SARS傳染病模型

1、SARS的傳播模型石坤 張貽初 王竹青 摘 要本文在傳統(tǒng)的傳染病SIR模型的基礎(chǔ)上，通過對問題的分析，建立了SARS傳播的微分方程模型，即：，其中表示時(shí)刻的SARS病人數(shù)， 表示時(shí)刻的傳播率，表示表示時(shí)刻的治愈率，表示表示時(shí)刻的死亡率。本文用、三個(gè)參數(shù)較好地描述了SARS的傳播過程。通過采集北京6月份以前的數(shù)據(jù)，結(jié)合各個(gè)參數(shù)代表的實(shí)際意義，對他們分別進(jìn)行指數(shù)或拋物線的回歸分析，得到了、的表達(dá)式，較好地刻劃了SARS的傳播規(guī)律，并對疫情作出了預(yù)測。與附件模型相比，本模型的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：1、模型采用的是北京本地前期的數(shù)據(jù)，排除了地區(qū)差異帶來的影響；2、通過回歸分析的方法使離散的點(diǎn)連續(xù)化；3、用微分方

2、程描述SARS的傳播問題更加準(zhǔn)確。本文利用Matlab和Mathematica兩個(gè)數(shù)學(xué)軟件，對復(fù)雜的微分方程進(jìn)行了求解。僅用6月以前的數(shù)據(jù)，就得到了SARS病人數(shù)目隨時(shí)間變化的曲線預(yù)測圖。預(yù)測了在6月10日左右疫情將得到緩解，在7月中旬將基本消除。經(jīng)檢驗(yàn)，我們的預(yù)測與實(shí)際情況是相吻合的。文中調(diào)整、來對模型的結(jié)果進(jìn)行控制，畫出提前5天和推后5天進(jìn)行隔離時(shí)病人數(shù)和時(shí)間的曲線，其結(jié)果與實(shí)際情況是相符的?？傊疚慕⒌奈⒎址匠棠Ｐ湍軌蜉^好地對SARS的傳播過程進(jìn)行預(yù)測，并為政府部門提供決策依據(jù)，具有一定的普遍適用性。在分析SARS對經(jīng)濟(jì)的某一方面影響時(shí)，我們選擇了受SARS沖擊較大的旅游業(yè)，以北京每月

3、海外旅游的人數(shù)作為考察的對象?？紤]到疫情對旅游人數(shù)的影響，本文建立了衰減模型，其中體現(xiàn)了往年旅游人數(shù)的規(guī)律，而則是衰減因子，用來衡量SARS對經(jīng)濟(jì)的影響大小的程度（稱為災(zāi)難系數(shù)）。很顯然在SARS被控制甚至被消除后，將呈遞減趨勢，并隨著時(shí)間的增加逐漸趨近于0，為此本文用函數(shù)對進(jìn)行回歸分析，得到衰減模型的解。經(jīng)過圖像分析，預(yù)測出在6月份時(shí)海外旅游人數(shù)僅為正常情況下的75%，而10月份海外旅游人數(shù)將恢復(fù)到原來的98，年末將完全恢復(fù)。在建模的過程中，本文采用的圖表多達(dá)13個(gè)，通過大量的分析對比，對數(shù)據(jù)進(jìn)行了很有效的整理，為模型提供了有力的支持。一、問題的提出SARS是二十一世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播

4、的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大的影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。附件一所給的模型是在5月8號以前的北京疫情數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上、按香港和廣東的數(shù)據(jù)得出參數(shù)，對北京地區(qū)的疫情進(jìn)行分析和預(yù)測的。題目要求：(1)根據(jù)北京市疫情的數(shù)據(jù)對其進(jìn)行分析，評價(jià)附件一所給模型的合理性和實(shí)用性。(2)要求我們建立自己的模型，說明怎樣才能建立一個(gè)預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，分析它比所給模型更優(yōu)越，并對衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論對疫情傳播所造成的影響進(jìn)行估計(jì)。(3)根據(jù)SARS對經(jīng)濟(jì)

