完整版三角不等式

1、第23講 三角不等式競(jìng)賽熱點(diǎn)含有未知數(shù)的三角函數(shù)的不等式叫做三角不等式。在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽內(nèi)容中，涉及三角不等式的問(wèn)題有三類(lèi):一是三角不等式的證明，二是解三角不等式，三是應(yīng)用三角不等式求最值。處理三角不等式的問(wèn)題一方面要有扎實(shí)的三角變形能力,另一方面還需要有三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，對(duì)不等式的有關(guān)性質(zhì)和證明方法要能靈活運(yùn)用。解題示范例1 :已知n n ， n2，求證:1 cos_cos_21 2 cos_n 3思路分析：本題從三角變形入手不易，不可考慮利用sinxx放縮，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式。證明：因?yàn)?1.所以0 sinsin21IT(k1)(k 1)T2所以1(cos-cos-31cos_

2、)nn(n1 n 1-?)n(1?2?33n 12n即 1 cos-cos-3兄?3?5口）1 cos- n點(diǎn)評(píng)：此題應(yīng)用三角函數(shù)中重要的不等式:（o ），則sin x x tanx.此結(jié)論的應(yīng)用，將三角不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，疊乘即證得。 x （0,2）例2：當(dāng)1,2,30,n時(shí)，求證:sin 1 sin 2 sin 33sin 123思路分析；利用和差化積公式和變?yōu)槌朔e的形式，再放縮證明。證明：因?yàn)閟in 1 sin 2sin 3 sin丄于2sin 2icos222sin 2_cos 22sin 七二1 24 sin 一3所以sin 1 sin 2 sin3si n引申：此證明中利用co

3、s1進(jìn)行放縮，從證明過(guò)程中可以看出，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)成立。2 sin 2631223cos 4sin1233因?yàn)閟in x在(Q 內(nèi)上凸，所以我們很容易推廣此不等式為sini 1nsin (1i), in i i0, ,i1,2,3,n.特殊地，在ABC 中有 sin asin Bsin C33成立。2 -例3:已知x,y,z R0，證明：x y z 2sinxcosy 2sinycoszsin 2x sin 2y sin 2z.思路分析：原不等式等價(jià)為sin xsin y sin y cosz4sinxcosx sin ycosy sin zcosz，再何意義構(gòu)造證明。證明：因?yàn)樵坏仁降葍r(jià)

4、為sin xcosy sin ycosz sin xcosx sin ycosy sinzcosz 4考慮利用幾即sin x(cosx cosy) sin y(cosy cosz) sin zcosz. 4如圖OM1cosx,OM2 cosy, OM3cos乙M1A sinx,M 2B sinx2 ,M3C sin z，sin x(cos x cosy) M 1A ?M 2M ， sin y(cos y cosz) M2 B? M 3M 2， sinz cosz OM 3 M 3C，、分別表示圖中陰影矩形的面積，而表示單位圓在第一象限的面積。4所以4sin x(cosx cos y) sin

5、y(cos y cos z)sin zcosz成立。即2si n xcosy2sin ycoszsin2x sin2ysin 2z.例4:已知點(diǎn)評(píng)：此題巧妙地利用三角線(xiàn)幾何意義，構(gòu)造矩形的面積證明，有較強(qiáng)的技巧性。(，求證：(tan tan )2 (tan2tan )(2tantan ).思路分析：所證不等式中涉及三個(gè)變量，結(jié)合結(jié)構(gòu)特征，考慮一元二次方程構(gòu)造證明。證明：當(dāng)tan2 tan 0時(shí)，原不等式顯然成立。當(dāng) tan 2 tan 0 時(shí)，構(gòu)造元二次方程(tan 2tan )x2 2(tantan )x (2 tan tan ) 0.因?yàn)?tan2tan ) 2(tantan ) (2 t

