幾何證明角平分線模型中級

1、初中幾何證明專題幾何證明一一角平分線模型（中級）【知識要點】1、角平分線：（1 ）角平分線性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等（作用：證明兩條線段相等）；（2）逆定理：在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。（作用：證明兩角相等或一條射線是一個角的角平分線）。2、角平分線常見用法（或輔助線作法）： 垂兩邊：如圖1，已知BP平分 ABC，過點P作PA AB，PC BC，則PA PC。 截兩邊：如圖2，已知BP平分 MBN，點A BM上，在BN上截取BC BA，貝U ABP也 CBP。 角平分線+平行線t等腰三角形：如圖3,已知BP平分ABC ,PA/AC，則AB AP

2、 ;已知BP平分ABC ,EF /PB，則BEBF 。如圖4,三線合一（利用角平分線+垂線t等腰三角形）如圖5，已知AD平分BAC，且 ADBC，則 AB AC , BD CD 。12角平分線模型(5)3、角平分線比例定理AB BD AB AC如圖6, AD為 ABC的角平分線，則或AC CD BD CD【經典例題】例1、已知如圖，ABC中，BC AC, AD平分 CAB，若 C 90，求證：AB AC CD ；例2、如圖，在Rt ABC 中,ACB 90，CD AB 于 D，AF 平分CAB交CD于E，交CB于F，且EG / AB交CB于G。試求：CF與GB的大小關系如何?例3、已知如圖，

3、ABC中，BC AC，AD平分 CAB，若 C 108，求證：AB AC BD ；例4、如圖：已知I是 ABC的內心，DI/AB交BC于點D，EI/AC交BC于E。求證：DIE的周于BC 。AD E例5、如圖：已知在 ABC中， ABC的平分線與 ACB的外角平分線交于點 D , DE / BC，交AB于 點E，交AC于點F，求證：EF BE FC 。M例6、如圖，已知 ABC中 BAC 90 ,AB AC,CD垂直于 ABC的平分線BD于D , BD交AC于E , 求證：BE 2CD。【提升訓練】1、如圖，已知 ABC的周長是21,OB,OC分別平分 ABC和 ACB , ODABC的面積.

4、BC于D，且0D 3，求CO，貝U Sa abo: Sabco:3.如圖，/ AOB=30 , OP 平分/ AOB , PC/ OB ,PD丄OB，如果PC=6，那么PD等于2 如圖， ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60.其三條角平分線交于點 SA CAO =.4 .如圖，AD是厶ABC的角平分線，DF丄AB，垂足為F, DE=DG，A ADG和厶AED的面積分別為 50和39,求 EDF的面積.5.已知如圖在 A ABC中，/ ACB=90 , CD丄AB于D，/ A的平分線交 CD于F, BC于E,過點E作EH丄AB于 H .求證：EC=CF=EH .6已知：如圖，平行

5、四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點E，F，G,7如圖，等邊 ABC中，AO是/ BAC的角平分線，D為AO上一點，以BE 求證： ACD BCE ;延長BE至Q，P為BQ上一點，連接 CP、連接（1）（2）8如圖，已知在 ABC中, 個距離是多少？/ B=90，兩直角邊9.已知：如圖在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD=9 : 7,求：D 到AB邊的距離.10 如圖， ABC中，點D在BC上，記 ABD的面積為Si， ACD的面積為S2，若S1:S2=AB : AC ,貝UAD是厶ABC的角平分線.請說明理由.11、如圖，

6、已知在ABC中，分別以AC, BC為邊向外作正BCE、正ACD，BD與AE交于M，求證:(1) AEBD （ 2）MC 平分 DME。E12、已知：如圖，APCP分別是 ABC外角 MAC和NCA的平分線，它們交于點 P，求證：BP為MBN的平分線。N13、如圖，AB 2AC, BADDAC,DA DB，求證：DC AC。C14、如圖，已知 AC / BD、EA、EB分別平分 CAB和DBA,CD過點E，求證:AB AC BD 。15、如圖， ABC中，AD是 A的平分線，E,F分別為AB, AC上一點，且 EDF BAF 180，求證：DE DF。16、已知：AC 平分 BAD，CE AB，

7、 B D 180，求證：AE AD BE。17、已知，在 ABC中，BP、CP為角平分線，過P點作EF / BC交AB于E，交AC于F。求證：EF BE CF 。18、已知如圖， AD平分 BAC，AC AB BD，求證:119、如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分 BAD，過C作CE AB于E，并且AE (AB AD)，求 2證：ABC ADC 180 。DeBB的平分線與 AC和GE分別交于D、E，20、已知 ABC 中，AB AC，GE 過 A 且 GE BC，的平分線與 AB和GE分別交于F、G。求證DE FG 。21、如圖，已知線段 AB / CD , AD與BC相交于點F , BE

8、平分1ABC , AE AD，猜想線段 AB、2BC、CD三者之間有怎樣的等量關系 ？請寫出你的結論并予以證明。22、如圖，已知 ABC中，CE平分 ACB，且AE CE , AEDCAE 180，求證：DE/BC。23 .如圖所示，在四邊形 ABCD中，/ A=90 AD=4，連接 BD , BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC邊上一動 點，貝U DP長的最小值為 .24 如圖所示，過線段 AB的兩個端點作射線 AM、BN，使AM II BN，/ MAB和/ NBA的平分線交于點 E，過 點E作一直線垂直于 AM，垂足為點 D，交BN于點C.(1) 觀察DE、EC，你有什么發(fā)現？請證

9、明你的結論；(2) 請你再研究 AD+BC與AB的關系，并給予證明.25 已知：如圖所示， AQ，BM，CN是厶ABC的三條角平分線試說明AQ，BM，CN交于一點.26 .如圖， ABC中，/ C=90，AD是角平分線,AC=8，AD=，求/ B、BC、AB .27 如圖，已知/ BAC=90，AD 丄 BC 于點 D，/ 1 = / 2，EF II BC 交 AC 于點 F.試說明 AE=CF .28 如圖，已知點 B, C分別在射線 AN , AM 上，/ MCB與/ NBC的平分線交于點 P.(1) 求證：AP平分/ BAC ;(2) 若/ ACB=90 , PC=4 近,PB=5 ,

10、AB=7，求 AP 的長.29 .如圖， ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度數.30 .如圖，在 ABC中，/ C=90，M為AB的中點，DM丄AB，CD平分/ ACB，求證：MD=AM31 .如圖， ABC中，D為BC的中點，DE丄BC交/ BAC的平分線于 E，EF丄AB，交AB于F, EG丄AC ,交 AC的延長線于 G,試問：BF與CG的大小如何？證明你的結論.32 已知：點 P為/ EAF平分線上一點， PB丄AE于B , PC丄AF于C,點M、N分別是射線 AE、AF上的點，且PM=PN (1) 當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時(如圖1),求證：BM=CN ;(2) 在(1)的條件下， AM+AN= AC ;(3) 當點M在線段AB的延長線上時(如圖 2),若AC : PC=2 : 1，PC=4，求四邊形 ANPM的面積.33 .已知：/ DAB=120，AC 平分/ DAB，/ B+ / D=180 .(1) 如圖 1,當/ B= / D 時，求證： AB+AD=AC ;(2) 如圖2,當/ BZ D時，猜想(1)中的結論是