5、的影響的參考數(shù)據(jù)，建立一個(gè)SARS對經(jīng)濟(jì)的影響模型。(4)給報(bào)刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。二、附件1的模型評價(jià)附件1的模型采用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走勢。在此基礎(chǔ)上，加入了每個(gè)病人可以傳染他人的期限（由于被嚴(yán)格的隔離、治愈、死亡等），并考慮在不同階段社會條件下傳染概率的變化，然后先分析香港和廣東的情況以獲取比較合理的參數(shù)，最后初步預(yù)測北京的疫情走勢?？偟膩碚f，這種分析問題的方式是可取的，因?yàn)樗芨鶕?jù)香港和廣東的參數(shù)較為合理地預(yù)測北京的疫情的走勢，但又存在較多的缺陷。具體的評價(jià)如下：（一）優(yōu)點(diǎn)：1該模型的最大特點(diǎn)是引入了兩個(gè)重要的參數(shù)：每人每天的傳染率k和傳染

6、周期L，這是一種比較方便有效的方法。在前期數(shù)據(jù)擬合的基礎(chǔ)上通過一定的假設(shè)處理(如在十天內(nèi)對K的調(diào)整等)對兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行控制。2模型解得的結(jié)果對SARS傳播的前期預(yù)測效果較好，在整體上也較為合理，能夠基本預(yù)測其大致的發(fā)展趨勢。3根據(jù)所得的結(jié)果進(jìn)行簡單的病情預(yù)測，為醫(yī)療部門的決策提供了參考建議。（二）缺點(diǎn)：1模型為：，是初始病例數(shù)，是天數(shù)，為平均每個(gè)病人每天可傳染的人數(shù)。模型并沒有考慮病人的死亡和治愈情況，即退出傳染系統(tǒng)的人并沒有考慮在內(nèi)。2該模型采取的是對香港與廣東的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出參數(shù)K的值作為北京的模型參數(shù)，這對預(yù)測北京的疫情是不合適的。第一，北京市政府采取了比香港、廣東地區(qū)更為得力的措施

7、，如嚴(yán)格執(zhí)行隔離措施、對人口流動(dòng)較快的地方實(shí)行封閉管理、加大衛(wèi)生宣傳力度等第二，北京市與香港、廣東地區(qū)的氣候、環(huán)境、人口流動(dòng)情況不同，如廣東、香港經(jīng)濟(jì)較為發(fā)達(dá)，外來人口打工的較多，屬于外貿(mào)的中心地帶，氣溫相對較高，而北京則不同。這兩點(diǎn)直接影響到已感染者的傳染率和病毒的傳染周期，也就是說，不管是用香港的或是用廣東的參數(shù)來作為北京的參數(shù)都是不合理的。3K值的假設(shè)上存在問題。在控制前，SARS接近于自然傳播時(shí)的傳播模式，此時(shí)K值可以看作一個(gè)常量，這是合理的。而把過渡期設(shè)為10天，且在10天之內(nèi)僅用三個(gè)離散的K值進(jìn)行過渡,過渡期之后,又將K值看作一個(gè)大于0的常數(shù),這一系列的處理都是很不科學(xué)的假設(shè)。我們

8、通過北京實(shí)際的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得到40個(gè)K值，可以看到過渡期大于10天而且是連續(xù)變化的過程，K到最后實(shí)際是趨近于0的（見圖2）。（三）模型檢驗(yàn)：我們把5月8號以后公布的實(shí)際數(shù)據(jù)(圖中藍(lán)點(diǎn)所示)與他所做的北京日增病例走勢分析進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)SARS疫情發(fā)展的趨勢大體上與預(yù)測曲線是相一致，但下降得更陡峭一些（見圖1）。圖1這是由于在后階段，模型中的K是大于0的常數(shù)，而實(shí)際情況是趨近于0的(見圖2)，這就意味著實(shí)際傳播中的后期由于多方面的原因，傳染率已經(jīng)被控制得很小了。圖2以上就是我們對附件1做出的評價(jià)。F ：通過對附件一中模型的多方面分析，我們對SARS疫情的傳播有了進(jìn)一步的認(rèn)識，為了克服附件模型中

