完整版四年級(jí)奧數(shù)第四講 等差數(shù)列含答案

1、等差數(shù)列一、知識(shí)點(diǎn)：1、數(shù)列：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做項(xiàng)，第一項(xiàng)稱 為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。數(shù)列中共有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。2、等差數(shù)列與公差：一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與與它前一項(xiàng)的差都相等，這樣 的數(shù)列的叫做等差數(shù)列，其中相鄰兩項(xiàng)的差叫做公差。3、常用公式 等差數(shù)列的總和 =（首項(xiàng) +末項(xiàng)） 項(xiàng)數(shù) 2 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng) -首項(xiàng)） 公差+1 末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 （項(xiàng)數(shù) -1） 首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差 （項(xiàng)數(shù) -1） 公差=（末項(xiàng) -首項(xiàng)） （項(xiàng)數(shù)-1） 等差數(shù)列（奇數(shù)個(gè)數(shù)）的總和 =中間項(xiàng) 項(xiàng)數(shù)、典例剖析：例（1） 在數(shù)列3、6、9,201中，共有多少數(shù)？如果繼續(xù)寫下去，

2、第201個(gè)數(shù)是多少？分析：（1）因?yàn)樵谶@個(gè)等差數(shù)列中，首項(xiàng)=3，末項(xiàng) =201，公差 =3，所以根據(jù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng) -首項(xiàng)）公差+1, 便可求出。（ 2）根據(jù)公式：末項(xiàng) =首項(xiàng) +公差 （項(xiàng)數(shù) -1 ）解：項(xiàng)數(shù)=（201-3）3+1=67末項(xiàng) =3+3（ 201-1 ） =603答：共有 67 個(gè)數(shù)，第 201 個(gè)數(shù)是 603練一練：在等差數(shù)列中4、10、16、22、中，第48項(xiàng)是多少？ 508是這個(gè)數(shù)列的第 幾項(xiàng)？答案 : 第 48 項(xiàng)是 286， 508 是第 85 項(xiàng)例（ 2 ） 全部三位數(shù)的和是多少？分析：所有的三位數(shù)就是從100999共900個(gè)數(shù)，觀察100、101、102、99

3、8、999 這 一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)公差為 1 的等差數(shù)列。要求和可以利用等差數(shù)列求和公式來 解答。解：（ 100+999）9002=1099900 2=494550答：全部三位數(shù)的和是 494550。練一練： 求從 1 到 2000 的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。答案: 1000例（ 3）求自然數(shù)中被 10除余 1 的所有兩位數(shù)的和。分析一：在兩位數(shù)中，被 10 除余 1最小的是 11，最大的是 91。從題意可知，本題是求 等差數(shù)列11、21、31、91的和。它的項(xiàng)數(shù)是 9,我們可以根據(jù)求和公式來計(jì)算。解一：11+21+31 + +91=（11+91） 9 2=459分析二：根

4、據(jù)求和公式得出等差數(shù)列11、21、31、91的和是459，我們可以求得這9 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 4599=51,而 51 恰好是這個(gè)等差數(shù)列的第五項(xiàng), 即中間的一項(xiàng) （稱作中項(xiàng)），由此我們又可得到 S=中項(xiàng)n,但只能是項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，等差數(shù)列有中項(xiàng)，才能 用中項(xiàng)公式計(jì)算。解二：11+21+31 + +91=519=459答：和是 459。練一練： 求不超過 500 的所有被 11 整除的自然數(shù)的和。答案 : 11385例（ 4） 求下列方陣中所有各數(shù)的和：1、2、3、4、 49、50；2、3、4、5、 50、51；3、4、5、6、 51、52；49、50、51、52、97、98；50、51、52、5

5、3、98、99。分析一：這個(gè)方陣的每一橫行（或豎行）都各是一個(gè)等差數(shù)列,可先分別求出每一橫 行（或豎行）數(shù)列之和,再求出這個(gè)方陣的和。解一：每一橫行數(shù)列之和：第一行：（1+50）50 2=1275第二行：（2+51）50 2=1325第四十九行： （ 49+98）50 2=3675第五十行： （ 50+99）50 2=3725方陣所有數(shù)之和：1275+1325+1375+3675+3725= （1275+3725）50 2=125000分析二：觀察每一橫行可以看出,從第二行起,每一行和都比前一行多50,所以可以先將第一行的和乘以 50,再加上各行比第一行多出的數(shù),這樣也能求得這個(gè)方陣所有 數(shù)的

