教輔：新課標(biāo)版數(shù)學(xué)（理）高三總復(fù)習(xí)之：第八章立體幾何第四節(jié)

1、,第八章立 體 幾 何,1以立體幾何的定義、公理、定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)和判定定理 2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題 請(qǐng)注意 近年來(lái)，高考題由考查知識(shí)向考查能力方向轉(zhuǎn)變，題目新穎多變，靈活性強(qiáng)立體幾何試題一般都是綜合直線和平面，以及簡(jiǎn)單幾何體的內(nèi)容于一體，經(jīng)常是以簡(jiǎn)單幾何體作為載體，全面考查線面關(guān)系,1直線和平面平行的判定定理 (1)定義：若直線與平面 ，則稱(chēng)直線平行平面； (2)判定定理：_； (3)其他判定方法：，aa. 2直線和平面平行的性質(zhì)定理 .,沒(méi)有公共點(diǎn),a，b，aba,a，a，lal,3兩個(gè)平面平行的判定定理 (1)定義：

2、兩個(gè)平面 ，稱(chēng)這兩個(gè)平面平行； (2)判定定理：若一個(gè)平面內(nèi)的 ，與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行； (3)推論：若一個(gè)平面內(nèi)的 分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的 ，則這兩個(gè)平面平行,沒(méi)有公共點(diǎn),兩條相交直線,兩條相交直線,兩條相交直線,4兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線 5與垂直相關(guān)的平行的判定定理 (1)a，b ； (2)a，a .,平行,ab,1(課本習(xí)題改編)給出下列四個(gè)命題： 若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行； 若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行； 若平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線

3、平行，則這條直線和這個(gè)平面平行；,若兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條也與這個(gè)平面平行 其中正確命題的個(gè)數(shù)是_個(gè) 答案1 解析命題錯(cuò)，需說(shuō)明這條直線在平面外 命題錯(cuò)，需說(shuō)明這條直線在平面外 命題正確，由線面平行的判定定理可知 命題錯(cuò)，需說(shuō)明另一條直線在平面外,2(課本習(xí)題改編)已知不重合的直線a，b和平面， 若a，b，則ab； 若a，b，則ab； 若ab，b，則a； 若ab，a，則b或b， 上面命題中正確的是_(填序號(hào)) 答案 解析若a，b，則a，b平行或異面；若a，b，則a，b平行、相交、異面都有可能；若ab，b，a或a.,3若P為異面直線a，b外一點(diǎn)，則過(guò)P且與a，b均平行的平面

4、() A不存在B零個(gè)或一個(gè) C可以有兩個(gè) D有無(wú)數(shù)多個(gè) 答案B,4在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD. 答案略 證明方法一：如圖(1)所示，連接B1D1. P，N分別是D1C1，B1C1的中點(diǎn)， PNB1D1. 又B1D1BD，PNBD. 又PN平面A1BD，BD平面A1BD， PN平面A1BD.同理：MN平面A1BD. 又PNMNN，平面PMN平面A1BD.,方法二：如圖(2)所示，連接AC1，AC， ABCDA1B1C1D1為正方體， ACBD. 又CC1平面ABCD， AC為AC1在平面ABCD上的射影，AC

5、1BD. 同理可證AC1A1B， AC1平面A1BD.同理可證AC1平面PMN. 平面PMN平面A1BD.,5.(2014新課標(biāo)全國(guó)文)如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn) (1)證明：PB平面AEC；,解析(1)證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形， 所以O(shè)為BD的中點(diǎn) 又E為PD的中點(diǎn)， 所以EOPB. 因?yàn)镋O平面AEC，PB平面AEC， 所以PB平面AEC.,例1正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，且APDQ.求證：PQ平面BCE. 【思路】證明直線與平面平行可以利用

6、直線與平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性質(zhì),題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì),【證明】方法一：如圖所示 作PMAB交BE于M， 作QNAB交BC于N， 連接MN.,方法二：如圖，連接AQ，并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于K，連接EK.,方法三：如圖，在平面ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PMBE，交AB于點(diǎn)M，連接QM. PM平面BCE.,【答案】略,探究1判斷或證明線面平行的常用方法有： (1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))； (2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)； (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)； (4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，aa),如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)N

7、在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CMDN，求證：MN平面AA1B1B.,思考題1,【證明】方法一：如右圖，作MEBC，交BB1于E.作NFAD，交AB于F，連接EF，則EF平面AA1B1B.,又MEBCADNF， MEFN為平行四邊形 NMEF.又MN面AA1B1B， MN平面AA1B1B.,方法二： 如圖，連接CN并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接B1P，則B1P平面AA1B1B.,方法三：如右圖，作MPBB1，交BC于點(diǎn)P，連接NP.,【答案】略,(1)求證：AP平面BEF； (2)求證：BE平面PAC.,【思路】(1)根據(jù)已知可得四邊形ABCE為菱形，在三角形PAC中利用三角形中位線定理可得P

