完整版因式分解競賽題含答案

1、因式分解12、導(dǎo)入:有兩個人相約到山上去尋找精美的石頭，甲背了滿滿的一筐，乙的筐里只有一個他認(rèn)為是最精美的石 頭。甲就笑乙：“你為什么只挑一個??？”乙說：“漂亮的石頭雖然多，但我只選一個最精美的就夠了?！奔仔Χ徽Z，下山的路上，甲感到負(fù)擔(dān)越來越重，最后不得已不斷地從一筐的石頭中挑一個最差的扔下， 到下山的時候他的筐里結(jié)果只剩下一個石頭！啟示：人生中會有許多的東西，值得留戀，有的時候你應(yīng)該學(xué)會去放棄。二、知識點(diǎn)回顧：1運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如:2 2a -b=(a+b)(a -b);099(2) a 2ab+b =(a b

2、);(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);(4) a 3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).下面再補(bǔ)充幾個常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3.3 32.22(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 為正整數(shù)；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 為偶數(shù)；n nn-1n-2n-32n-2n-1r(9)

3、 a +b =(a+b)(a -a b+a b-ab +b )，其中 n 為奇數(shù).運(yùn)用公式法分解因式時，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.三、專題講解例1分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2n-1 n+4333(1) -2x y +4x y -2x y ；(2)x -8y -z -6xyz;解(1)原式=-2xn-1yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x 2n-y2)=-2xn-1yn(x n-y)2(xn+y)2. 原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)(

4、 -Z)2 2 2=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式.分析我們已經(jīng)知道公式3 3223(a+b) =a +3a b+3ab +b的正確性，現(xiàn)將此公式變形為3.3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b).這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo).I ” ，33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc=:(a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c -3ab(a+b+c)2 2 2=(a+b+c

5、)(a +b +c -ab-bc-ca).說明公式(6)是一個應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為3.3 3a +b +c -3abc=Cab-f-c? + 2cx-1-1)(K4 + l)(KJ 打說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用. .拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時，整理、化簡常將幾個同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或 將兩個僅符號相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.在對某些多項(xiàng)式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵 -)= 3+卄c) I (a b) UJ+ Cc-a 133333

6、3333顯然，當(dāng) a+b+c=0 時，貝U a +b +c =3abc ;當(dāng) a+b+c 0 時，貝U a +b +c -3abc 0,即卩 a +b +c 3 abc, 而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.如果令 x=a 0, y=b 0, z=c 0,則有等號成立的充要條件是x=y=z .這也是一個常用的結(jié)論.變式練習(xí)1 分解因式： X15+X14+X13+x2+x+1 .分析 這個多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)X15開始，x的次數(shù)順次遞減至 0,由此想到應(yīng)用公式an-bn來分解.解因?yàn)?61514132八x -1=(x -1)(x +x +x + x +x+1),所以u士 (1-

7、】)儀” +? +汕+七丿卄 +1)-1原丸門TT十+(* + 1)広_1消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.例3分解因式：x3-9x+ 8.分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧.解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+93=(x -1)-9x+92=(x-1)(x +x+1)-9(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x .原式=x3-x-8x+8/3=(x -x)+

8、( -8x+8)=x(x+1)(x -1)-8(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3.3 3原式=9x -8x -9x+83 3=(9x -9x)+( -8x +8)=9x(x+1)(x -1)-8(x-1)(x 2+x+1)2=(x-1)(x +x-8).解法4添加兩項(xiàng)-x2+x2.3原式=x -9x+8322=x -x +x -9x+82=x (x-1)+(x -8)(x -1)2=(x-1)(x +x-8).說明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)

9、法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種.變式練習(xí)1分解因式：963(1) x +x+x-3;2 2(2) (m -1)(n -1)+4mn；4 224(x+1)+(x -1) +(x-1)；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-1-1 .963原式=x +x +x -1-1-1,963=(x -1)+(x -1)+(x -1)“ 363 八 “33“、z3=(x -1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x -1)z 3=(x -1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3).將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n 2

10、-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m-n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(m n +2mn +1)-(m -2mn+n)2 2=(mn+1) -(m-n) =(mn+mn +1)( mn-m+n+1).(3) 將(x2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1) 4+2(x2-1)2-(x 2-1)2+(x -1)4=:(x+1) 4+2(x+1) 2(x -1)2+(x-1)4-(x2-1)22 2 2 2 2=(x+1) +(x-1) -(x -1)2 2 2 2 2 2=(2x +2) -(x -1) =(3x +1)(x +3).(4) 添加兩項(xiàng)+

