【高中數(shù)學(xué)教材高考審題答題】三角函數(shù)與解三角形熱點(diǎn)問題

1、2244 2核心熱點(diǎn)三角函數(shù)真題印證核心素養(yǎng)2018 全國，10；2018 全國，8；2018 全國 ，6； 直觀想象、的圖象與2017 浙江，17；2017 山東，16；2017 全國，14邏輯推理性質(zhì)三角恒等2018 浙江，18；2018 江蘇，16；2018 全國，15；2018 全 邏輯推理、變換國，4；2017 全國，15；2016 全國，14數(shù)學(xué)運(yùn)算2018 全國，17；2018 全國，6，2017 全國，17； 邏輯推理、解三角形2018 北京，15；2018 天津，15；2016 全國，17數(shù)學(xué)運(yùn)算教材鏈接高考三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教材探究(必修 4p147 復(fù)習(xí)參考題 a 組第

2、 9 題、第 10 題)題目 9已知函數(shù) y(sin xcos x) 2cos x.(1) 求函數(shù)的遞減區(qū)間；(2) 求函數(shù)的最大值和最小值.題目 10已知函數(shù) f(x)cos x2sin xcos xsin x.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 當(dāng) x0， 時(shí)，求 f(x)的最小值及取得最小值時(shí) x 的集合. 試題評析 兩個(gè)題目主要涉及三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，題目求解的關(guān)鍵在于運(yùn)用二倍角公式及兩角和公式化為 yasin(x)k 的形式，然后利用 三角函數(shù)的性質(zhì)求解. 23 4 42 3 32 22 3223 21212 4 4121212 4 4 412 44 12 3 626

3、【教材拓展】 已知函數(shù) f(x)4tan xsinxcosx 3. (1) 求 f(x)的定義域與最小正周期；(2) 討論 f(x)在區(qū)間 ， 上的單調(diào)性. 解 (1)f(x)的定義域?yàn)閤|x k，kz，f(x)4tan xcos xcosx 3 4sin xcosx 3 1 3 4sin xcos x sin x 3 2sin xcos x2 3sin x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x . 2所以 f(x)的最小正周期 t . (2)由 2k2x 2k(kz)， 5得 kx k(kz). 5設(shè) a ， ，bx kx k，kz ，易知 ab ， . 所以當(dāng) x ， 時(shí)，f(x)

4、在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 ， 上 單調(diào)遞減.探究提高1.將 f(x)變形為 f(x)2sin 2x 是求解的關(guān)鍵，(1)利用商數(shù)關(guān)系統(tǒng)一 函數(shù)名稱；(2)活用和、差、倍角公式化成一復(fù)角的三角函數(shù) .2.把“x”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求 yasin(x)b 的單調(diào)性 及奇偶性、最值、對稱性等問題. 【鏈接高考】 (2017 山東卷)設(shè)函數(shù) f(x)sinx sinx ，其中 0 3，已知 f0.(1)求 ； 34 44 x sinx ， 622 22 22 2366 3 3 4 312 3 24 43 31212 34222(2)將函數(shù) yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的

5、2 倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) yg(x)的圖象，求 g(x)在 ， 上的最 小值.解 (1)因?yàn)?f(x)sin 3 1所以 f(x) sin x cos xcos x3 3 1 3 sin x cos x 3sin x cos x 3sinx . 由題設(shè)知 f0， 所以 k(kz)，故 6k2(kz).又 03，所以 2.(2)由(1)得 f(x) 3sin2x ， 所以 g(x) 3sinx 3sinx . 因?yàn)?x ， ，所以 x ， ， 3當(dāng) x ，即 x 時(shí)，g(x)取得最小值 .教你如何審題三角恒等變換、三角函數(shù)與平面向量【例題】 (2019 鄭州

6、質(zhì)檢 )已知向量 m (2sin x ，cos x sin x) ，n( 3cos x，1)，其中 0，xr.若函數(shù) f(x)m n 的最小正周期為 .(1)求 的值； (2)在abc 中，若 f(b)2，bc 3，sin b 3sin a，求ba bc的值.審題路線262| | 6 663sin a 223366 .自主解答解(1)f(x) m n 2 3sin xcos x cosx sin2x 3sin 2x cos 2 x 2sin2x . 2因?yàn)?f(x)的最小正周期為 ，所以 t . 又 0，所以 1.(2)由(1)知 f(x)2sin2x . 設(shè)abc 中角 a，b，c 所對的邊

7、分別是 a，b，c.因?yàn)?f(b)2，所以 2sin 2b 2， 2 即 sin2b 1，由于 0b，解得 b . 因?yàn)?bc 3，即 a 3，又 sin b 3sin a， 所以 b 3a，故 b3.3 3 1由正弦定理，有 ，解得 sin a .sin 由于 0a ，解得 a .所以 c ，所以 ca 3. 所以ba bccacos b 3 3cos2 33 2探究提高1.破解平面向量與 “三角 ”相交匯題的常用方法是 “化簡轉(zhuǎn)化法 ”，即先活用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對三角函數(shù)進(jìn)行巧 “ 化簡 ” ；然后把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為“對應(yīng)坐

8、標(biāo)乘積之間的關(guān)系”；再活用正、余弦定理，對三角形的邊、角進(jìn)行互 2336363 3 733 3 333222化.2.這種問題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識將條件 “脫去向量外衣 ”，轉(zhuǎn)化為三角 函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解.【嘗試訓(xùn)練】已知函數(shù) f(x)a b，其中 a(2cos x， 3sin 2x)，b(cos x，1)， xr.(1) 求函數(shù) yf( x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2) 在abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，f(a)1，a 7，且向 量 m (3，sin b)與 n(2，sin c)共線，求邊長 b 和 c 的值.解(1)f(x)2 cos x 3sin 2x1cos

