幾何證明中點(diǎn)模型中級(jí)

1、初中幾何證明專題15中點(diǎn)模型幾何證明中點(diǎn)模型（中級(jí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1、中位線定理：如圖，在ABC 中，若 AD BD , AE CE ,1 則 DE/BC 且 DE BC。2D為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到E使ADDE，連接BE ,則有： ADC也 EDB。2、中線倍長(zhǎng)（倍長(zhǎng)中線）： 如圖（左圖），在 ABC中, 作用：轉(zhuǎn)移線段和角。注意:在實(shí)際運(yùn)用中,與某個(gè)中點(diǎn)相連的線段,都可以將其看作“中線”，從而都可以考慮將它倍長(zhǎng)（需要的話）如上右圖，如果出現(xiàn)“兩條平行線夾中點(diǎn)”的情形，一定會(huì)出現(xiàn)“X全等”或“叉叉全等”或“8字型全等 有時(shí)這個(gè)“叉叉”需要我們自己畫(huà)出來(lái)（輔助線）如圖，在Rt ABC中,3、直角三

2、角形斜邊中線定理：ACB 90 , D 為 AB 中點(diǎn)，則有：CD AD BD - AB。 24、三線合一：在 ABC 中：（1） ACABC ; ( 2) CD 平分ACB ; ( 3) AD BD , ( 4) CDAB.“知二得二”：比如由（2）（ 3）可得出（1）（ 4）.也就是說(shuō)，以上四條語(yǔ)句，任意選擇兩個(gè)作為條件，就可以推出剩下兩條。CA任意兩種功能請(qǐng)牢記：當(dāng)你發(fā)現(xiàn)有某一條線同時(shí)具備了“垂線”、“角平分線”、“中線”三種功能當(dāng)中的必定有等腰三角形出現(xiàn)時(shí)，那么這條線就一定是某個(gè)等腰三角形的對(duì)稱軸，換句話說(shuō)，以這條線為對(duì)稱軸【經(jīng)典例題】例1、如圖所示，已知 D為BC中點(diǎn)，點(diǎn) A在DE上

3、，且AB CE，求證：BAD CED E例2、如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn)，且BE AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF EF。A例3、如圖，在 ABC中，AD為 A的平分線， M為BC的中點(diǎn)，AD/ME，1 求證：BE CF AB AC。2例4、如圖，已知 ABC中，BD,CE為高線，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，點(diǎn) N是BC的中點(diǎn)求證： MN DE 。例5、如圖所示，在 ABC中，ACAD的延長(zhǎng)線于F，求證:MFAB，M為BC的中點(diǎn)，AD是 BAC的平分線，若CF1(AC AB)。AD且交AFC例6、如圖所示，在ABC中，AD是 BAC的平分線,M是BC的中點(diǎn)，MEAD

4、且交AC的延長(zhǎng)線于 E，CD 2CE，求證：ACB 2 B。A【提升訓(xùn)練】1已知如圖,ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：ADAB AC2A2、已知：如圖，在矩形 ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF EC交AB于F連結(jié)FC AB AE。求證:AEF ECF.AFDBCE3、已知如圖，ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié) BE并延長(zhǎng)交 AC于點(diǎn)F.求證:FC 2AF。A4、在梯形 ABCD 中，AD/BC , AB AD BC , E 為 CD 的中點(diǎn)，求證： AE BE 。5、已知：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O, AF為 BAC的平分線，交BD于E , BC于F 1

5、求證：OE FC 26、如圖， ABC中,B的平分線BE與BC邊的中線AD垂直，垂足為F，且BEADAD 4，求 ABC的三邊長(zhǎng)。B7、如圖，在 ABC中，AB AC 5, BC 6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MN AC于點(diǎn)N，求MN的長(zhǎng)。8、如圖，已知 ABC中，AD是 BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線，求證 AB AC 。A9、如圖，已知 ABC中，AB 5, AC 3, BC上的中線 AD 2,求BC的長(zhǎng)110、如圖，在ABC中，D是AB的中點(diǎn)，AC CD，tan BCD 3，求A的正切值.B11、已知：如圖， ABC中，AB BC，在AB上取點(diǎn)D ,在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn) E ,連結(jié)DE交BC

