高三文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項強化訓(xùn)練(五)圓錐曲線的綜合問題

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。專項強化訓(xùn)練(五)圓錐曲線的綜合問題1.已知直線l:y=x+1,圓o:x2+y2=,直線l被圓截得的弦長與橢圓c: =1(ab0)的短軸長相等,橢圓的離心率e=.(1)求橢圓c的方程.(2)過點的直線l0交橢圓于a,b兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點t,使得無論l0如何轉(zhuǎn)動,以ab為直徑的圓恒過定點t?若存在,求出點t的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解題提示】(1)利用弦長公式及離心率公式求出a,b的值,從而求得橢圓c的方程.(2)先根據(jù)直線l0的斜率不存在及斜率

2、為0的情況確定t的坐標(biāo),然后再證明以ab為直徑的圓恒過定點t即可.【解析】(1)由題意知,圓o的半徑r=,圓o(0,0)到直線y=x+1的距離d=,則直線l被圓截得的弦長為,依題意2=2b,b=1.又橢圓的離心率,所以橢圓c的方程為+y2=1.(2)假設(shè)存在定點t(x0,y0),設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2).當(dāng)直線l0的斜率不存在時,易知a(0,1),b(0,-1),則圓的方程為x2+y2=1.當(dāng)直線l0的斜率為0時,直線l0的方程為y=-,代入橢圓方程可得即圓的方程為易知t(0,1).下面證明,當(dāng)直線l0的斜率存在且不為0時,t(0,1)也符合.設(shè)直線l0的方程為y=kx

3、-,聯(lián)立消去y得(2k2+1)x2-=0.則.此時,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),即當(dāng)直線l0的斜率存在且不為0時,以ab為直徑的圓恒過點t(0,1).綜上所述,存在定點t,其坐標(biāo)為(0,1).【加固訓(xùn)練】已知橢圓c: =1(ab0)的左,右焦點分別為f1,f2,a為上頂點,af1f2為正三角形,以af2為直徑的圓與直線y=x+2相切.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過點f2作斜率為k的直線l與橢圓交于m,n兩點,在x軸上是否存在點p(m,0),使得=+時四邊形pmqn為菱形,且點q在橢圓c上?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.【解析】(1)由已知af1f2為正三角形,由a

4、(0,b),f2(c,0),得af2的中點,點b到直線y=x+2的距離為解得a2=4,b2=3,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.(2)由(1)可知f2(1,0),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1).聯(lián)立方程,得整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=,則y1+y2=k(x1+x2-2)=,又=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),所以=+=(x1+x2-2m,y1+y2)得5k4+16k2+12=0,因為5k4+16k2+120恒成立,故滿足條件的點p(m,0)不存在.2.過x軸上動點a(a,0)引拋物線y=x2+

5、1的兩條切線ap,aq.切線斜率分別為k1和k2,切點分別為p,q.(1)求證:k1k2為定值,并且直線pq過定點.(2)記s為面積,當(dāng)最小時,求的值.【解析】(1)方法一:設(shè)過a點的直線為:y=k(x-a),與拋物線聯(lián)立得得x2-kx+ka+1=0,=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1k2=-4為定值.拋物線方程y=x2+1,求導(dǎo)得y=2x,設(shè)切點p,q的坐標(biāo)分別為(xp,yp),(xq,yq),k1=2xp,k2=2xq,所以xp+xq=2a,xpxq=-1.直線pq的方程:y-yp=(x-xp),由yp=+1,yq=+1,得到y(tǒng)=(xp+xq)x-xpxq+1,整理可得y=

6、2xa+2,所以直線pq過定點(0,2).方法二:設(shè)切點p,q的坐標(biāo)分別為(xp,yp),(xq,yq),求導(dǎo)得y=2x,所以lap:y=2xp(x-a),(xp,yp)在直線上,即yp=2xp(xp-a),由p(xp,yp)在拋物線方程上得yp=+1,整理可得yp=2xpa+2,同理yq=2xqa+2,所以lqp:y=2xa+2,所以直線pq過定點(0,2).聯(lián)立pq的直線方程lqp:y=2xa+2和拋物線方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以xpxq=-1,xp+xq=2a,所以k1k2=2xp2xq=-4為定值.(2)設(shè)a到pq的距離為d.當(dāng)且僅當(dāng)t=時取等號,即a=.因為=

