53振動能量與共振

1、 5.3振動能量與共振5. 3. 1簡諧振動中的能量以水平彈簧振子為例，彈簧振子的能量由振子的動能和彈簧的彈性勢能構(gòu) 成，在振動過程中，振子的瞬時動能為：振子的瞬時彈性勢能為：振子的總能量為:1 2 2 1 2E = Ek Ep m A kAp 2 2簡諧振動中，回復(fù)力與離開平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即2-kA2中，系統(tǒng)的機械能守恒。是恒量，因此振動過程圖 5-3-1如以豎直彈簧振子為例，則彈簧振子的能量由振子的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能構(gòu)成，盡管振動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒,但能量的研究仍比較復(fù)雜。由于此時回復(fù)力是由彈簧的彈力和重力共同提供的,-kx2而且是線性力（如圖

2、5-3-1）,因此，回復(fù)力做的功2（圖中陰影部分的面積）也就是系統(tǒng)瞬時彈性勢能和重力勢能之和，所以類比水平彈簧振子瞬時彈性勢能表達式，式中x應(yīng)指振子離開平衡位置的位移，則 Ep就是彈性勢能和重力勢能 之和，不必分開研究。簡諧振動的能量還為我們提供了求振子頻率的另一種方法，這種方法不涉及振子所受的力，在力不易求得時較為方便，將勢能寫成位移的函數(shù),即Ep匚kx2Ep2x第7頁另有也可用總能量和振幅表示為5. 3. 2、阻尼振動簡諧振動過程的機械能是守恒的，這類振動一旦開始，就永不停止，是一種 理想狀態(tài)。實際上由于摩擦等阻力不可完全避免，在沒有 外來動力的條件下，振動總會逐漸減弱以致最后停息。這 種

3、振幅逐漸減小的振動，稱為阻尼振動。阻尼振動不是諧 振動。 振動模型與運動規(guī)律如圖5-3-2所示，為考慮阻尼影響的振動模型，c為阻尼器，粘性阻尼時,阻力R=-cv，設(shè)m運動在任一 x位置，由-F = m - x有 小阻尼，單擺的重球及彈簧振子往往選用重球。分為2ax 2nvx w x = 0(17)c,n =式中2m這里參考圖方法不再適用，當(dāng)C較小時，用微分方程可求出振體的運動規(guī)律，如圖4-22所示。 阻尼對振動的影響圖 5-3-3x由圖5-3-3可見，阻尼使振幅逐漸衰減，直至為零。同時也伴隨著振動系統(tǒng)的機械能逐漸衰減為零。cn此外，2m愈大，即阻尼愈大，振幅衰減愈快。而增大質(zhì)量m可使n減小。所

4、以，為了減診 WWWVWv圖 5-3-4Tcm 常量阻力下的振動例1如圖5-3-4所示，倔強系數(shù)為250g/cm的彈簧一端固定，另端連結(jié)一1質(zhì)量為30g的物塊，置于水平面上，摩擦系數(shù)4，現(xiàn)將彈簧拉長1cm后靜止釋放。試求：（1）物塊獲得的最大速度；（2）物塊經(jīng)過彈簧原長位置幾次后才停 止運動。解：振體在運動中所受摩擦阻力是與速度方向相反的常量力，并不斷耗散系統(tǒng)的機械能，故不能像重力作用下那樣，化為諧振動處理。（1）設(shè)首次回程中，物塊運動至彈簧拉力等于摩擦力的x位置時，達最大速度xE =kx=mgk130g -4 = 0.03(cm)250g再由能量守恒: 代入已知數(shù)據(jù)得（2）設(shè)物體第一次回程中

5、，彈簧的最大壓縮量為 xi,則再設(shè)物體第一次返回中，彈簧的最大拉伸量為 xi，則可見振體每經(jīng)過一次彈簧原長位置，振幅減小是相同的，且均為160.04（cm） ： 0.06cm而 3/50故物體經(jīng)過16次彈簧原長位置后，停止在該處右方。5. 3. 3受迫振動一一在周期性策動外力作用下的振動例如：揚聲器的發(fā)聲，機器及電機的運轉(zhuǎn)引起的振動。1振動模型及運動規(guī)律如圖5-3-5所示，為策動外力作用下的振動模型。其中，阻力R=-cv,為常見的粘性阻尼力。策動力F=Hcospt，為簡諧力時。o圖 5-3-5由 于回二 ma*，有 ma* 二 H cos pt - cv* - kx 化為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)式cFkt Hn

6、= h=式中 2m， m， m由微分方程理論可求得振子的運動規(guī)律（2）受迫振動的特性在阻尼力較小的條件下，簡諧策動力引起的振動規(guī)律如圖5-3-6所示。在這個受迫振動過程由兩部分組成：一部分是按阻尼系統(tǒng)本身的固有頻率所作的衰減 振動，稱為瞬態(tài)振動（圖（a）;另一部分按策動力頻率所作的穩(wěn)定振動 （圖（b） 在實際問題中，瞬態(tài)振動很快消失，穩(wěn)態(tài)振動顯得更加重要。穩(wěn)態(tài)振動的頻率與 系統(tǒng)本身的固有頻率無關(guān)，其振幅與初位相也不由初始條件確定， 而與策動頻率 p密切相關(guān)。5. 3. 4、共振一當(dāng)策動力頻率p接近于系統(tǒng)的固有頻率時受迫振動振 幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象。Ac1C2O如圖5-3-7所示的一組曲線，描述了不同阻尼 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅A隨策動力頻率p