完整版三角不等式

1、第23講 三角不等式競賽熱點含有未知數(shù)的三角函數(shù)的不等式叫做三角不等式。在高中數(shù)學競賽內(nèi)容中，涉及三角不等式的問題有三類:一是三角不等式的證明，二是解三角不等式，三是應用三角不等式求最值。處理三角不等式的問題一方面要有扎實的三角變形能力,另一方面還需要有三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的認識。同時，對不等式的有關性質(zhì)和證明方法要能靈活運用。解題示范例1 :已知n n ， n2，求證:1 cos_cos_21 2 cos_n 3思路分析：本題從三角變形入手不易，不可考慮利用sinxx放縮，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式。證明：因為01.所以0 sinsin21IT(k1)(k 1)T2所以1(cos-cos-31cos_

2、)nn(n1 n 1-?)n(1?2?33n 12n即 1 cos-cos-3兄?3?5口）1 cos- n點評：此題應用三角函數(shù)中重要的不等式:（o ），則sin x x tanx.此結(jié)論的應用，將三角不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，疊乘即證得。 x （0,2）例2：當1,2,30,n時，求證:sin 1 sin 2 sin 33sin 123思路分析；利用和差化積公式和變?yōu)槌朔e的形式，再放縮證明。證明：因為sin 1 sin 2sin 3 sin丄于2sin 2icos222sin 2_cos 22sin 七二1 24 sin 一3所以sin 1 sin 2 sin3si n引申：此證明中利用co

3、s1進行放縮，從證明過程中可以看出，等號當且僅當3時成立。2 sin 2631223cos 4sin1233因為sin x在(Q 內(nèi)上凸，所以我們很容易推廣此不等式為sini 1nsin (1i), in i i0, ,i1,2,3,n.特殊地，在ABC 中有 sin asin Bsin C33成立。2 -例3:已知x,y,z R0，證明：x y z 2sinxcosy 2sinycoszsin 2x sin 2y sin 2z.思路分析：原不等式等價為sin xsin y sin y cosz4sinxcosx sin ycosy sin zcosz，再何意義構(gòu)造證明。證明：因為原不等式等價

4、為sin xcosy sin ycosz sin xcosx sin ycosy sinzcosz 4考慮利用幾即sin x(cosx cosy) sin y(cosy cosz) sin zcosz. 4如圖OM1cosx,OM2 cosy, OM3cos乙M1A sinx,M 2B sinx2 ,M3C sin z，sin x(cos x cosy) M 1A ?M 2M ， sin y(cos y cosz) M2 B? M 3M 2， sinz cosz OM 3 M 3C，、分別表示圖中陰影矩形的面積，而表示單位圓在第一象限的面積。4所以4sin x(cosx cos y) sin

5、y(cos y cos z)sin zcosz成立。即2si n xcosy2sin ycoszsin2x sin2ysin 2z.例4:已知點評：此題巧妙地利用三角線幾何意義，構(gòu)造矩形的面積證明，有較強的技巧性。(，求證：(tan tan )2 (tan2tan )(2tantan ).思路分析：所證不等式中涉及三個變量，結(jié)合結(jié)構(gòu)特征，考慮一元二次方程構(gòu)造證明。證明：當tan2 tan 0時，原不等式顯然成立。當 tan 2 tan 0 時，構(gòu)造元二次方程(tan 2tan )x2 2(tantan )x (2 tan tan ) 0.因為(tan2tan ) 2(tantan ) (2 t

6、an tan )0，所以所作方程必有一根x 1，從而 4(tan tan )2 4(tan 2 tan ) (2 tantan )0.即(tan tan )2 (tan 2tan )(2 tantan ).點評：三角不等式的證明常通過代數(shù)方法去解決。例5:在ABC中，求壬a bS嚴n尹右1B C3tan2tan2 1CA的整數(shù)部分。3ta n tan 一 122思路分析：利用三角形內(nèi)角和的特點考慮。證明：在 ABC 中，cot：tan聾+ B + Cta n_ tan_22BCI tan tan 22所以 tan 二 tanB2 2B tan_2tanC2tanC2Atan 1.2由冪平均不等

7、式，則ia bS H，3(3tan2tan21)B C(3tan_tan_2 21) (3tanCtanA2 21)5.又當0 x 1時，x2x.所以BC3ta n _ ta n 、 2 2B - tan tan 2I6 A 3tan _tan_ 1 2 2tanCtanA2 2Atan tan 1.2 2故 S 3 tan BtanC2 2tanCtanA2tandanE24.即S的整數(shù)部分為4。點評：證明過程中利用了冪平均不等式和1時，x2x 3x 1x2 2x73 x 1 x 1，既考慮了三角特點，又結(jié)合了代數(shù)不等式知識。例6：求實數(shù)a的取值范圍，使不等式sin 2(2.2_2a)s i

8、n( _)3 2a，在0 _恒成立。 2cos( _)思路分析：對題中sin(cos(7)(cos sin2)與 sin2關系換元解決。解：設sincos可得x1, - 2, sin2x2 1.原不等式可化為x21(2a)x即(x2)(x-a)x0.因為x1,2，所以 x0.記f(x)2，易知f (x)在1，.2 上單調(diào)遞減。所以f(X)maxf(1)1-3.1x點評：換元之后，將三角不等化為代數(shù)不等式解決，既轉(zhuǎn)化了形式，又簡化了不等式。3例7 :已知a,b, A, B R，若對于一切實數(shù) x ,都有 f (x) 1 acosx bsin xAcos2x Bsin 2xa2 b22, A2B2

9、1.思路分析：分析題中結(jié)構(gòu)，考慮引入輔助角方法證明。證明：若a2b20, A2B20，則結(jié)論顯然成立。若a2b20,A2 B2 0,sina,cosa2 b2b2令 sinA,cosA2B2A2B2于是f (x)1 a2b2 sin(xA2 B2sin(2xf (x1a2 b2 cos(xA2B2 sin(2x)0.由+得2a2 b2sin( x)c;os(x)0，即 2. 2(a2 b2) sin(x7)0.R都成立。所以a2b2 sin(x)42對一切x取xX ，424即有- a2又f(x由+得b2.2 a2 b22.)0.)1，7a2b2 sin(x)A2B2 sin(2x2 2 A2

10、B2 sin(2x )0.即A2B2 sin(2x )1.A2B21.取2xx時，” A2B21,即24 2點評：此題在恒成立的不等式中，通過賦值得、是關鍵的技巧。例 8 :已知 i (0-),tan 丄 tan 2 tan對任意一組滿足上述條件的1 , 2,cos 1 coscos n，求 的最小值。思路分析:先退到特殊形式考慮，再進一步處理一般形式。解：當n1時，cos3minn 2時，-2(a2 b2)得可證coscos2(cos 12 cos 22)時等號成立tantan 2、2, cos 1 cos 2*31帶入所以min當n 3時，得證cos 1 cos 2cosn n 2.事實上，不妨i 23n，則 COS iCOS 2cos只需證 cos 1 cos 2 cos 32.因為tan tan 2 tan32.2，所以tan2 28cos 2cos 3cos 1又costan 2 ? tan 3sin 2 sin 3sin 2 sin 3cos 3所以cos(1)所以1 曲 18cos21 sin2 222 cos 3sin222 sin22 sin1 sin2 cos 3若 8 cos2cos 1若 8 cos即 9cos2即 ta n2 2所以tan2所以 cos另外,cos故min2 cos2cos 22 c