6、和。解二：（ 1+50）50 250=6375050（1+2+3+49） =50【（1+49）49 2 】=6125063750+61250=125000答：這個(gè)方陣的和是 125000練一練：求下列方陣中 100 個(gè)數(shù)的和。0、1、2、3、8、9;1、2、3、4、9、10;2、3、4、5、10 11;9、10、11、12、17、18。答案 : 900例( 5)班級(jí)男生進(jìn)行扳手腕比賽，每個(gè)參賽男生都要和其他參賽選手扳一次。若一共扳了 105 次，那么共有多少男生參加了這項(xiàng)比賽 ?分析：設(shè)共有幾個(gè)選手參加比賽，分別是 A1、A2、A3 A4An。從A1開始按順序分析 比賽場(chǎng)次：A1必須和A2、A

7、3、A4、,An逐一比賽1場(chǎng)，共計(jì)(n-1 )場(chǎng)；A2已和A1賽過，他只需要和 A 3、A4、A5、An各賽1場(chǎng)，共計(jì)(n-2 )場(chǎng)A 3已和A1 A2賽過、他只需要和 A4、A5、A6、An、各賽1場(chǎng)，共計(jì)(n-3 )場(chǎng)。 以此類推，最后 An-1只能和An賽1場(chǎng)解：Sn= (n-1 ) + (n-2 ) +2+1=(1+n-1 ) x( n-1 )+ 2=0.5 x n (n-1)(場(chǎng))根據(jù)題意，Sn=105(場(chǎng))，則nx ( n-1 )=210,因?yàn)閚是正整數(shù)，通過試算法，可知15 x 14=210. 則n=15,即共有15個(gè)男生參加了比賽。答：有 15個(gè)男生參加了比賽。練一練： 從 1

8、 到 50 這 50 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于 50，有多少種不 同的取法？答案： 625 種例( 6) 若干人圍成 16 圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)圈人數(shù)依次少6 人，如果共有 912人，問最外圈有多少人？最內(nèi)圈有多少人？分析：從已知條件 912人圍成 16圈，一圈套一圈，從外到內(nèi)各圈依次減少 6人，也就 是告訴我們這個(gè)等差數(shù)列的和是 912，項(xiàng)數(shù)是 16，公差是 6。題目要求的是等差數(shù)列末 項(xiàng) an- a1=d (n-1)=6(16-1)=90( 人)解： an+a1=Sx 2n=912216=114(人)外圈人數(shù)=(90+114)- 2=102 (人)內(nèi)圈人數(shù)=(114-90

9、 )- 2=12 (人)答： 最外圈有 102 人，最內(nèi)圈有 12人。練一練： 若干人圍成 8 圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少 4人，如果共有 304 人，最外圈有幾人？答案： 52 人模擬測(cè)試（4 ）一、填空題（每小題5分）1、 有一串?dāng)?shù)，已知第一個(gè)數(shù)是6,而后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的數(shù)大4,這串?dāng)?shù)中第2003個(gè)數(shù)是。2、 等差數(shù)列0、3、6、9、12、45是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)。3、從2開始的連續(xù)100個(gè)偶數(shù)的和是 。4、 一個(gè)劇院共有25排座位，從第一排起，以后每排都比前一排多2個(gè)座位，第25排有70個(gè)座位，這個(gè)劇院共有 個(gè)座位。5、所有除以4余1的三位數(shù)的和是 。6、 時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)

