2015高考數(shù)學(xué)(文)真題分類匯編：專題15+幾何證明選講

1、11.【 2015高考天津，文6】如圖 ,在圓 O 中 ,M ,N 是弦 AB 的三等分點 ,弦 CD ,CE 分別經(jīng)過點M,N,若 CM=2,MD =4,CN=3, 則線段 NE 的長為（）(A)8105(B) 3(C)(D)332【答案】 A【解析】根據(jù)相交弦定理可得CM MD AM MB1 AB2 AB2 AB2,212339CNNEAN NBABABAB2,所以339C MM DCN NENECMM D 8,所以選 A.CN3【考點定位】本題主要考查圓中的相交弦定理.【名師點睛】平面幾何中與圓有關(guān)的性質(zhì)與定理是高考考查的熱點,解題時要充分利用性質(zhì)與定理求解 ,本部分內(nèi)容中常見的命題點有

2、:平行線分線段成比例定理;三角形的相似與性質(zhì) ;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定;相交弦定理與切割線定理 .2.【 2015 高考湖南，文12】在直角坐標(biāo)系xOy 中，以坐標(biāo)原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 .若曲線 C 的極坐標(biāo)方程為2sin ，則曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 _.【答案】 x22（y 1） 1【解析】試題分析：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，求解即可曲線 C 的極坐標(biāo)方程為2sn ，22 sn，它的直角坐標(biāo)方程為x2y22 y ，x2（y21故答案為： x2（y21）1） 1【考點定位】圓的極坐標(biāo)方程【名師點睛】 1. 運用互化公式：2x2 y2 , ysin , xcos 將極坐標(biāo)

3、化為直角坐11標(biāo)；2. 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化， 關(guān)鍵要掌握好互化公式， 研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化直角坐標(biāo)系的情境進行3. 【 2015 高考廣東，文14】（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系xy 中，以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線 C1 的極坐標(biāo)方程為cossin2，曲線 C2 的參數(shù)方程為xt 2（ t 為參數(shù)），y22t則 C1與 C2交點的直角坐標(biāo)為【答案】2,4【解析】曲線C1 的直角坐標(biāo)方程為 xy2，曲線 C2 的普通方程為y28x ，由xy2x22, 4 ，所以答案應(yīng)填：y2得：，所以 C1 與 C2 交點的直角坐標(biāo)為8xy42,4

4、【考點定位】1、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；2、參數(shù)方程化為普通方程；3、兩曲線的交點【考點定位】1、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；2、參數(shù)方程化為普通方程；3、兩曲線的交點【名師點晴】 本題主要考查的是極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程和兩曲線的交點， 屬于容易題 解決此類問題的關(guān)鍵是極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系方程，并把幾何問題代數(shù)化4. 【 2015 高考廣東，文15】（幾何證明選講選做題） 如圖 1，為圓的直徑，為的延長線上一點，過作圓的切線，切點為C ，過作直線C 的垂線，垂足為D 若4， C2 3，則D21【答案】 3【解析】連結(jié)C，則 CD，因為DD，所以

5、 C/D ，所以C，由D切割線定理得： C2，所以412 ，即24120，解得：2 或6 （舍去），所以C2 6，所以答案應(yīng)填：3D34【考點定位】 1、切線的性質(zhì)；2、平行線分線段成比例定理；3、切割線定理【名師點晴】 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理和切割線定理，屬于容易題 解題時一定要注意靈活運用圓的性質(zhì)，否則很容易出現(xiàn)錯誤凡是題目中涉及長度的，通常會使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識【 2015高考上海，文23c1x35 】若線 性方程組的增廣矩陣為解 為，則01c2y5c1 c2.【答案】 16x32x3 y c1c121【解析】由題意，是方