6、于點(diǎn)F , 若F是DE中點(diǎn)，求證：BD CE 12、如圖，M是 ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分 BAC , BN MN 3，求 ABC的周長(zhǎng)。AN 于點(diǎn) N，且 AB 10 , BC 15,13、如圖，已知： ABC中，A 90,D是BC的中點(diǎn)，DEDF 。求證：BE2 CF 2EF2 。C14、如圖,已知 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE DF。求證：BE CF EF 。15、如圖，D是 ABC中BC邊上的一點(diǎn)，且 CD AB , BDA BAD , AE是 ABD的中線, 求證：AC 2AE。AED16、如圖，已知等腰三角形 ABC中,A 90 , AB AC,BD 平分 ABC,CE BD

7、，垂足為點(diǎn) E ,求證：BD 2CE。CAD ,AB AC,CD求證：1DH - AB AC 。217、已知：如圖,BADAD于點(diǎn)D, H是BC中點(diǎn),18、如圖，在正方形 ABCD中,F是AB中點(diǎn)，連接CF，作DECF交BC于點(diǎn)E ,交CF于點(diǎn)M ,求證：AM AD 。19、已知:ABD和 ACE都是直角三角形，點(diǎn)C在AB上，且ABDACE 90，如圖，連接DE，設(shè)M為DE的中點(diǎn)，連接 MB,MC。求證：MB MC 。20、如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0，BDADBE2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB 的中點(diǎn)。求證：（1）BE AC（2）EG EF .21、請(qǐng)閱讀

8、下列材料：?jiǎn)栴}：如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)代B, E在同一條直線上，P線段DF的中點(diǎn)，連結(jié)PG, PC 若 ABC BEF 60 ,探究PG與PC的位置關(guān)系.22、如圖，ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，BE AC于點(diǎn)E,若 DAC 30,求證：AD BE 。A23、如圖，梯形 ABCD中，AD / BC , E是AB中點(diǎn)，EFCD 于 F , CD 6,EF 4，求 S弟形 abcd 0ADBCAD交AD于24、如圖，三角形 ABC , D為BC上的點(diǎn)，過(guò)B作BE AE ,交AD延長(zhǎng)線于E，作CFF , G為BC中點(diǎn)，連接FG與GE，求證：FG GE25如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)

9、是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AF平分 DAE，求證：AE EC CD26、如圖，正方形 CGEF的對(duì)角線 CE在正方形 ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上(CG BC ), M是線段 AE的中點(diǎn),DM的延長(zhǎng)線交 CE于N .(1) 求證：AD=NE (2)求證： DM=MF : DM 丄 MF .27、如圖，等腰梯形 ABCD中，CD/AB，對(duì)角線ABCD相交于0 , ACD 60，點(diǎn)S , P , Q分別是0D，0A，BC的中點(diǎn)，求證：PQS是等邊三角形28、已知如圖，ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn) 0，F(xiàn)、G分別是OB、0C的中點(diǎn),1 ABC (1)判斷EF和DG有何關(guān)系并證明；(2)求證：Saogd 丄S1229、如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC , AB AD DC ,C 60 , AEBD于點(diǎn)E , F是CD的中點(diǎn)，DG是梯形的高。（1）求證：四邊形 AEFD是平行四邊形；（2）設(shè)AE x，四邊形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。AD30、已知如圖，在四邊形 ABCD中，EF分別為AB、CD的中點(diǎn)；1（1）求證：EF （AC BD）；2（2）EF交BD、AC分別于P、Q，若AC BD，求證： OPQ為等腰三角形。DBC31、點(diǎn)O是 ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) OB、O