9、的諸多不足，更準(zhǔn)確地預(yù)測SARS的傳播趨勢，更有效地提供預(yù)防控制信息，我們建立了SARS傳播的更一般的微分方程模型：三、模型的假設(shè)（一）模型假設(shè):1將SARS所有可能的傳播途徑都視為與病源的直接接觸。2在模型的建立中所采用的數(shù)據(jù)都是根據(jù)衛(wèi)生部所公布的數(shù)據(jù)，假設(shè)這些數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。3我們把整個(gè)人群看作由兩個(gè)系統(tǒng)組成，傳染系統(tǒng)和非傳染系統(tǒng)。傳染系統(tǒng)完全由活著的SARS病人組成，且只有活著的SARS病人才具有傳染能力，該病人一旦治愈或一旦死亡我們就看作其退出傳染系統(tǒng)。所有的非SARS病人組成非傳染系統(tǒng)，其中每個(gè)成員都有可能被傳染成為SARS患者。4非傳染系統(tǒng)的成員一旦受傳染就立即進(jìn)入傳染系統(tǒng)（不考慮潛

10、伏期），并被確診通報(bào)。5在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)不會出現(xiàn)治療SARS的特效藥。（二）符號規(guī)定1、 ：在時(shí)刻，具有傳染能力的SARS病人；2、 ：第n天, 具有傳染能力的SARS病人;3、 ：在t時(shí)刻的傳染率，即在單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)病人傳染的人數(shù)；4、 ：第n天的傳染率，即在這一天平均每個(gè)病人傳染的人數(shù)；5、 ：在時(shí)刻，被治愈出院的病人數(shù)；6、 ：第n天，被治愈出院的病人數(shù)；7、 ：在時(shí)刻的治愈率，即；8、 ：時(shí)刻的死亡人數(shù)；9、 ：第n天的死亡人數(shù)；10、 ：在時(shí)刻的死亡率，即；11、 ：時(shí)刻退出傳染系統(tǒng)的人數(shù)（包括時(shí)刻死亡人數(shù)和治愈人數(shù)）,即：；12、 ：在時(shí)刻的退出率，即；四、模型的建立與求解在S

11、ARS爆發(fā)的初期, 由于潛伏期的存在, 社會對SARS病毒的傳播速度和危害程度認(rèn)識不夠, 所以政府和公眾并不以為然; 當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)被感染者不斷增加、死亡人數(shù)不斷增多時(shí), 政府開始采取多種措施以控制SARS的進(jìn)一步蔓延.所以SARS的傳播可以分為三個(gè)階段:（1）、控制前的自然傳播模式階段。（2）、過渡期階段，即公眾開始意識到SARS的嚴(yán)重性到政府采取隔離措施前的一段時(shí)期內(nèi)。（3）、控制階段，即政府采取隔離治療措施階段。但是, 不管SARS傳播處于哪個(gè)階段，影響傳播最本質(zhì)的因素是: 自由傳染者的數(shù)量, 傳播的概率及病毒本身的傳播能力(用和來衡量)等。所以我們不分階段進(jìn)行考慮。第天的病人是在第天的基礎(chǔ)