6、程組y的解，所以c2， 所 以y5c25c1 c2 21 5 16 .【考點定位】增廣矩陣，線性方程組的解法.31【名師點睛】 對于增廣矩陣 , 他是線性方程組的矩陣表現(xiàn)形式, 最后一列是常數(shù)項 ,前面的幾列是方程組的系數(shù). 本題 雖然是容易題，按照定義，仔細計算，不出錯.5. 【 2015 高考陜西，文 22】選修 4-1：幾何證明選講如圖， AB 切O于點 B，直線 AO交O 于 D,E兩點， BCDE,垂足為 C.(I) 證明：CBDDBA(II) 若 AD3DC, BC2 ，求O 的直徑 .【答案】 (I) 證明略，詳見解析；(II) 3.所以CBDDBA(II) 由 (I) 知 BD

7、 平分CBA ，則BA AD 3，BC CD又BC2，從而 AB3 2，41所以所以ACAB2BC24AD3 ，由切割線定理得AB2AD AE即 AEAB26 ，AD故DE AE AD 3，即 O 的直徑為 3.【考點定位】 1. 幾何證明； 2. 切割線定理 .【名師點睛】（ 1）近幾年高考對本部分的考查主要是圍繞圓的性質(zhì)考查考生的推理能力、邏輯思維能力，試題多是運用定理證明結(jié)論，因而圓的性質(zhì)靈活運用是解題的關(guān)鍵；（2）在幾何題目中出現(xiàn)求長度的問題，通常會使用到相似三角形.全等三角形 .切割線定理等基礎(chǔ)知識；（ 3）本題屬于基礎(chǔ)題，要求有較高分析推理能力.6.【 2015 高考陜西，文23】

8、選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程x3 1 t在直角坐標(biāo)版權(quán)法 xOy 呂，直線 l 的參數(shù)方程為2 (t 為參數(shù)），以原點為極點， xy3 t2軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C 的極坐標(biāo)方程為2 3 sin .(I) 寫出 C 的直角坐標(biāo)方程；(II) P 為直線 l 上一動點，當(dāng) P 到圓心 C 的距離最小時，求點P的坐標(biāo) .x2y23； (II)(3,0)【答案】 (I)3.【解析】試題分析：(I) 由2 3 sin，得223 sin ，從而有x2y 22 3 y ，所以2x2y33(II)設(shè)P 31 t ,3 t，又C (0, 3)，則221 t23 t2PC33t212 ，故當(dāng) t0 時

9、， PC 取得最小值，此2251時 P 點的坐標(biāo)為(3,0).試題解析： (I) 由23 sin ，得223 sin，從而有 x2y223y所以 x2y233(II) 設(shè) P31 t,3 t，又 C (0,3)，221 t23 t2則 PC33t 212 ，22故當(dāng) t0 時， PC 取得最小值，此時 P 點的坐標(biāo)為 (3,0) .【考點定位】 1.極坐標(biāo)系與參數(shù)方程；2.點與圓的位置關(guān)系.【名師點睛】 本題考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程，解決此類問題的關(guān)鍵是如何正確地把極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程轉(zhuǎn)化平面直角坐標(biāo)系方程，并把幾何問題代數(shù)化.本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準(zhǔn)確性.7. 【 2015 高考陜西，文

10、24】選修 4-5：不等式選講已知關(guān)于 x 的不等式xab 的解集為 x | 2x4(I) 求實數(shù) a, b的值；(II) 求at12bt 的最大值 .【答案】 (I)a3, b1；(II) 4.【解析】試 題 分 析 ： (I) 由 xab ， 得 b aba2x b a ， 由 題 意 得a， 解 得b4a3,b1 ；(II) 柯西不等式得613t 12t34 tt(3)212 (4 t )2( t )224tt4 ，當(dāng)且僅當(dāng)4tt即 t1 時等號成立，故313t12t4 .min試題解析： (I) 由 xab ，得baxba則ba2，解得 a3,b1.b a4(II)3t12t34tt(

11、3)212 (4 t )2(t )224tt4當(dāng)且僅當(dāng)4tt1時等號成立，3即 t1故3t12t4min【考點定位】1. 絕對值不等式；2. 柯西不等式 .【名師點睛】 （ 1）零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間.去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結(jié)果的并集， 注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值；（ 2）要注意區(qū)別不等式與方程區(qū)別； （ 3）用柯西不等式證明或求值事要注意兩點：一是所給不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要將所給式子變形；二是注意等號成立的條件。8.【 2015高考新課標(biāo)1，文 22】選修4-1：幾何證明選講如圖 AB是O直徑， AC是O切線

