高考數(shù)學(xué)數(shù)列專題

1、 等差數(shù)列1等差數(shù)列的定義： d（d為常數(shù)）2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： ana1 d anam d3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：sn 4等差中項(xiàng)：如果a、b、c成等差數(shù)列，則b叫做a與c的等差中項(xiàng)，即b 5數(shù)列an是等差數(shù)列的兩個(gè)充要條件是： 數(shù)列an的通項(xiàng)公式可寫成anpnq(p, qr) 數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式可寫成snan2bn (a, br)6等差數(shù)列an的兩個(gè)重要性質(zhì)： m, n, p, qn*，若mnpq，則 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，s2nsn，s3ns2n成 數(shù)列第3課時(shí) 等比數(shù)列1等比數(shù)列的定義：q（q為不等于零的常數(shù)）2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： ana1qn1 anamqnm 3等比數(shù)

2、列的前n項(xiàng)和公式： sn 4等比中項(xiàng)：如果a，b，c成等比數(shù)列，那么b叫做a與c的等比中項(xiàng)，即b2 或b( ）5等比數(shù)列an的幾個(gè)重要性質(zhì)： m，n，p，qn*，若mnpq，則 sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和且sn0，則sn，s2nsn，s3ns2n成 數(shù)列 若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足sn是等差數(shù)列，則an的公比q 數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法一、觀察法 即歸納推理，一般用于解決選擇、填空題。過程：觀察概括、推廣猜出一般性結(jié)論。例1、數(shù)列的前四項(xiàng)為：11、102、1003、10004、，則_。分析：即二、公式法，即已知數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)。例2、已知數(shù)列前n項(xiàng)和滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)

3、時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以：三、遞推公式1、累差法遞推式為：an+1=an+f(n) (f(n)可求和)思路：:令n=1,2,n-1可得 a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)an-an-1=f(n-1)將這個(gè)式子累加起來可得an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1)f(n)可求和an=a1+f(1)+f(2)+ +f(n-1)當(dāng)然我們還要驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí),a1是否滿足上式可能要用到的一些公式： 例3、已知數(shù)列a中,a1=1,an+1=an+2,求an解： 令n=1,2,n-1可得 a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23an-an-1=2n-1將這個(gè)式子累加起來可得an-a1

4、=f(1)+f(2)+f(n-1)f(n)可求和an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1) 當(dāng)n=1時(shí),a1適合上式 故an=2n-12、累商法遞推式為：an+1=f(n)an（f(n)要可求積）思路：令n=1,2, ,n-1可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)將這個(gè)式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) f(n-1) f(n)可求積 an=a1f(1)f(2) f(n-1)當(dāng)然我們還要驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，a1是否適合上式例4、在數(shù)列an中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an解： 令n=1,2, ,n-1可得 a2/a1

5、=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)將這個(gè)式子相乘后可得an/a1=2/13/24/3n/(n-1)即an=2n當(dāng)n=1時(shí)，an也適合上式an=2n3、構(gòu)造法（1）、遞推關(guān)系式為an+1=pan+q (p,q為常數(shù))思路：設(shè)遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)構(gòu)造數(shù)列bn,bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,bn為等比數(shù)列.故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an例5、數(shù)列an中,對(duì)于n1(

6、nn)有an=2an-1+3,求an解： 設(shè)遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3 故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3) 構(gòu)造數(shù)列bn,bn=an+3 bn=2bn-1即bn/bn-1=2,bn為等比數(shù)列且公比為3 bn=bn-13,bn=an+3 bn=43n-1 an+3=43n-1,an=43n-1-1（2）、遞推式為an+1=pan+qn (p,q為常數(shù))思路：在an+1=pan+qn兩邊同時(shí)除以qn+1得 an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q構(gòu)造數(shù)列bn,bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上類型的解法得到bn

7、=f(n)再將代入上式即可得an例6、數(shù)列an中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時(shí)除以(1/2)n+1得 2n+1an+1=(2/3)2nan+1構(gòu)造數(shù)列bn,bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上類型解法解得bn=3-2(2/3)n2nan=3-2(2/3)nan=3(1/2)n-2(1/3)n（3）、遞推式為：an+2=pan+1+qan （p,q為常數(shù)）思路：設(shè)an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則

8、可得到x+y=p,xy= -q解得x,y，于是bn就是公比為y的等比數(shù)列（其中bn=an+1-xan）這樣就轉(zhuǎn)化為前面講過的類型了例7、已知數(shù)列an中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)an+1+(1/3)an,求an解：設(shè)an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3構(gòu)造數(shù)列bn，bn=an+1-an故數(shù)列bn是公比為-1/3的等比數(shù)列即bn=b1(-1/3)n-1 b1=a2-a1=2-1=1 bn=(-1/3)n-1 an+1-an=(-1/3)n-1故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/41-(-1/3)n-1(nn*)四、求解方程法若數(shù)列滿足方程時(shí)，可通過解方程的思想方法求得通項(xiàng)。例8、已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：五、用不完全歸納法猜想,用數(shù)學(xué)歸納法證明. 思路:由已知條件先求出數(shù)列前幾項(xiàng)，由此歸納猜想出an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明例9、已知數(shù)列an中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊2，右邊2，左邊右邊