD。,二維小波分解和重構(gòu)過(guò)程示意圖 （a） 二維DWT； (b) 二維IDWT,7.7.3 離散小波變換在圖像處理中的應(yīng)用簡(jiǎn)介 ,對(duì)靜態(tài)二維數(shù)字圖像，可先對(duì)其進(jìn)行若干次二維DWT變換， 將圖像信息分解為高頻成分H、V和D和低頻成分A。對(duì)低頻部分A，由于它對(duì)壓縮的結(jié)果影響很大，因此可采用無(wú)損編碼