實對稱矩陣的對角化_第1頁
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文檔簡介

1、線性代數(shù)課件 hty,1,C4-4 實對稱矩陣的對角化,線性代數(shù)課件 hty,2,定理1對稱矩陣的特征值為實數(shù).,證明,一、對稱矩陣的性質(zhì),說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說 明，均指實對稱矩陣,線性代數(shù)課件 hty,3,于是有,兩式相減，得,線性代數(shù)課件 hty,4,定理1的意義,線性代數(shù)課件 hty,5,證明,于是,線性代數(shù)課件 hty,6,證明,它們的重數(shù)依次為,根據(jù)定理1（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定 理3( 如上)可得：,設(shè) 的互不相等的特征值為,線性代數(shù)課件 hty,7,由定理2知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，,這樣的特征向量共可得 個.,故這 個單位特征向量兩兩正交.,以它

2、們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則,線性代數(shù)課件 hty,8,根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化 為對角矩陣，其具體步驟為：,二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法,2.,1.,線性代數(shù)課件 hty,9,解,例 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ， 使 為對角陣.,(1)第一步 求 的特征值,線性代數(shù)課件 hty,10,解之得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,線性代數(shù)課件 hty,11,解之得基礎(chǔ)解系,第三步 將特征向量正交化,第四步 將特征向量單位化,線性代數(shù)課件 hty,12,線性代數(shù)課件 hty,13,線性代數(shù)課件 hty,14,線性代數(shù)課件 hty,15,于是得正交陣,線性代數(shù)課件 hty,16,1.對稱矩陣的性質(zhì)：,三、小結(jié),(1)特征值為實數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的 特征向量的個數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣， 且對角矩陣對角元素即為特征值,2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向 量單位化；(4)最后正交

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