12、上加上新增的病人，減去退出傳染系統(tǒng)的病人，即： 移項(xiàng)得 （1）經(jīng)過轉(zhuǎn)換，得取微分得到下面連續(xù)的方程 即： 由此得到SARS的傳播模型為：這和傳染病SIR模型的形式是相統(tǒng)一的。其中、等參數(shù)可以為我們提供所需要的信息。我們只要能夠知道、的表達(dá)式，便可以求解微分方程得到。我們根據(jù)北京地區(qū)6月1號以前的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，預(yù)測、以后的走勢曲線，從而實(shí)現(xiàn)對的預(yù)測。1、 對于我們根據(jù)北京市疫情的數(shù)據(jù)，根據(jù)（1）式對 進(jìn)行描點(diǎn)，得到一些值的散點(diǎn)圖。隨著時(shí)間的推移，隔離措施、醫(yī)療保障、公眾健康意識的加強(qiáng)，值應(yīng)該急劇減小，并趨近于0。因此對散點(diǎn)進(jìn)行指數(shù)回歸分析（利用Matlab軟件），便可得到關(guān)于時(shí)間的連續(xù)函數(shù)（附件

13、一模型中的值是離散的）（圖3）。圖3從圖中可以看出，由前40個(gè)點(diǎn)擬合出的指數(shù)函數(shù)與后期的數(shù)據(jù)是吻合的。根據(jù)新增死亡病例和新增治愈病例的數(shù)據(jù)，也可以得到和的散點(diǎn)圖。2、 對于隨著醫(yī)療水平的提高以及對SARS病毒研究的深入，死亡率將逐漸減少，我們對的散點(diǎn)圖進(jìn)行指數(shù)回歸分析，即得（如圖4）圖43、 對于在SARS疫情蔓延的初期，傳染系統(tǒng)的人數(shù)較少，由于人們對SARS病毒的了解不多，防危意識不強(qiáng)，導(dǎo)致疫情的爆發(fā)，傳染系統(tǒng)的人數(shù)急劇增加，治愈率呈現(xiàn)降低的趨勢；隨著政府的干預(yù)，人們防危意識的增強(qiáng)，治愈率開始增加。整體顯示出拋物線的特性，我們對它進(jìn)行二階回歸分析得到如下結(jié)果（圖5）： 圖5 n 由于實(shí)際數(shù)據(jù)

14、有很大的隨機(jī)性，在回歸分析中，我們很難找到準(zhǔn)確的函數(shù)來描述相應(yīng)參數(shù)的變化趨勢，只能從整體上來預(yù)測。這是我們遇到的最大的困難。將得到的、代入微分方程，得我們利用Mathematica的微分方程數(shù)值求解命令，求得的數(shù)值解，并畫出隨著時(shí)間變化的曲線（圖6）： 圖6X軸的起始坐標(biāo)是4月20號，Y軸表示人數(shù) 五、模型結(jié)果的分析和檢驗(yàn)我們建立的微分方程模型具有一定的普遍適用性，針對北京地區(qū)而言，我們從以下幾個(gè)方面對模型的結(jié)果進(jìn)行分析：1)對模型本身的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)2)與附件模型進(jìn)行比較3)模型參數(shù)的評價(jià)4)模型的缺點(diǎn)(一) 結(jié)果檢驗(yàn)：a與實(shí)際情況作對比圖進(jìn)行分析圖7說明：X軸的起始坐標(biāo)是4月20號，Y軸表示

15、人數(shù) ，綠色曲線表示我們在六月初得到的預(yù)測曲線；離散點(diǎn)表示實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)由預(yù)測圖線可以看出： 病情在5月13號左右達(dá)到“高潮期”，即圖中曲線上升最快到開始平緩的過渡時(shí)期； 疫情大約在6月10號之后開始緩解。； 感染系統(tǒng)大概在x=81時(shí)將降到0，因此，我們預(yù)計(jì)北京的SARS疫情將在7月份中旬得到基本的消除，即疫情的“最終控制期”；實(shí)際情況是： 病情在5月17號達(dá)到最高峰，比模型中的結(jié)果晚到四天，誤差較小。值得注意的是，我們所要預(yù)測的是6月以后的發(fā)展趨勢，因此這里產(chǎn)生的誤差對預(yù)測不會造成太大影響。 疫情大約在6月13號之后開始緩解； 由圖上可以看出，在6月之后，預(yù)測曲線和實(shí)際離散點(diǎn)是非常接近的； 通