8、A平行于平面BEF內(nèi)的一條直線，根據(jù)線面平行的判定定理可證；(2)由PACD，得出PABE.又ACBE，從而根據(jù)線面垂直的判定定理可證,因此四邊形ABCE為菱形 所以O(shè)為AC的中點(diǎn) 又F為PC的中點(diǎn)， 因此在PAC中，可得APOF. 又OF平面BEF，AP平面BEF， 所以AP平面BEF.,(2)由題意知EDBC，EDBC. 所以四邊形BCDE為平行四邊形 因此BECD. 又AP平面PCD， 所以APCD.因此APBE. 因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形， 所以BEAC. 又APACA，AP平面PAC，AC平面PAC， 所以BE平面PAC. 【答案】(1)略(2)略,探究2在多面體中判定平行關(guān)系是近年

9、來(lái)高考中的常見(jiàn)題型,(2015江西撫州一中)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn) (1)證明：BC1平面A1CD；,思考題2,【解析】(1)證明：連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn) 又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1DF. DF平面A1CD，BC1平面A1CD， BC1平面A1CD.,【答案】(1)略(2)1,例3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn) 求證：平面AMN平面EFDB.,題型二 面面平行的判定與性質(zhì),【證明】連接MF，M，F(xiàn)是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，四邊形A1

10、B1C1D1為正方形， MF綊A1D1.又A1D1綊AD， MF綊AD. 四邊形AMFD是平行四邊形 AMDF. DF平面EFDB，AM平面EFDB， AM平面EFDB，同理AN平面EFDB. 又AM平面ANM，AN平面ANM，AMANA， 平面AMN平面EFDB. 【答案】略,探究3證明面面平行的方法有： (1)面面平行的定義； (2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行； (3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行； (4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行； (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化,如

11、圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ平面PAO?,思考題3,【解析】當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO.證明如下： Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)， QBPA. P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，D1BPO. 又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO， D1B平面PAO，QB平面PAO. 又D1BQBB，D1B平面D1BQ，QB平面D1BQ， 平面D1BQ平面PAO. 【答案】Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO,例4如圖所示，平面平面，點(diǎn)A，C

12、，點(diǎn)B，D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEBCFFD. 求證：EF.,【證明】當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)， 由，平面ABDCAC， 平面ABDCBD，ACBD. AEEBCFFD， EFBD.又EF，BD，EF.,當(dāng)AB與CD異面時(shí)， 設(shè)平面ACDDH，且DHAC， ，平面ACDHAC，ACDH. 四邊形ACDH是平行四邊形 在AH上取一點(diǎn)G，使AGGHCFFD， 又AEEBCFFD，GFHD，EGBH. 又EGGFG，平面EFG平面. EF平面EFG，EF. 綜上，EF. 【答案】略,探究4在應(yīng)用面面平行、線面平行的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造平面，此處需要利用公理3的有關(guān)知識(shí)，本例中對(duì)AB

13、和CD位置關(guān)系的討論具有一定的代表性，可見(jiàn)分類(lèi)討論的思想在立體幾何中也多有體現(xiàn)本題構(gòu)造了從面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，再通過(guò)線線平行的“積累”上升為面面平行，然后利用線面、面面平行的定義證明“一個(gè)平面內(nèi)的直線，平行于另一個(gè)平面”這一結(jié)論本題設(shè)計(jì)精巧，轉(zhuǎn)化目的明確，具有一定的代表性,如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn),思考題4,2直線與平面平行的重要判定方法： 定義法；判定定理；面與面的平行性質(zhì) 3平面與平面平行的主要判定方法： 定義法；判定定理；推論；a，a.各種關(guān)系能相互轉(zhuǎn)化，特別要關(guān)注轉(zhuǎn)化所需條件是什么 4可以考慮向量的工具性作用，能用向量的盡可能應(yīng)

14、用向量解決，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化,1下列命題中正確的是_ 若直線a不在內(nèi)，則a； 若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l； 若直線l與平面平行，則l與內(nèi)的任意一條直線都平行； 如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行；,若l與平面平行，則l與內(nèi)任何一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)； 平行于同一平面的兩直線可以相交 答案,解析aA時(shí)，a不在內(nèi)， 錯(cuò)；直線l與相交時(shí)，l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在內(nèi)，故錯(cuò)；l時(shí)，內(nèi)的直線與l平行或異面，故錯(cuò)；ab，b時(shí)，a或a，故錯(cuò)；l，則l與無(wú)公共點(diǎn)，l與內(nèi)任何一條直線都無(wú)公共點(diǎn)，正確；如圖，長(zhǎng)方體中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，正確,2給出下列關(guān)于互不相同的

15、直線l，m，n和平面，的三個(gè)命題： 若l與m為異面直線，l，m，則； 若，l，m，則lm； 若l，m，n，l，則mn. 其中真命題為_(kāi) 答案,3(2015福建四地六校聯(lián)考)一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示(其中M，N分別是AF，BC中點(diǎn)) (1)求證：MN平面CDEF； (2)求多面體ACDEF的體積,4.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，BC的中點(diǎn) (1)求證：PA平面EFG； (2)求三棱錐PEFG的體積,解析(1)證明如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H. E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)， EFCD. G，H分別是BC，AD的中點(diǎn)， GHCD.EFGH. E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面 F，H分別為DP，DA的中點(diǎn)，PAFH. PA平面EFG，F(xiàn)H平面EFG， PA平