第7章小波變換

1、7.7 小波變換簡介,7.7.1 小波變換的背景介紹,圖 像 金 字 塔,用哈爾基函數(shù)的離散小波變換,7.7.2 小波變換的理論基礎 傳統(tǒng)的傅立葉變換(FT)：提供了有關頻率域的信息，但有關時間（空間）的局部化信息卻基本丟失。 小波變換(WT)：提供局部分析與細化的能力，可聚焦到分析對象的任意細節(jié)“數(shù)學顯微鏡“。,連續(xù)小波變換 (Continuous Wavelet Transform， CWT) 小波分析就是把一個信號分解為將母小波經過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進行傅立葉變換的結果。

2、,波和小波波與小波之間的差異,上部兩條曲線是頻率不同的余弦波，持續(xù)寬度相同。底下的兩條是沿著軸向頻率和位置都不相同的小波。最古老又最簡單的小波 Haar小波 ，它的基向量都是由一個函數(shù)通過平移和伸縮來產生的。,生動的例子：小波和音樂,樂譜可以看作描繪了一個二維的時頻空間。頻率(音高)從層次的底部向上增加，而時間(以節(jié)拍來測度)則向右發(fā)展。樂章中每一個音符都對應于一個將出現(xiàn)在這首歌的演出記錄中的小波分量(音調猝發(fā))。每一個小波持續(xù)寬度都由音符(為四分之一音符、半音符等)的類型來編碼。,分析一次所記錄下的音樂演出并寫出相應的樂譜，那么可以說我們得到一種小波變換。同樣，音樂家一首歌的演奏錄音就可看作

3、是一種小波逆變換，因為它是用時頻表示來重構信號的。,連續(xù)小波變換的定義 ：,該式表示小波變換是信號f(x)與被縮放和平移的小波函數(shù)()之積在信號存在的整個期間里求和的結果。CWT的變換結果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子（scale）和平移（positon）的函數(shù)。,基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作含義如下： (1) 縮放壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄，如圖所示。,小波的縮放操作,(2) 平移小波的延遲或超前。在數(shù)學上， 函數(shù)f(t)延遲k的表達式為f(t-k)，如圖所示。,小波的平移操作 (a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k),CWT計算的主要步驟

4、： （1）取一個小波， 將其與原始信號的開始一節(jié)進行比較。 （2）計算數(shù)值C， C表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，計算結果取決于所選小波的形狀。 （3）向右移動小波，重復（1）和（2）,直至覆蓋整個信號。 （4）伸展小波， 重復（1）至（3）。 （5）對于所有縮放，重復（1）至（4）。,計算系數(shù)值C,計算平移后系數(shù)值C,計算尺度后系數(shù)值C,小波的縮放因子與信號頻率之間的關系是：縮放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信號的細節(jié)變化，表示信號頻率越高；縮放因子scale越大， 表示小波越寬，度量的是信號的粗糙程度，表示信號頻率越低。,2. 離散小波變換 （ Discrete Wavele

5、t Transform ，DWT） 如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j（j0且為整數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進行計算，會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet Transform），它是離散小波變換（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。,離散小波變換的有效方法是使用濾波器， 該方法是Mallat于1988年提出的，稱為Mallat算法。 S表示原始的輸入信號， 通過兩個互補的濾波器組， 其中一個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器

6、可得到信號的近似值A（Approximations），另一個為高通濾波器， 通過該濾波器可得到信號的細節(jié)值D（Detail）。,小波分解示意圖,在小波分析中，近似值是大的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的低頻分量，而細節(jié)值是小的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的高頻分量。,小波分解樹（Wavelet Decomposition Tree）,小波分解下采樣示意圖,3. 小波重構（Wavelet Reconstruction） 將信號的小波分解的分量進行處理后，一般還要根據(jù)需要把信號恢復出來，也就是利用信號的小波分解的系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為小波重構（Wavelet Reconstruction）

7、或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。這一合成過程的數(shù)學運算叫做逆離散小波變換（Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。,小波重構算法示意圖,1）重構近似信號與細節(jié)信號 由小波分解的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)可以重構出原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)分別重構出信號的近似值或細節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細節(jié)系數(shù)置為零即可。,重構近似和細節(jié)信號示意 (a)重構近似信號； (b) 重構細節(jié)信號,2）多層重構 重構出信號的近似值A1與細節(jié)值D1之后，則原信號可用A1D1S重構出來。對應于信號的多層小波分解，小波的多層重構如圖所示。重構過程為：A3

8、D3=A2；A2D2=A1；A1+D1=S。 信號重構中，濾波器的選擇非常重要，關系到能否重構出滿意的原始信號。低通分解濾波器（L）和高通分解濾波器（H）及重構濾波器組（L和H）構成一個系統(tǒng)， 這個系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系統(tǒng)。,多層小波重構示意圖,多層小波分解和重構示意圖,4. 小波包分析（Wavelet Packet ） 而小波包分析的細節(jié)與近似部分一樣，也可以分解，對于N層分解，它產生2N個不同的途徑。,小波包分解示意圖,小波包分解也可得到一個分解樹， 稱其為小波包分解樹（Wavelet Packet Decompositio

9、n Tree）， 這種樹是一個完整的二叉樹。小波包分解方法是小波分解的一般化， 可為信號分析提供更豐富和更詳細的信息。信號S可表示為AA2ADA3DDA3D1等。,5. 二維離散小波變換 二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣， 其實質上是將二維信號在不同尺度上的分解， 得到原始信號的近似值和細節(jié)值。由于信號是二維的，因此分解也是二維的。分解的結果為： 近似分量cA、 水平細節(jié)分量cH、 垂直細節(jié)分量cV和對角細節(jié)分量cD。,二維小波分解和重構過程示意圖 （a） 二維DWT； (b) 二維IDWT,7.7.3 離散小波變換在圖像處理中的應用簡介 ,對靜態(tài)二維數(shù)字圖像，可先對其進行若干次二維DWT變換， 將圖像信息分解為高頻成分H、V和D和低頻成分A。對低頻部分A，由于它對壓縮的結果影響很大，因此可采用無損編碼