初高中數(shù)學(xué)銜接-二次函數(shù)

1、初高中數(shù)學(xué)銜接-二次函數(shù)部分知識梳理 知識點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義 形如：f(x)ax2bxc (a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc (a0). 頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2) (a0)點(diǎn)評：.求二次函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法.根據(jù)所給條件的特征，可選擇一般式、頂點(diǎn)式或零點(diǎn)式中的一種來求.已知三個點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，選用零點(diǎn)式求

2、f(x)更方便.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)a0定義域xR(個別題目有限制的，由解析式確定)值域a0a0y，)y(，a0時(shí)，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.知識點(diǎn)2 二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系當(dāng)?shù)膱D像與x軸無交點(diǎn)無實(shí)根的解集為或者是R; 當(dāng)?shù)膱D像與x軸相切有兩個相等的實(shí)根的解集為或者是R;當(dāng)?shù)膱D像與x軸有兩個不同的交點(diǎn)有兩個不等的實(shí)根 的解集為或者是。(初中沒有的)知識點(diǎn)3 一元二次方程實(shí)根分布的充要條件一般地對于含有字母的一元二次方程的實(shí)根分布問題，用圖象求解，有如下結(jié)論：令（）（同理討論的結(jié)論）(1) x1, x

3、2, x2,則(3) x1b, x2b,則 (4) x1b (b),則(5）若f(x)=0在區(qū)間( ,b)內(nèi)只有一個實(shí)根，則有點(diǎn)評：（1）討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：判別式； 區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號； 對稱軸與區(qū)間的相對位置在討論過程中，注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想.(初中沒有的)知識點(diǎn)4 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一般分為三種情況討論：（1）若對稱軸在區(qū)間左邊，則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲担唬ɑ蚶煤瘮?shù)的單調(diào)性直接決定函數(shù)的最大（?。┲担?）若對稱軸在區(qū)間右邊，則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，只需比較的大小即可決定函

4、數(shù)的最大（?。┲担唬?）若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則是函數(shù)的最小值（）或最大值（），再比較的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?。點(diǎn)評：（1）兩個重要的結(jié)論：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值；單調(diào)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的兩個端點(diǎn)處取得最值。（2）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的討論的基點(diǎn)是對稱軸與區(qū)間的相對位置的討論，尤其當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)抓住討論的基點(diǎn)進(jìn)行討論。特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號對拋物線開口及結(jié)論的影響。題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù).解方法一設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，依題意有解之，得所求二次函數(shù)為y4x

5、24x7.方法二設(shè)f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)， 拋物線對稱軸為x. m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n8，yf(x)a28.f(2)1，a281， 解之，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依題意知：f(x)10的兩根為x12，x21， 故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc (a0)； (2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k (a0)；(3)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(

6、a0).題型二 二次函數(shù)的單調(diào)性 例2已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6.(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.(3)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，

7、此時(shí)定義域?yàn)閤6,6，且f(x)，f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0變式訓(xùn)練2：（1）.已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_ (，2_題型三二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例3（1）設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2，xt，t+1的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。解：（1）f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)當(dāng)t+11，即t0時(shí)，當(dāng)即0t1時(shí)，g(t)=f(1)=1；當(dāng)t1，函數(shù)在t，t+1上為增函數(shù)，g(t)=f(t)=t2-2t+2，g(t)=探究提高(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定

8、區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進(jìn)行分析討論求解.變式訓(xùn)練3：（1）已知函數(shù)f(x)4x24ax4aa2在區(qū)間0,1內(nèi)有一個最大值5，求a的值.解f(x)424a，對稱軸為x，頂點(diǎn)為.當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在區(qū)間0,1上遞減，此時(shí)f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，即a24a50，a5或a1(舍去)當(dāng)01，即0a2時(shí)，ymaxf4a，令4a5，a(0,2)當(dāng)1，即a2時(shí)，f(x)在區(qū)間0,1上遞增ymaxf(1)4a2.令4a

9、25，a12xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)由f(0)1得，c1. f(x)ax2bx1.又f(x1) f(x)2x，a(x1)2b(x1)1 (ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)題型五二次函數(shù)與不等式例8已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)x22x （1）求函數(shù)g(x

10、)的解析式； （2）解不等式g(x)f(x)|x1|； （3）若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則 點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，。（2）由。當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式無解當(dāng)時(shí)，解得原不等式的解集為（3）， ） ）探究提高二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常有機(jī)結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.因此，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(diǎn).分類討論的思想是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一

11、.本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法.在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：一是求實(shí)數(shù)a的值時(shí)，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯；二是求函數(shù)最值時(shí)，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論.除此外，解決函數(shù)問題時(shí)，以下幾點(diǎn)容易造成失分：1.含絕對值問題，去絕對值符號，易出現(xiàn)計(jì)算錯誤；2.分段函數(shù)求最值時(shí)要分段求，最后寫在一起時(shí)，沒有比較大小或不會比較出大小關(guān)系；3.解一元二次不等式時(shí)，不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻.方法與技巧1.數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問題的基本方法.特別是涉及二次方程、二次不等式的時(shí)候常常結(jié)合圖形尋找思路.2.含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題經(jīng)常使用的方

12、法是分類討論.比如討論二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，又例如涉及二次不等式需討論根的大小等.3.關(guān)于二次函數(shù)yf(x)對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為x.(2)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為xa(a為常數(shù)).(3)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為xa(a為常數(shù)).注意：(2)(3)中，f(ax)f(ax)與f(x2a)f(x)是等價(jià)的.(4)利用配方法求

13、二次函數(shù)yax2bxc (a0)對稱軸方程為x；(5)利用方程根法求對稱軸方程.若二次函數(shù)yf(x)對應(yīng)方程f(x)0的兩根為x1、x2，那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為x.失誤與防范1.求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要經(jīng)過配方法，要熟練準(zhǔn)確利用配方法.2.對于函數(shù)yax2bxc要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須認(rèn)定a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況.3.對于二次函數(shù)yax2bxc (a0)給定了定義域?yàn)橐粋€區(qū)間k1，k2時(shí)，利用配方法求函數(shù)的最值是極其危險(xiǎn)的，一般要討論函數(shù)圖象的對稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況，有時(shí)要討論下列四種情況：k1；k1；0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可

14、能是 ( D)2.函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件是 (A)A.m2 B.m2 C.m1 D.m13.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(D)A.(，0 B.2，) C.(，02，) D.0,24.已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (B)A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(，0)二、填空題7.若二次函數(shù)f(x)ax2bx2滿足f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_2_.8.若函數(shù)yx2(a2)x3，xa，b的圖象關(guān)于直線x1對稱，則b_6_.9.二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_.10.若函數(shù)ymx2x5在2，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_.強(qiáng)化訓(xùn)練(二)1. 下圖所示為二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象，則OAOB等于（ ）A.B.C.D.無法確定解析：|OA|OB|=|OAOB|=|x1x2|=|=（a0，c0）.答案：B2. 二次函數(shù)，若，則等于（ D ） A B C D3.若方程x22mx40的兩根滿足一根大于1，一根小于1，則m的取值范圍