16、過在網(wǎng)上查閱資料，可以知道在7月15日全國僅有15人SARS病人接受治療，可以認(rèn)為疫情已經(jīng)基本消除，和預(yù)測模型的結(jié)果相吻合。由以上對比我們知道，建立的微分方程模型較完整地刻劃了SARS病人數(shù)隨時(shí)間變化的趨勢，較好地解決了非典疫情的預(yù)測問題。b靈敏度分析根據(jù)對SIR模型的分析知，治愈率的倒數(shù)為平均傳染周期，我們假設(shè)一旦進(jìn)行嚴(yán)格隔離，則傳染周期將減小。設(shè)提前天進(jìn)行嚴(yán)格隔離，則原模型修改為：當(dāng)時(shí)，分別代入相應(yīng)的參數(shù)求解得到兩條曲線，與時(shí)進(jìn)行比較，得到下圖：圖8說明：藍(lán)色曲線表示提前5天進(jìn)行隔離；紅色曲線表示延后5天進(jìn)行隔離由圖上可以看出按照我們提出的模型，提前采取嚴(yán)格的隔離措施l 能夠大大縮短傳染病

17、的持續(xù)時(shí)間（大約能提前20天）；l 能提前進(jìn)入疫情控制期；l 能對疫情進(jìn)行有效地控制，這和實(shí)際情況也是完全吻合的。除了及時(shí)采取隔離措施以外，其他能夠縮短平均傳染周期的措施都能夠有效地提高治愈率。如：對抗病毒藥物的研究，建立緊急防疫機(jī)制，提高醫(yī)療軟、硬件水平等。通過以上兩個(gè)方面的分析，我們認(rèn)為我們的模型在刻劃SARS病毒的傳播方面具有較強(qiáng)的針對性，可為預(yù)防和控制SARS疫情提供可靠、足夠信息。(二) 與附件1的模型進(jìn)行比較a我們在模型建立的過程中，充分考慮到治愈和死亡這兩因素對SARS病人數(shù)的的影響，引進(jìn)了治愈率和死亡率，使模型更加貼近實(shí)際。b在數(shù)據(jù)有限的情況下，我們沒有用外地的來預(yù)測北京的疫情

18、發(fā)展趨勢，而是根據(jù)分析參數(shù)應(yīng)有的變化規(guī)律，對數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)回歸分析，建立了關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式。這樣就消除了地區(qū)差異帶來的影響c正是由于我們找到了關(guān)于時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，因此比附件模型中所采用的離散調(diào)整法要準(zhǔn)確得多。我們的模型較好地解決了附件1的模型所存在的問題，并保留了其優(yōu)點(diǎn)，對預(yù)防和控制SARS病毒的傳播具有較好的參考價(jià)值。(三) 模型參數(shù)的評價(jià)在這里我們對模型中的做一些討論作的實(shí)際散點(diǎn)圖如下：圖9由于所以， ，畫出其曲線得到如下圖圖10比較圖9和圖10，可以看出，盡管我們沒有對進(jìn)行回歸分析，但根據(jù)已求得的關(guān)系式，仍然可以如實(shí)地反映實(shí)際數(shù)據(jù)的變化情況。這說明模型是合理的。比較圖5和圖10，還可以

