文科立體幾何知識點、方法總結(jié)高三復(fù)習(xí)

1、立體幾何知識點整理（文科）一 直線和平面的三種位置關(guān)系：1. 線面平行 符號表示： 2. 線面相交 符號表示： 3. 線在面內(nèi)符號表示： 二 平行關(guān)系：1. 線線平行： 方法一：用線面平行實現(xiàn)。方法二：用面面平行實現(xiàn)。方法三：用線面垂直實現(xiàn)。 若，則。方法四：用向量方法： 若向量和向量共線且l、m不重合，則。2. 線面平行：方法一：用線線平行實現(xiàn)。方法二：用面面平行實現(xiàn)。方法三：用平面法向量實現(xiàn)。若為平面的一個法向量，且,則。3. 面面平行：方法一：用線線平行實現(xiàn)。方法二：用線面平行實現(xiàn)。三垂直關(guān)系： 1. 線面垂直： 方法一：用線線垂直實現(xiàn)。方法二：用面面垂直實現(xiàn)。2. 面面垂直： 方法一：

2、用線面垂直實現(xiàn)。方法二：計算所成二面角為直角。3. 線線垂直： 方法一：用線面垂直實現(xiàn)。方法二：三垂線定理及其逆定理。方法三：用向量方法： 若向量和向量的數(shù)量積為0，則。三 夾角問題。(一) 異面直線所成的角：(1) 范圍：(2)求法：方法一：定義法。步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：(計算結(jié)果可能是其補角)方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角(計算結(jié)果可能是其補角)：(二) 線面角(1)定義：直線l上任取一點P（交點除外），作PO于O,連結(jié)AO，則AO為斜線PA在面內(nèi)的射影，(圖中)為直線l與面所成的角。(2)范圍： 當(dāng)時，或當(dāng)時，(3)求法

3、：方法一：定義法。步驟1：作出線面角，并證明。步驟2：解三角形，求出線面角。(三) 二面角及其平面角(1)定義：在棱l上取一點P，兩個半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角l的平面角。(2)范圍： (3)求法：方法一：定義法。步驟1：作出二面角的平面角(三垂線定理)，并證明。步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟1：如圖，若平面POA同時垂直于平面，則交線(射線)AP和AO的夾角就是二面角。步驟2：解三角形，求出二面角。方法三：坐標(biāo)法(計算結(jié)果可能與二面角互補)。步驟一：計算步驟二：判斷與的關(guān)系，可能相等或者互補。四 距離問題。1點面距。方法一：幾

4、何法。步驟1：過點P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計算線段PO的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法)2線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距。3異面直線之間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：直接計算公垂線段的長度。方法三：公式法。如圖，AD是異面直線m和n的公垂線段，則異面直線m和n之間的距離為： 3 / 12高考題典例考點1 點到平面的距離例1如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點（）求證：平面；（）求二面角的大?。唬ǎ┣簏c到平面的距離ABCDOF考點2 異面直線的距離例2 已知三棱錐，

5、底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，且垂直于底面.分別為的中點，求CD與SE間的距離.考點3 直線到平面的距離BACDOGH例3 如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點，求BD到平面的距離考點4 異面直線所成的角例4如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角是的中點（I）求證：平面平面；（II）求異面直線與所成角的大小考點5 直線和平面所成的角例5. 四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小考點6 二面角例6如圖，已知直二面角，ABCQP，直線和平面所成的角為（I）證明（II）求二面角的大小考點7 利用空間向量求空間距離和角例7 如圖

6、，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且（1）求證：四點共面； （2）若點在上，點在上，垂足為，求證：平面； （3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求常用結(jié)論1證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化

7、為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.6證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式 ：設(shè)a，b，則cosa，b=.8異面直線所成角：=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10、

8、空間四點A、B、C、P共面，且 x + y + z = 111.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.12.三余弦定理：設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.13.空間兩點間的距離公式 若A，B，則=.14.異面直線間的距離： (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).15.點到平面的距離：（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.16.三個向量和的平方公式：17. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.18. 面積射

9、影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).19. 球的組合體(1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.20.求點到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）二溫馨提示：1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？ 異面直線所成的角、直線與平面所成的角

