【人教版】九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《銳角三角函數(shù)》單元小結(jié)與復(fù)習(xí)學(xué)案

1、銳角三角函數(shù)單元小結(jié)與復(fù)習(xí)知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)知識(shí)1 直角三角形的邊角關(guān)系 ：在 Rt ABC中， A+B=90， a 2+b2=c2，sinA=cosB=a ， cosA=sinB=b ，cctanA=cotB=a ， cosA=tanB=b ba2 互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系：如 A+B=90，那么 sinA=cosB ，cosA=sinB 3 同角三角函數(shù)間的關(guān)系：sin2A+cos2A=1， tanA cotA=1 ， tanA= sin A ,cot Acos A cos Asin A4 特殊角的三角函數(shù)三角函數(shù)030 456090sin01123222cos11023 222tan013不存

2、在32cot 不存在31033解直角三角形的基本類(lèi)型解直角三角形的基本類(lèi)型及其解法如下表：類(lèi)型已知條件解法兩邊兩直角邊 a、 bc=a2b2， tanA=a ， B=90 - Ab一直角邊 a，斜邊 cb=c22， sinA=a， B=90 - Aaca一邊一銳角一直角邊 a，銳角 A B=90 - A， b=a cotA ，c=sin A斜邊 c，銳角 A B=90 - A， a=c sinA ，b=c cosA解直角三角形注意點(diǎn)1 盡量使用原始數(shù)據(jù)，使計(jì)算更加準(zhǔn)確2 有的問(wèn)題不能直接利用直角三角形內(nèi)部關(guān)系解題， ?但可以添加合適的輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題3 一些較復(fù)雜的解直角三角形的

3、問(wèn)題可以通過(guò)列方程或方程組的方法解題4 解直角三角形的方法可概括為“有弦（斜邊）用弦（正弦、余弦），無(wú)弦有切（正切、余切），寧乘毋除，取原避中”其意指：當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，可用正弦或余弦；無(wú)斜邊時(shí)，就用正切或余切；當(dāng)所求元素既可用乘法又可用除法時(shí)，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時(shí)，則取原始數(shù)據(jù)，忌用中間數(shù)據(jù)5 必要時(shí)按照要求畫(huà)出圖形， 注明已知和所求， ?然后研究它們置于哪個(gè)直角三角形中，應(yīng)當(dāng)選用什么關(guān)系式來(lái)進(jìn)行計(jì)算6 要把添加輔助線(xiàn)的過(guò)程準(zhǔn)確地寫(xiě)在解題過(guò)程之中7解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)、?周長(zhǎng)、面積等），一般將非基本元素轉(zhuǎn)化為基

4、本元素，或轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系式，再通過(guò)解方程組來(lái)解應(yīng)用題解題步驟度量工具、工程建筑、測(cè)量距離等方面應(yīng)用題的解題步驟可概括為如下幾步：第一步，審清題意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距離、垂直距離、水平等概念的意義第二步， 構(gòu)造出要求解的直角三角形， 對(duì)于非直角三角形的圖形可作適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）第三步，選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)便，不易出錯(cuò)第四步， 按照題目中已知數(shù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算， 并按照題目要求的精確度確定答案及注明單位思想方法總結(jié)1轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想貫穿于本章的始終例如， 利用三角函數(shù)定義可以實(shí)現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)化，利用互余兩角三角函數(shù)關(guān)系

5、可以實(shí)現(xiàn)“正”與“余”的互化；利用同角三角函數(shù)關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)“異名”三角函數(shù)之間的互化此外，利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題2數(shù)形結(jié)合思想本章從概念的引出到公式的推導(dǎo)及直角三角形的解法和應(yīng)用， 無(wú)一不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法 例如，在解直角三角形的問(wèn)題時(shí)， 常常先畫(huà)出圖形， 使已知元素和未知元素更直觀，有助于問(wèn)題的順利解決3 函數(shù)思想銳角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函數(shù)，其中都蘊(yùn)含著函數(shù)的思想例如，任意銳角 a 與它的正弦值是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系也就是說(shuō)， 對(duì)于銳角a 任意確定的一個(gè)度數(shù)，sina都有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于sina在（ 01）之間任意確定

6、的一個(gè)值，銳角a 都有惟一確定的一個(gè)度數(shù)與之對(duì)應(yīng)4方程思想在解直角三角形時(shí)， 若某個(gè)元素?zé)o法直接求出， 往往設(shè)未知數(shù)， 根據(jù)三角形中的邊角關(guān)系列出方程，通過(guò)解方程求出所求的元素中考新題型例1 計(jì)算：（ 1）sin 230-cos45 tan60 （ 2）13tan 2 30 2 (sin 45 1)221分析：把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可解：（ 1） sin30 -cos45 tan60 = 1-2 3 = 1-64242（ 2）原式 =2 +1-3 （3） 2+2(21)2= 2 +1-1+2 （ 1-2 ）=2322說(shuō)明： 熟記 30、 45、 60角的三角函數(shù)值，是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵

7、，?這類(lèi)題也是中考考查的重點(diǎn)，在選擇題和填空題中出現(xiàn)的更多例 2如右圖，已知纜車(chē)行駛線(xiàn)與水平線(xiàn)間的夾角 =30， =45 ?小明乘纜車(chē)上山，從A到 B，再?gòu)?B 到 D 都走了 200米（即 AB=BD=200米）， ?請(qǐng)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計(jì)算纜車(chē)垂直上升的距離（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)，以下數(shù)據(jù)供選用：sin47 0.7314 ， cos47? 0.6820 ， tan47 1.0724 ）分析：纜車(chē)垂直上升的距離分成兩段：BC與 DF分別在 Rt ABC和 Rt DBF?中求出 BC與 DF，兩者之和即為所求解：在 Rt ABC中， AB=200米， BAC=30， BC=AB sin =200sin30 =100（米）在 Rt BDF中， BD=200米， DBF= 47， DF=BD sin =200 sin47 200 0.7314=146.28 （米） BC+DF=100+146.28=246.28（米