6、an tan )0，所以所作方程必有一根x 1，從而 4(tan tan )2 4(tan 2 tan ) (2 tantan )0.即(tan tan )2 (tan 2tan )(2 tantan ).點(diǎn)評(píng)：三角不等式的證明常通過(guò)代數(shù)方法去解決。例5:在ABC中，求壬a bS嚴(yán)n尹右1B C3tan2tan2 1CA的整數(shù)部分。3ta n tan 一 122思路分析：利用三角形內(nèi)角和的特點(diǎn)考慮。證明：在 ABC 中，cot：tan聾+ B + Cta n_ tan_22BCI tan tan 22所以 tan 二 tanB2 2B tan_2tanC2tanC2Atan 1.2由冪平均不等

7、式，則ia bS H，3(3tan2tan21)B C(3tan_tan_2 21) (3tanCtanA2 21)5.又當(dāng)0 x 1時(shí)，x2x.所以BC3ta n _ ta n 、 2 2B - tan tan 2I6 A 3tan _tan_ 1 2 2tanCtanA2 2Atan tan 1.2 2故 S 3 tan BtanC2 2tanCtanA2tandanE24.即S的整數(shù)部分為4。點(diǎn)評(píng)：證明過(guò)程中利用了冪平均不等式和1時(shí)，x2x 3x 1x2 2x73 x 1 x 1，既考慮了三角特點(diǎn)，又結(jié)合了代數(shù)不等式知識(shí)。例6：求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使不等式sin 2(2.2_2a)s i

8、n( _)3 2a，在0 _恒成立。 2cos( _)思路分析：對(duì)題中sin(cos(7)(cos sin2)與 sin2關(guān)系換元解決。解：設(shè)sincos可得x1, - 2, sin2x2 1.原不等式可化為x21(2a)x即(x2)(x-a)x0.因?yàn)閤1,2，所以 x0.記f(x)2，易知f (x)在1，.2 上單調(diào)遞減。所以f(X)maxf(1)1-3.1x點(diǎn)評(píng)：換元之后，將三角不等化為代數(shù)不等式解決，既轉(zhuǎn)化了形式，又簡(jiǎn)化了不等式。3例7 :已知a,b, A, B R，若對(duì)于一切實(shí)數(shù) x ,都有 f (x) 1 acosx bsin xAcos2x Bsin 2xa2 b22, A2B2

9、1.思路分析：分析題中結(jié)構(gòu)，考慮引入輔助角方法證明。證明：若a2b20, A2B20，則結(jié)論顯然成立。若a2b20,A2 B2 0,sina,cosa2 b2b2令 sinA,cosA2B2A2B2于是f (x)1 a2b2 sin(xA2 B2sin(2xf (x1a2 b2 cos(xA2B2 sin(2x)0.由+得2a2 b2sin( x)c;os(x)0，即 2. 2(a2 b2) sin(x7)0.R都成立。所以a2b2 sin(x)42對(duì)一切x取xX ，424即有- a2又f(x由+得b2.2 a2 b22.)0.)1，7a2b2 sin(x)A2B2 sin(2x2 2 A2

10、B2 sin(2x )0.即A2B2 sin(2x )1.A2B21.取2xx時(shí)，” A2B21,即24 2點(diǎn)評(píng)：此題在恒成立的不等式中，通過(guò)賦值得、是關(guān)鍵的技巧。例 8 :已知 i (0-),tan 丄 tan 2 tan對(duì)任意一組滿(mǎn)足上述條件的1 , 2,cos 1 coscos n，求 的最小值。思路分析:先退到特殊形式考慮，再進(jìn)一步處理一般形式。解：當(dāng)n1時(shí)，cos3minn 2時(shí)，-2(a2 b2)得可證coscos2(cos 12 cos 22)時(shí)等號(hào)成立tantan 2、2, cos 1 cos 2*31帶入所以min當(dāng)n 3時(shí)，得證cos 1 cos 2cosn n 2.事實(shí)上，不妨i 23n，則 COS iCOS 2cos只需證 cos 1 cos 2 cos 32.因?yàn)閠an tan 2 tan32.2，所以tan2 28cos 2cos 3cos 1又costan 2 ? tan 3sin 2 sin 3sin 2 sin 3cos 3所以cos(1)所以1 曲 18cos21 sin2 222 cos 3sin222 sin22 sin1 sin2 cos 3若 8 cos2cos 1若 8 cos即 9cos2即 ta n2 2所以tan2所以 cos另外,cos故min2 cos2cos 22 c