求動點(diǎn)的軌跡方程方法例題習(xí)題答案

1、求動點(diǎn)的軌跡方程（例題，習(xí)題與答案）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和高考數(shù)學(xué)考試中，求動點(diǎn)軌跡的方程和曲線的方程是一個難點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容（求軌跡方程和求曲線方程的區(qū)別主要在于：求軌跡方程時，題目中沒有直接告知軌跡的形狀類型；而求曲線的方程時，題目中明確告知動點(diǎn)軌跡的形狀類型）。求動點(diǎn)軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法與交軌法等；求曲線的方程常用“待定系數(shù)法”。l 求動點(diǎn)軌跡的常用方法動點(diǎn)P的軌跡方程是指點(diǎn)P的坐標(biāo)（x, y）滿足的關(guān)系式。1. 直接法（1）依題意，列出動點(diǎn)滿足的幾何等量關(guān)系；（2）將幾何等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的代數(shù)方程。例題 已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動點(diǎn)M

2、到圓C的切線長等與，求動點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線 解：設(shè)動點(diǎn)M(x,y)，直線MN切圓C于N。依題意：，即而,所以(x-2)+y=x+y-1化簡得：x=。動點(diǎn)M 的軌跡是一條直線。2. 定義法分析圖形的幾何性質(zhì)得出動點(diǎn)所滿足的幾何條件，由動點(diǎn)滿足的幾何條件可以判斷出動點(diǎn)的軌跡滿足圓（或橢圓、雙曲線、拋物線）的定義。依題意求出曲線的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)一步寫出軌跡方程。例題：動圓M過定點(diǎn)P（4，0），且與圓C：相切，求動圓圓心M的軌跡方程。解：設(shè)M(x,y)，動圓的半徑為r。若圓M與圓C相外切，則有 MC=r4若圓M與圓C相內(nèi)切，則有 MC=r-4而MP=r, 所以MC-MP=4動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)

3、P(-4,0),C(4,0)的距離差的絕對值為4，所以動點(diǎn)M 的軌跡為雙曲線。其中a=2, c=4。動點(diǎn)的軌跡方程為：3. 相關(guān)點(diǎn)法若動點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x，y)的變動而變動，且x、y可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程。這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法。例題：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)M(x,y), A(),依題意有：x=, y=則：x=2x-4, y=2y-3, 因?yàn)辄c(diǎn)A()在圓上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為：動點(diǎn)M的軌跡為以（2,）為圓心，1為半徑的圓。4. 參數(shù)法例題：已知定點(diǎn)A（-3,

4、0），M、N分別為x軸、y軸上的動點(diǎn)（M、N不重合），且,點(diǎn)P在直線MN上，。求動點(diǎn)P的軌跡C的方程。解：設(shè)N(0,t), P(x,y)直線AN的斜率，因?yàn)?，所以直線MN的斜率直線MN的方程為y-t=,令y=0 得x=,所以點(diǎn)M(,0), 由, 得x=), y-t=,則所以動點(diǎn)P的軌跡方程為：5. 交軌法例題：如圖，在矩形中，分別為四邊的中點(diǎn)，且都在坐標(biāo)軸上，設(shè)。求直線與的交點(diǎn)的軌跡的方程。解：設(shè)，由已知得，則直線的方程為，直線的方程為，即y+2= y-2= - 兩式相乘，消去即得的軌跡的方程為練習(xí)與答案1. 設(shè)圓C與圓x2+（y.3）2=1外切，與直線y =0相切，則C的圓心軌跡為AA拋物線

5、 B雙曲線 C橢圓 D圓2. 已知圓，圓，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。(x0)3. 過點(diǎn)A(4，0)作圓Ox+y2=4的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡。(x-2)+y=4 (0x1)4. 已知圓C：+(y-4)=1, 動點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，過P作圓C的切線，切點(diǎn)為M，且PM=PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。求動點(diǎn)P的軌跡方程。提示：PO=PM=3x+4y-12=05. 已知圓，圓，動點(diǎn)到圓,上點(diǎn)的距離的最小值相等.求點(diǎn)的軌跡方程。解：動點(diǎn)P 到圓C的最短距離為PC-1,動點(diǎn)P 到圓C的最短距離為PC-1,依題意有：PC-1=PC-1，即PC=PC所以動點(diǎn)P的軌跡為線段CC的中垂線。所

6、以動點(diǎn) P 的軌跡方程為：2x+y-5=06. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為, 點(diǎn)P（），Q（）是雙曲線上不同的兩個動點(diǎn)。求直線與交點(diǎn)的軌跡E的方程。解：由為雙曲線的左右頂點(diǎn)知，兩式相乘，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，故，所以，即直線與交點(diǎn)的軌跡的方程為7. 已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。解：（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，化簡可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，中點(diǎn)的軌跡方程為（）.8. 已知點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)

7、A、B是O：上任意兩個不同的點(diǎn)，且滿足，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)。求點(diǎn)P的軌跡T的方程。解：連結(jié)CP，由，知ACBC|CP|AP|BP|，由垂徑定理知即 設(shè)點(diǎn)P（x，y），有化簡，得到。9.設(shè)橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，當(dāng)繞著M旋轉(zhuǎn)時，求動點(diǎn)P的軌跡方程。解：直線過點(diǎn)，設(shè)其斜率為k，則直線的方程為，記，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是方程組的解，其方程組中消取得 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 即：點(diǎn)P為，設(shè)點(diǎn)P為，則P點(diǎn)的軌跡參數(shù)方程為 （為參數(shù)）消去參數(shù)得：當(dāng)斜率不存在時，A、B的中為原點(diǎn)（0，0）也滿足上述方程，故：動點(diǎn)P的軌跡方程為。10. 設(shè)圓C與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切。求圓C的

8、圓心軌跡L的方程。解：兩圓半徑都為2，設(shè)圓C的半徑為R，兩圓心為、，由題意得或，可知圓心C的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)方程為，則，所以軌跡L的方程為11. 如圖所示，已知P（4，0）是圓內(nèi)的一點(diǎn)。A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足,求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解：設(shè)R(x,y),依題意，有OR+RA=36,而RA=RP,所以O(shè)R+RP=36, 即化簡得：設(shè)Q(X, Y),因?yàn)镽(x,y)是QP的中點(diǎn)，所以有x=,y=,故化簡得：X12. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A，設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足MPO=AOP。當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡E的方程。解：如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q，因此即另一種情況，見圖2（即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)）。MQ為線段OP的垂直平分線，又因此M在軸上，此時，記M的坐標(biāo)為為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn)由 （即）得，故的軌跡方程為綜合和得，點(diǎn)M軌跡E的方程為13. 點(diǎn)M是橢圓上