10、、二面角的取值范圍依次. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是 反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是三解題思路：121、平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線面平行的判定： 線面平行的性質(zhì)： 三垂線定理（及逆定理）： 線面垂直： 面面垂直： 2、三類角的定義及求法 （1）異面直線所成的角，090 （2）直線與平面所成的角，090 （三垂線定理法：A作或證AB于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，AOB為所求。） 三類角的求法： 找出或作出有關(guān)的角。 證明其符合定義，并指出所求作的角。計算大?。ń庵苯侨切?，或用余弦定理)高中數(shù)學(xué)立體幾何 空間距離1.兩條異面直線間的距離和

11、兩條異面直線分別垂直相交的直線，叫做這兩條異面直線的公垂線；兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離.2.點到平面的距離從平面外一點引一個平面的垂線，這點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離.3.直線與平面的距離如果一條直線和一個平面平行，那么直線上各點到這平面的距離相等，且這條直線上任意一點到平面的距離叫做這條直線和平面的距離.4.兩平行平面間的距離和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩平行平面的公垂線，它夾在兩個平行平面間的公垂線段的長叫做這兩個平行平面的距離.題型一：兩條異面直線間的距離【例1】 如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA

12、=AC=BD=a，E、F分別是AB、CD的中點.例1題圖(1)求證：EF是AB和CD的公垂線；(2)求AB和CD間的距離；【規(guī)范解答】 (1)證明：連結(jié)AF，BF，由已知可得AF=BF.又因為AE=BE，所以FEAB交AB于E.同理EFDC交DC于點F.所以EF是AB和CD的公垂線.(2)在RtBEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.例2題圖由(1)知EF是AB、CD的公垂線段，所以AB和CD間的距離為.【例2】 如圖,正四面體ABCD的棱長為1，求異面直線AB、CD之間的距離.設(shè)AB中點為E，連CE、ED.AC=BC,AE=EB.CDAB.同理DEAB.AB平面C

13、ED.設(shè)CD的中點為F,連EF，則ABEF.同理可證CDEF.EF是異面直線AB、CD的距離.CE=,CF=FD=,EFC=90,EF=.AB、CD的距離是.【解后歸納】 求兩條異面直線之間的距離的基本方法：（1）利用圖形性質(zhì)找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長度.（2）如果兩條異面直線中的一條直線與過另一條直線的平面平行，可以轉(zhuǎn)化為求直線與平面的距離.（3）如果兩條異面直線分別在兩個互相平行的平面內(nèi)，可以轉(zhuǎn)化為求兩平行平面的距離.例3題圖題型二：兩條異面直線間的距離【例3】 如圖(1),正四面體ABCD的棱長為1，求：A到平面BCD的距離；過A作AO平面BCD于O，連BO并延長與CD相

14、交于E，連AE.AB=AC=AD,OB=OC=OD.O是BCD的外心.又BDBCCD，O是BCD的中心，BO=BE=.又AB1，且AOB=90,AO=.A到平面BCD的距離是.【例4】 在梯形ABCD中,ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a且sinADC=,又PA平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角PCDA的大小; (2)點A到平面PBC的距離.【規(guī)范解答】 (1)作AFDC于F,連結(jié)PF,AP平面ABCD,AFDC,PFDC,PFA就是二面角PCDA的平面角.在ADF中,AFD=90,ADF=arcsin,AD=3a,AF=,在RtPAF中tanPFA=,PFA=arc tan.(2

15、)PA平面ABCD,PABC,又BCAB,BC平面PAB,作AHPB,則BCAH,AH平面PBC,PAAB,PA=AB=a,PB=a,AH=.【例5】 如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的長；（）求點C到平面AEC1F的距離.解法1：（）過E作EH/BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.AFEC1，F(xiàn)AD=C1EH. RtADFRtEHC1.DF=C1H=2. （）延長C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過C作CMAG，垂足為M，連C1M，

16、由三垂線定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到面AEC1F的距離.解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.AEC1F為平行四邊形，（II）設(shè)為面AEC1F的法向量，的夾角為a，則C到平面AEC1F的距離為【例6】 正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點。BACD（1）求點到直線AC的距離.（2）求直線到平面的距離解：（1）連結(jié)BD，由三垂線定理可得：，所以就是點到直線AC的距離。在中（2）因為AC與平面BD交于的中點，設(shè)，則/DE，所以/平面，所以到平面BD的距離等于點到平面BD的距離，等于點到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高， ，即直線到平面BD的距離是【解后歸納】 求空間距離注意三點：1常規(guī)遵循一作二證三計算的步驟；2多用轉(zhuǎn)化的思想求