12、，BC交O與點 E.（I）若 D 為 AC 中點，求證：DE 是O 切線；（II ）若 OA3CE ，求ACB 的大小 .71【答案】（）見解析（） 60（）設(shè) CE=1，AE= x ,由已知得 AB= 2 3 ， BE12x2 ，由射影定理可得，AE2CE BE ， x212 x2 ，解得 x=3，10分ACB=60 .考點 :圓的切線判定與性質(zhì)；圓周角定理；直角三角形射影定理【名師點睛】在解有關(guān)切線的問題時，要從以下幾個方面進行思考：見到切線，切點與圓心的連線垂直于切線；過切點有弦，應(yīng)想到弦切角定理；若切線與一條割線相交，應(yīng)想到切割線定理； 若要證明某條直線是圓的切線，則證明直線與圓的交點

13、與圓心的連線與該直線垂直 .9.【 2015 高考新課標(biāo)1，文 23】選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy中，直線 C1 : x222 ，圓 C2 : x 1y 21 ，以坐標(biāo)原點為極81點,x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 .（I）求 C1,C2 的極坐標(biāo)方程 .（II ）若直線 C3 的極坐標(biāo)方程為，設(shè) C2,C3的交點為 M , N ，求C2MN 的R4面積 .【答案】（） cos2 ,22 cos4 sin4 0（） 12【解析】試題分析：（）用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化公式即可求得C1，C2的極坐標(biāo)方程；（）將將 = 代入22cos 4sin4 0 即可求出 |MN| ，利

14、用三角形面4積公式即可求出C2 MN 的面積 .試題解析：（）因為xcos , ysin， C1的極坐標(biāo)方程 為cos2，C2 的極坐標(biāo)方 程 為22cos4sin40.5分（）將=代入22 cos4sin40 ，得23240 ，解得41 = 22 ，2 =2 ， |MN|=12=2 ，因為 C2 的半徑為1，則C2MN 的面積 121sin 45o = 1 .22考點 :直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化；直線與圓的位置關(guān)系【名師點睛】 對直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，要熟記互化公式， 另外要注意互化時要將極坐標(biāo)方程作適當(dāng)轉(zhuǎn)化，若是和角， 常用兩角和與差的三角公式展開，化為可以公式形式，有時為了

15、出現(xiàn)公式形式，兩邊可以同乘以，對直線與圓或圓與圓的位置關(guān)系，?；癁橹苯亲鴺?biāo)方程，再解決 .10. 【 2015 高考新課標(biāo) 1，文 24】（本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講已知函數(shù)fxx12 xa , a0 .（I ）當(dāng) a1 時求不等式fx1 的解集；（II ）若 fx圖像與 x 軸圍成的三角形面積大于6，求 a 的取值范圍 .91【答案】（） x | 2x2 （）（2，+）3【解析】試題分析：（）利用零點分析法將不等式f(x)1 化為一元一次不等式組來解；（）將 f (x) 化為分段函數(shù)，求出f (x) 與 x 軸圍成三角形的頂點坐標(biāo)，即可求出三角形的面積，根據(jù)題意列出關(guān)于a 的不等式，即可解出a 的取值范圍 .試題解析：（）當(dāng) a=1 時，不等式f(x)1 化為 |x+1|-2|x-1|1，等價于 x1或1x1或 x 1，解得 2x2 ，x 1 2x 2 1x 1 2 x 2 1x 1 2x 2 13所以不等式f(x)1 的解集為 x | 2x2 .5 分3x1 2a, x1（）由題設(shè)可得，f ( x)3x12a,1xa ，x12a, xa所以函數(shù) f (x) 的圖像與 x 軸圍成的三角形的三個頂點分別為A( 2a1,0)，B(2 a 1,0)