19華師高等幾何離線作業(yè)

1、華師高等幾何離線作業(yè)一、填空題1 用公理法建立的幾何學演繹體系是由原始概念的列舉、定義敘述、公理列舉、定理的敘述和證明等四個方面組成的。2 絕對幾何學的公理體系是由四組，4,16 條公理構(gòu)成的。3. 羅巴切夫斯基函數(shù)(x)當平行矩X連續(xù)遞增 時，其對應的平行角連續(xù)遞減。4. 斜率為k的直線上的無窮遠點的齊次坐標是(1, k, 0)。5. 兩個射影點列成透視對應的充要條件是點列的底的交點是自對應點。6 歐氏平面上添加了無窮遠直線后，成為仿射平面。7.共線4點代B,C, D，若滿足(AB,CD ) =- 1，則稱點對 A, B與點對C,D互成調(diào)和共軛。&平面內(nèi)兩點I (1,i,0), J(1, i

2、,0)稱為平面內(nèi)的圓點 。9.羅巴切夫斯基函數(shù)(x)當平行矩x連續(xù)遞增時，其對應的平行角連續(xù)遞減10. 球面三角形的三角和常小于6d而大于 2d。球面三角形中兩角和減去第三角常小于 2d 。11. 射影變換 T是對合的充要條件是任何一對對應元素與兩個自對應元素調(diào)和共扼。12. 共線4點代B,C, D，若滿足(AB,CD) 1，則稱點對 A,B與點對C,D互成 調(diào)和 共軛。13. 平面內(nèi)兩點(1,i, 0)、(1, i, 0)稱為平面內(nèi)的圓點。14. 幾何學公理法從開始到形成，大體經(jīng)歷了3_階段。15. 幾何原本被認為是用古典公理法建立的幾何學。16. 歐幾里得第五公設敘述為：如果兩條直線與第三

3、條直線相交,所構(gòu)成的同側(cè)內(nèi)角的和小于兩個直角，則這兩條直線在這一側(cè)相交。17. 幾何原本被認為是用古典公理法建立的幾何學，這本書的作者是歐幾里得。18 .羅巴切夫斯基平面幾何的平行公理敘述為如果兩條直線與第三條直線相交，所構(gòu)成的同側(cè)內(nèi)角的和小于兩個直角，則這兩條直線在這一側(cè)相交。19. 羅氏平面上三角形內(nèi)角和 _小于二直角。20. 布里安香定理敘述為外切于一條非退化的二階曲線的簡單六線形的三對對頂點的連 線共點 。21 歐氏直線上添加了無窮遠點后，成為仿射直線。22. 射影平面上一點的射影坐標與另一種射影坐標的變換是非奇異線性變換。23. 誦過圓點的任意虛直線稱為迷向直線。24. 幾何原本被認

4、為是用古典公理法建立的幾何學，這本書的作者是歐幾里得 。25. “過一點作一直線”和“在直線上取一點”叫做對偶運算。26. 在歐氏平面上薩開里四邊形是矩形，而在羅氏平面上，薩開里四邊形上底角小于直角 。27. 笛沙格定理敘述為兩個三點形對應頂點的連線交于一點，那么對應邊的交點在同一 直線上 。28. 不共底又非透視對應的二射影點列恒可表示成_2_個透視對應的積。29. 二階曲線上的完全四點形的對角三點形是自極三點形 。30 .巴斯加定理敘述為內(nèi)接于一條非退化的二階曲線的簡單六點形的三對對邊的交點共線。31.幾何原本被認為是用古典公理法建立的幾何學，這本書的作者是歐幾里得。二、計算題1求4點(A

5、B , CD)的交比，其中 A(2, 1解：以 A(2 , 1 , - 1)和 B(1 , - 1,1)為基底。則(2, 1,- 1)+1 (1 , - 1,1)=( 1 , 0,1),B(1, 1,1), C(1,0,0),D(1, 5,5)。0)2.求射影對應式,使直線L上的坐標是1, 2, 3的三點對應直線I_的坐標為1,2, 32 111 11 11 100(2, 1,-1)+ 2(1,1,1)=(1,5, 5)2 21 21 21552所求交比為：1223的三點。解：射影對應式為：x x23求點P(1,2,1)關(guān)于二階曲線2X14X1X26X1X3X30的極線方程。解：點P(1,2,

6、1)關(guān)于二階曲線2X124X1X26X1X3 X30的極線方程為:9X1 2X2 4X304. 求過點(1, i, 0)上的實直線。解：過點(1, i, 0)上的實直線為：X305. 求重疊一維基本形的射影變換66 0自對應元素的參數(shù)。解：參數(shù)是：2, 316求由兩對對應元素 1與 ，0與2所決定的對合方程。2解：對合方程為：2 07.求通過兩直線(1, 1, 1 )、( 2, 1, 3)的交點與點2u1 3u2 U3 0的直線的坐標。解：坐標是：(1, 2, 4)2 2 28求點 P(5,2,7) 關(guān)于二階曲線 2X12 3X22 X32 6X1X2 2X1X3 4X1X3 0的極線 方程。