11、ab-ab.3 3原式=a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b +1)2=a(a -b) : b(a+b)+1+(ab+b+1)2=a(a -b)+1(ab+b +1)2 2=(a -ab+1)(b +ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式.這道題目使我們 體會到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn).3 .換元法換

12、元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來 運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰.例 4 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2) -12.分析 將原式展開，是關(guān)于 x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難.我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了.解設(shè)x2+x=y，則2原式=(y+1)(y+2) -12=y +3y-102 2=(y -2)(y+5)=(x+x-2)(x +x+5)2=(x-1)(x+2)(x+x+5).說明 本題也可將x=(x+2)(x+4)(x+5x+8).說明 由本題可知，用換元法

13、分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式.1.雙十字相乘法2 2分解二次三項(xiàng)式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項(xiàng)式(ax +bxy+cy +dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 .我們將上式按x降幕排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變 形為2 22x -(5+7y)x-(22y-35y+3),可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.對于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為+x+1看作一個整體，比如今x2+x+仁

14、U, 樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試.例5分解因式：2 2(x +3x+2)(4x +8x+3)-90.分析 先將兩個括號內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合.解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-902 2=(2x +5x+3)(2x +5x+2)-90.2令 y=2x +5x+2，則原式=y(y+1) -90=y2+y-90=(y+i0)(y -9)2 2=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)2=(2x +5x+12)(2x+7)(x -1).說明對多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ).變

15、式練習(xí)1.分解因式：2 2 2(x +4x+8)2+3x(x +4x+8)+2x .解設(shè) x2+4x+8=y，則2 2原式=y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)2 2=(x +6x+8)(x +5x+8)2即：-22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以，原式=:x+(2y-3)C片3 ):2x+(-11y+1):=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關(guān)系式：2 2(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y ;(x

16、-3)(2x+1)=2x 2 2(4) 6x - 7xy-3y -xz+7yz-2z .解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).-5x-3 ;2(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3 .這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對多項(xiàng)式ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2) 把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.例1分解因式：2 2(1) x -3xy-10y

17、+x+9y-2 ;2 2(2) x -y +5x+3y+4;2(3) xy+y +x-y-2 ;原式=(x+y+1)(x-y+4).(3) 原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來分解.原式=(y+l)(x+y-2).(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似.2求根法我們把形如anxn+an-ixn-1 +aix+ao(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x),g(x)，等記號表示，女口f(x)=x 2-3x+2 , g(x)=x 5+x2+6,，當(dāng)x=a時，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項(xiàng)式f(x)2f(1

18、)=1-3 X 1+2=0;f(-2)=(-2)2-3 X (-2)+2=12 .若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個根.定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個因式x-a . 根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根.對于任意多項(xiàng)式f(x)要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項(xiàng)式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根.若 裁對駐 冬整承數(shù)多/式p的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù).特別地，當(dāng)a=1時，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù).我們根

19、據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4 .分析 這是一個整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗(yàn)-4的約數(shù)：土 1 , 2, 4,只有f(2)=2 3-4 X 22+6X 2-4=0 ,即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式 x-2 .解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2)3 22原式=(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4)2=x (x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2).解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以所以原式=(x-2)(x 2-2x+2

20、).說明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不定是多項(xiàng)式的根.因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.變式練習(xí)1.分解因式：9x4-3x 3+7x2-3x-2 .分析 因?yàn)?的約數(shù)有土 1，土 3, 9; -2的約數(shù)有土 1,2.所師式的諄連根艮可詭是12 士：. 士亍=士和 擇檢盤 只孫-;和*是轉(zhuǎn)式的胳 所4原式有園總和庖因?yàn)?所以，原式有因式 9x2-3x-2 .4 32解 9x -3x +7x -3x-2=9x4-3x 3-2x 2+9x2-3x-2 =x2(9x3-3x-2)+9x 2-3x-22 2=(9x -3x-2)(x+1

21、)2=(3x+1)(3x-2)(x+1)說明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式1 2一江一9可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程.總之，對一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)而g(x)是比f(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進(jìn)行分解了.3 .待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.在因式分解時，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示

22、待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng) 式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù) 的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.2 2例 3 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3 .分析由于2 2(x +3xy+2y )=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x + y + n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問題得到解決.解設(shè)2 2x +3xy+2y +4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)2 2=x +3xy+2y +(m+n)x+(m+2n)y+mn ,比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有+ r 二4,mmmn =3,解之得m=3 n=1.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學(xué)們自己解一下.變式練習(xí)4 321.分解因式：x -2x -27x -44x+7