19、看出退出率的曲線和治愈率的曲線極其接近，這說明，在影響退出率的程度上，治愈率較之死亡率是占主導(dǎo)方面的，這說明在這場與SARS的斗爭中，我們必將取得最終的勝利！(四)模型的缺點(diǎn)l 模型的假設(shè)沒有考慮潛伏期的因素，而SARS的潛伏期一般為兩周，這是影響模型準(zhǔn)確性的一個(gè)方面；l 沒有考慮人員流通程度對疫情發(fā)展趨勢的影響。七、SARS對北京旅游業(yè)的影響（一）、問題提出突如其來的SARS，給我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展產(chǎn)生了不小的沖擊。但是我們應(yīng)當(dāng)看到SARS對經(jīng)濟(jì)的各方面的影響是不同的，比如，醫(yī)療、電信在SARS期間獲利明顯，而旅游、餐飲業(yè)遭受重創(chuàng)。我們選取海外游客來京旅游作為研究對象，分析SARS對其造成的影響,

20、并作出合理的預(yù)測。分析參考數(shù)據(jù)，從1997到2002年，每年北京市接待海外旅游人數(shù)的分布在時(shí)間上基本呈同一趨勢，而且逐年穩(wěn)步上升。2003年1至3月基本上也是按這一趨勢發(fā)展，但由于遭受SARS的影響，從4 月份以后旅游人數(shù)急劇下滑，直到SARS得到控制之后，才有所回升，我們的任務(wù)就是定量地刻劃SARS疫情對旅游業(yè)的影響，并預(yù)測后八月份以后海外來京旅游人數(shù)。（二）、模型假設(shè)1、 通過數(shù)據(jù)分析知，在2月份的同期比較中發(fā)現(xiàn)2000年的接待人數(shù)比1999年翻了一番，數(shù)值增長異常，不符合實(shí)際。故我們上網(wǎng)查資料，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的確有誤，故而更新數(shù)據(jù)，得到一組新的統(tǒng)計(jì)表1：北京市接待海外旅游的人數(shù)(單位:萬人)年

21、1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月979.411.316.819.820.318.824.924.924.724.319.418.6989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.99910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.50011.412.2819.625.927.624.323.027.827.328.532.818.50111.512.0120.426.128.928.025.230.828.728.122.220.70213.715.9923.128.929.0

22、27.426.032.231.432.6029.222.90315.417.123.511.61.782.618.816.2 表1其中紅色的數(shù)據(jù)為修正后的數(shù)據(jù)，我們假設(shè)修正后的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。2、 通過查閱網(wǎng)站資料，旅游業(yè)是受非典打擊最大的行業(yè)。因此我們認(rèn)為，海外來京旅游人員的數(shù)量僅受SARS因素的影響。也就是說，如果沒有遭受SARS的影響，2003年接待海外的游客人數(shù)按往年的趨勢發(fā)展。3、 符號約定 ：在沒有SARS的情況下，預(yù)計(jì)第個(gè)月北京接待海外旅客的人數(shù)，； ：在有SARS的情況下，通過模型求解，得到的今年第個(gè)月北京接待海外旅客的人數(shù)（），其中前8個(gè)月北京實(shí)際接待海外旅客的人數(shù)用表示，后4

23、個(gè)月預(yù)測的人數(shù)用表示； ：年分（1997年為第一年份，記1，次往后推，則今年7）； ：用來衡量疫情對第個(gè)月北京接待海外旅客人數(shù)的響程度（三）、模型建立與求解在2003年，如果沒有遭受SARS的影響，那么每個(gè)月接待游客的人數(shù)就會按照往年同期增長趨勢增長，我們假設(shè)每個(gè)月的人數(shù)逐年是線性相關(guān)的，即，那么我們對前6年12個(gè)月的人數(shù)分別進(jìn)行線性回歸分析，得到一組，通過這組值預(yù)測2003年各月份在沒有SARS影響情況下接待的旅游人數(shù)。得到的是一個(gè)散點(diǎn)圖，然后對其進(jìn)行插值連成光滑的曲線，如圖11 圖11 此圖就是2003年在沒有遭受SARS的影響的情況下，我們預(yù)測的形勢圖。由于2003年遭受了SARS的影響