7、解：極線方程是： X 2 09求4直線(lidU)的交比，其中I(2,l3,l4分別為x y 0, 2x y 0, x y 0, 3x y 0.解：4直線(Iil2,|4)的交比為：510求射影對應式，使直線L上的坐標是0,1, 3的三點對應直線 L上的坐標為0,2, 6的三點。解：射影對應式為： 2011.求直線X! x2 4x30上無窮遠點的齊次坐標。解：齊次坐標是：( 1， 1， 0)12設點 A(1,1,1),B(1,1,1),C(1, 0,1), (AB,CD) 2，求點 D 的坐標。解：點 D 的坐標是： D(3,1, 3)13求連接(1i,2i,1)與(1i,2i,1)的直線方程

8、。解：直線方程為： X1 X 2 3X3014求射影對應式，使直線L上的坐標是0,2, 1的三點對應直線 L上的坐標為1, 3, 0的三點。解：射影對應式為：102215求點P(2,1,1)關(guān)于二階曲線4X1 3X1X2 X；0的極線方程。解：極線方程為：19X1 4X 2 0三、證明題221.求證：比3u1u2 u2 0決定的點在相互垂直的兩條直線上。22證明：設 u12 3u1u2 u22 (u1u2)(u1u2) ，可得兩個點的方程為u1 u2 0, u1u2 0用坐標表示為(1,0),(1,0).這兩個點在直線簇 y x a, y x b上。又 , 為 X2 3X 10的根，根據(jù)韋達定

9、理，1 ，故 u1 3u1u2 u220決定的點(1,0),(1,0)在相互垂直的兩條直線上。2.已知共面三點形 ABC與ABC是透視的，求證六直線 AB ,AC ,BC , BA,CA,CB屬于同一個二級曲線。證明：考慮以 A, B ,C, A,B,C為頂?shù)暮唵瘟€形。三對對頂連線是BB ,CC , AA，由題設它們共點。由布里安香定理的逆定理知，六直線AB,AC ,BC ,BA,CA,CB屬于同一個二級曲線。3設四點 R(3,1), P2(7,5), Q!(6,4), Q2(9,7)，求證：(PR, QQ)1。證明：由(P1P2, Q1Q2) PQl ?P2Q2 =- _?2=_ 1?2=

10、- 1RQ2 ? P2QiQ2P-i P2Q12所以，(RP2,Q1Q2)14設A, B在二階曲線c上，C,D不在c上，AC,BD分別交c于P,Q ； AD,BC分別交c 于U ,V。求證：CD, PQ, UV共點。證明：只須證 C, D,PQ UV三點共線。為此考慮六點形 APQBVU ,因為AP BV C,PQ VU X,QB UA D三點共線，由巴斯加定理得證 CD, PQ,UV共點。5直線AB和CD交于U , AC和BD交于V , U、V分別交AD、BC于F、G , BF 交AC于L。求證：LG、CF、AU交于一點。證明：考慮三點形 AFL, UCG ,因?qū)匜L與CG , LA與G

11、U , AF與UC分別交于共線三點，所以根據(jù)笛沙格定理的逆定理知LG、CF、AU交于一點。6 設直線0X與三點形ABC三邊BC,CA,AB分別交于A,B ,C，證明：O(AB, CX) (AB ,C O)證明：令OB與AC交于Y，貝U(B)(A,Y,C,B)(C,O,A,B)因為 O(AB,CX) (AY,CB ), (AB ,C O) (C O, A B ),所以 O(AB, CX) (AB ,C O)7 設三點形 ABC與ABC是透視的，BC與BC , CA與CA , AB與AB分別交于L,M ,N。證明BC,BC,MN三線共點。證明：考慮三點形 BCA, BCA，令BC與BC的交點為T ,根據(jù)笛沙格定理可以證明CA與CA的交點M , BA與BA的交點N，點T三點共線,因此BC, BC,MN三直線共點T 。四、綜合題1作已知點P關(guān)于二階曲線C的極線。解：做法：1、過P作C的二割線AB、CD。2、連AC，BD交于E,連AD，BC交于F,則EF為P點關(guān)于曲線C的極線。2.作出下圖的對偶圖形。解：作出對偶圖形如右圖 13.作出下圖的對偶圖形。解：作出對偶圖形如右圖 24作圖證明：給定直線p上四個不同點 A, B,C,D，建立一個射影對應使得p(A,B,C,D) p(C,D,A,B)證明：如下圖，取不在 p上