10、敲該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘敲一下，一晝夜這個(gè)時(shí)鐘一共敲 下。7、 一個(gè)五層書架共放了600本書，已知下面一層都比上面一層多10本書。最上面一層放本書，最下面一層放 本書。8、 從200到500之間能被7整除的各數(shù)之和是 。9、在1949、1950、1951、1987、1988、這40個(gè)自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多。10、 有一列數(shù)：1、2002、2001、1、2000、1999、1、從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)中大數(shù)減去小數(shù)的差，從第一個(gè)數(shù)開始到第2002個(gè)數(shù)為止這2002個(gè)數(shù)的和二、簡(jiǎn)答題（每小題10分）1、有10只盒子，54個(gè)乒乓球，能不能把 54個(gè)乒乓球放進(jìn)盒子中去，使各盒

11、子的乒乓球數(shù) 不相等？2、 小明家住在一條胡同里，胡同里的門牌號(hào)從1號(hào)開始摸著排下去。小明將全胡同的門牌 號(hào)數(shù)進(jìn)行口算求和， 結(jié)果誤把1看成10,得到錯(cuò)誤的結(jié)果為114,那么實(shí)際上全胡同有多少 家？3、 有一堆粗細(xì)均勻的圓木，堆成如下圖的形狀，最上面一層有7根園木，每面下層增加 1 根，最下面一層有 95根，問：這堆圓木一共有多少根？4、有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，如下圖，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算做第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn), 第三層每邊有三個(gè)點(diǎn) 這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共100層，問，這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？5、X+Y+Z=1993有多少組正整數(shù)解?模擬測(cè)試( 4 ) 解答一、填空題1、80146+4 X( 2003

12、-1 )=6+4X 2002=80142、16(45-0 )- 3+1=45 - 3+1=163 、 10100末項(xiàng) =2+( 100+1 )X 2=200和=(2+200)X 100-2=101004. 1150a1=70-(25-1) X 2=22( 個(gè))總座位數(shù)：(22+70 )X 25 - 2=1150 (個(gè))5 、123525所有除以4余1的三位數(shù)為：101、105、109、997。項(xiàng)數(shù)：(997-101 )- 4+1=225和：(101+997)X 225- 2=1235256 、 180(1+12)X12+1 X 24=13X 12+24=180(下)7、 100、 140中間一

13、層本數(shù)：600 - 5=120(本)最上面一層：12-10 X 2=100(本)最下面一層：120+1X 2=140(本)8 、 15050構(gòu)成等差數(shù)列為：203、210、497。項(xiàng)數(shù)=(497-203 )- 7+ 仁43 數(shù)列和 = (203+497) X 43 2=150509、20(1950+1988)X 20- 2- ( 1949+1987)X 20 - 2=3938 X 20- 2 -3936 X 20 - 2=39380-39360=2010個(gè)數(shù)分其余的數(shù)是在原數(shù)列中，以數(shù) 1為標(biāo)志，把三個(gè)數(shù)看成一組， 2002 - 3=6671,其中 為 667組，有

14、667個(gè) 1，因?yàn)橛嘞碌囊粋€(gè)數(shù)恰為 1，則2002個(gè)數(shù)中有 668個(gè)1 2002 則 669 有 1334 個(gè)數(shù)。668 X 1+ (2002+669 )X 1334 - 2=668+1781557=1782225二、簡(jiǎn)答題1、解： 答：題中要求辦不到。2、解：誤把 1 看成 10，錯(cuò)誤結(jié)果比正確結(jié)果多 10-1=9 ，那么正確結(jié)果為 114-9=105 ，即全 胡同門牌號(hào)組成的數(shù)列求和為 105設(shè)全胡同有n家，此數(shù)列為1、2、3、n。數(shù)列求和：(1+n)x n + 2=105(1+n)x n=210將 210 分解：210=2X 3X 5X 7=14X15則 n 為 14答：全胡同實(shí)際有 14 家。3、解：7+95=102 （根）95-7+1=89（層）102X 89 - 2=4539 （根）答：這堆圓木一共有4539 根。4、解：第 100 層有點(diǎn)：6+（99-1 ）X6=6+98X6=6X 99=594（個(gè)）點(diǎn)陣只有點(diǎn)： 1+（ 6+594）99 -2=1+600X 99 - 2=29701（個(gè)）答：這個(gè)點(diǎn)陣共有點(diǎn)29701 個(gè)。5、解：當(dāng) X=199