24、，這樣我們引進(jìn)衰減因子，建立了如下的模型： （2）式中，即為沒有遭受SARS時(shí)的情況，我們稱為衰減因子。可以看到，當(dāng)比較大時(shí)，越小，對的衰減就越大，因此我們不妨稱為災(zāi)難系數(shù)?？梢灶A(yù)見的是，在SARS疫情被控制和消除以后，將會隨著的增長不斷趨近于0，這樣經(jīng)過一段時(shí)間之后，旅游人數(shù)便能恢復(fù)到應(yīng)有水平。我們要預(yù)測的是9到12月份的旅游人數(shù)，根據(jù)SARS的實(shí)際情況我們知道，非典已經(jīng)消除，因此我們可以認(rèn)為是一個(gè)關(guān)于的衰減函數(shù)。我們用6、7、8月的和，根據(jù)（2）式得到3個(gè)樣本，并用一個(gè)衰減函數(shù)對樣本進(jìn)行非線性的回歸分析，最后得到的結(jié)果是利用上式進(jìn)行預(yù)測2003年在遭受SARS影響之后的發(fā)展趨勢，如圖12

25、圖12 說明：其中黑色曲線為實(shí)際值，紅色曲線為預(yù)測值SARS對2003年北京接待海外游客的影響。在圖13中可以反映出來。圖13 我們將求解過程中的參數(shù)制成下表（如表2）1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月0.810.681.411.972.242.210.821.741.531.461.841.088.0910.3214.0516.6916.5515.0320.2521.3721.7922.8718.0915.0613.815.0723.8730.0532.2130.5326.0133.5732.4733.07 31.022.6415.417.123.511.61.782.6

26、18.816.224.128.528.821.80.740.860.920.960.980.991.00 表2 （四）、模型結(jié)果的分析和檢驗(yàn)觀察表2和圖13，可以看出，1、在沒有發(fā)生疫情的1月和2月，實(shí)際的接待數(shù)量和按沒有SARS影響情況下的預(yù)測數(shù)量是相當(dāng)吻合的；2、在疫情的高峰期，接待海外旅游的業(yè)務(wù)幾乎癱瘓3、預(yù)計(jì)在疫情消失之后，接待海外游客數(shù)量將上升，到年底可以恢復(fù)到正常水平。八、短文建立傳染病模型的重要性從“霍亂、天花”的肆虐全球，到“艾滋病”的險(xiǎn)惡傳播。傳染病一直是人們心中的最痛！建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)測和控制傳染病的發(fā)展趨勢，一直是各

27、國專家和官員關(guān)注的問題！盡管SARS離我們遠(yuǎn)去，但它留在我們心中的陰影始終揮之不去。在這場與SARS的斗爭中，數(shù)學(xué)工作者通過建立各種預(yù)測監(jiān)控模型來描述其傳播發(fā)展趨勢，為決策部門提供了有效的依據(jù)。建立的SARS模型對疫情的預(yù)測與控制具有極其重要的作用。通過模型預(yù)測疫情發(fā)展的不同階段，可以有針對性地為醫(yī)療部門提出意見；也可以調(diào)整模型中的若干參數(shù)進(jìn)行疫情模擬，為疫情控制部門提供有效的決策。模型中相關(guān)參數(shù)的衡量直接與治愈率、隔離措施、公眾的健康意識等相關(guān)聯(lián)。如果醫(yī)務(wù)水平高、隔離措施得力、公眾的健康意識強(qiáng)，就可以減小疾病的蔓延。這些都可以用模型來進(jìn)行模擬和解釋。因此，通過建立SARS傳播的數(shù)學(xué)模型，就可以為預(yù)防和控制疾病提供一些具體的建議：1、強(qiáng)化確診病例和疑似病人的醫(yī)治和隔離。在傳播期間，控制傳染源是相當(dāng)必要的，所以一定要堅(jiān)持不懈地抓好對他們的治療和管理。2、提高醫(yī)務(wù)人員的醫(yī)療水平，特別是建立治療此種疾病的專門