7、(xp-a,yp)(xq-a,yq)=xpxq-a(xp+xq)+a2+ypyq,ypyq=(2xpa+2)(2xqa+2)=4a2xpxq+4+4a(xp+xq)=4a2+4,所以=3a2+3=.3.(2015鄭州模擬)已知兩點a(-2,0)和b(2,0),直線am,bm相交于點m,且這兩條直線的斜率之積為-.(1)求點m的軌跡方程.(2)記點m的軌跡為曲線c,曲線c上在第一象限的點p的橫坐標(biāo)為1,直線pe,pf與圓(x-1)2+y2=r2（0rb0)經(jīng)過點,離心率為.(1)求橢圓c的方程.(2)直線y=k(x-1)(k0)與橢圓c交于a,b兩點,點m是橢圓c的右頂點,直線am與直線bm分別

8、與y軸交于點p,q,試問以線段pq為直徑的圓是否過x軸上的定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,說明理由.【解析】(1)由題意得解得a=2,b=1.所以橢圓c的方程是+y2=1.(2)以線段pq為直徑的圓過x軸上的定點,由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則有又因為點m是橢圓c的右頂點,所以點m(2,0),由題意可知直線am的方程為y=(x-2),故點.直線bm的方程為y=(x-2),故點q若以線段pq為直徑的圓過x軸上的定點n(x0,0),則等價于=0恒成立,又因為(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4y1y2=k(x1-1)

9、k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1即x軸上的定點為(,0)或(-,0).故以線段pq為直徑的圓過x軸上的定點(,0).5.(2014平頂山模擬)已知橢圓e:+=1(ab0)的離心率為,過其右焦點f2作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于a,b兩點,與拋物線y2=4x交于c,d兩點,且=.(1)求橢圓e的方程.(2)若過點m(2,0)的直線與橢圓e相交于g,h兩點,設(shè)p為橢圓e上一點,且滿足+=(t0,o為坐標(biāo)原點),當(dāng)|-|時,求實數(shù)t的取值范圍.【解析】(1)因為直線l過右焦點f2且與x軸垂直,所以|ab|=,|cd|=4.又橢圓e的離心率為,且=,故橢圓e的方程為:+=1.(2)由

10、題意知直線gh的斜率不為零.設(shè)直線gh的方程為:x=my+2.聯(lián)立+=1與x=my+2,消去x得:(m2+2)y2+4my-28=0.設(shè)p(x,y),g(x1,y1),h(x2,y2),則y1+y2=-,y1y2=-,x1+x2=m(y1+y2)+4=.因為+=,所以p(,-).因為p點在橢圓上,所以將p點坐標(biāo)代入橢圓方程得t2=.因為|-|,所以|gh|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y214m4+11m2-250,所以0m2b0)的左、右焦點,p是橢圓e上的點,以f1p為直徑的圓經(jīng)過f2,=a2.直線l經(jīng)過f1,與橢圓e交于a,b兩點,f2與a,b兩點

11、構(gòu)成abf2.(1)求橢圓e的離心率.(2)設(shè)f1pf2的周長為2+,求abf2的面積s的最大值.【解析】(1)因為f1,f2分別是橢圓e的左、右焦點,p是橢圓e上的點,以f1p為直徑的圓經(jīng)過f2,所以pf2x軸.所以|pf2|=.又=a2,所以|pf2|2=a2,即=a,所以a2=4b2,即a2=4(a2-c2),化簡得3a2=4c2,所以=,所以橢圓e的離心率等于.(2)因為f1pf2的周長為2+,所以2a+2c=2+.所以b2=,所以橢圓e的方程為x2+4y2=1.當(dāng)直線l的斜率不存在時,abf2的面積s=2c=.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)為k,由f2與a,b兩點構(gòu)成abf2得到k0.由已知得直線l的方程為y=k(x+),即2kx-2y+k=0,所以f2(,0)到直線l的距離d=.得(1+4k2)x2+4k2x+3k2-1=0,所以|ab|=.當(dāng)且僅當(dāng)k2=時等號成立.又,所以abf2的面積s的最大值等于.【加固訓(xùn)練】如圖,已知橢圓c: =1(ab0)的左、右焦點分別為f1,f2,其上頂點為a.已知f1af2是邊長為2的正三角形.(1)求橢圓c的方程.(2)過點q(-4,0)任作一動直線l交橢圓c于m,n兩點,記=.若在線段mn上取一點r,使得=-,當(dāng)直線l運動時,點r在某一定直線上運動,求出該定直線的方程.【解析】(1)因為f1af2是邊長為2的正三角形,所以