9、2x 3sin 2x12cos2x ， 令 2k2x 2k(kz)， 解得 k xk (kz)， 函數(shù) yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k ，k (kz). (2)f(a)12cos2a 1， cos2a 1，又 2a ， 2a ，即 a .a 7，由余弦定理得 a2b2c2bccos a(bc)3bc7.向量 m (3，sin b)與 n(2，sin c)共線，2sin b3sin c，由正弦定理得 2b3c，由得 b3，c2.滿分答題示范解三角形【例題】(12 分)(2017 全國卷 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，a已知abc 的面積為 .3sin a(1) 求 sin

10、bsin c；(2) 若 6cos bcos c1，a3，求abc 的周長.223sin a223sin a2 2規(guī)范解答高考狀元滿分心得寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟有則給分，無則沒分，所以得1 a分點(diǎn)步驟一定要寫全，如第 (1) 問中只要寫出 acsin b 就有分，第 (2) 問中1求出 cos bcos csin bsin c 就有分.寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題1 sin a時(shí)要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問中由正弦定理得 sin csin b ；第(2)問由 余弦定理得 b c bc9. 計(jì)算正確是得分保證：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確，是得

11、滿分的根本保證，如cos225 552 2 25221bcos csin bsin c 化簡如果出現(xiàn)錯(cuò)誤，本題的第(2)問就全錯(cuò)了，不能得分. 構(gòu)建模板【規(guī)范訓(xùn)練】 (2018 全國 卷 ) 在平面四邊形 abcd 中， adc 90 ， a 45，ab2，bd5.(1) 求 cosadb；(2) 若 dc2 2，求 bc.解(1)在abd 中，由正弦定理得bd ab 5 2 ，即 ， sina sinadb sin 45 sinadb所以 sinadb25.由題設(shè)知，adb90 ，2 23所以 cosadb 1 .2(2)由題設(shè)及(1)知，cos bdcsinadb . 在bcd 中，由余弦

12、定理得bc bd dc 2 bd dccosbdc2258252 2 25.所以 bc5.x1.已知函數(shù) f(x)sin x2 3sin .2 3 33 3 333 332sin a sin b2 ac2 2 22bc ac 554b 5525555 5 522(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在區(qū)間0， 上的最小值. 解(1)因?yàn)?f(x)sin x 3cos x 32sinx 3， 所以 f(x)的最小正周期為 2.2 (2)因?yàn)?0x ，所以 x . 2當(dāng) x ，即 x 時(shí)，f(x)取得最小值.2 2所以 f(x)在區(qū)間0， 上的最小值為 f 3. 2.(2019 濟(jì)

13、南調(diào)研)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c.已知 asina4bsin b，ac 5(a2b2c).(1)求 cos a 的值； (2)求 sin(2ba)的值.解a b(1)由 asin a4bsin b，及 ，得 a2b.由 ac 5(a2b2c)，5b c a 5 5及余弦定理，得 cos a .2 5(2)由(1)及 a(0，)，可得 sin a ，asin a 5代入 asin a4bsin b，得 sin b .由(1)知，a 為鈍角，所以 cos b 1sin22 5b .4 3于是 sin 2b2sin bcos b ，cos 2b12sin b ，故

14、sin(2ba)sin 2bcos acos 2bsin a4 5 3 2 5 2 5 . 5 3.已知函數(shù) f(x)sin xcos x2 3sin xcos x(xr ).(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，若 f(a)2，c5，cos b 62 6 66 2 3772 7 2 7 14sin c sin a22 2 22222 7 42421cos 2x 3 1 6 1621 166 2217，求abc 中線 ad 的長.解 (1)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin2x . 2t .函數(shù) f(x)的最小正周期為 .(

15、2)由(1)知 f(x)2sin2x ， 在abc 中 f(a)2，sin2a 1， 12a ，a .又 cos b 且 b(0，)，4 3sin b ，3 1 1 4 3 5 3sin csin(ab) ，c a 5 a在abc 中，由正弦定理 ，得 ，5 3 314 27a7，bd .在abd 中，由余弦定理得，ad ab bd 2ab bdcos b7 7 1 1295 25 ，129因此abc 的中線 ad .4.(2018 湘中名校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)cos x(cos x 3sin x). (1)求 f(x)的最小值；(2)在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別是 a，b，c

16、，若 f(c)1，sabc3 3 ，c 7，求abc 的周長.解(1)f(x)cos x(cos x 3sin x)cos x 3sin xcos x sin 2x sin2x . 2 2 2 當(dāng) sin2x 1 時(shí)，f(x)取得最小值 . (2)f(c) sin2c 1，sin2c ， 6 666 6 32423222 b 223 332 2 222 224 13 5 c(0，)，2c ， ，2c ，c . 1 3 3s absin c ，ab3.abc又(ab) 2abcos 72ab，(ab) 16，即 ab4，abc4 7，故abc 的周長為 4 7.5.已知abc 中內(nèi)角 a，b，c

17、 的對邊分別為 a，b，c，向量 m (2sin b， 3)，bn(cos 2b，2cos 1)，b 為銳角且 mn.(1)求角 b 的大?。?2)如果 b2，求 sabc的最大值.解(1)mn，2sin b2cos 1 3cos 2b， sin 2b 3cos 2b，即 tan 2b 3. 又b 為銳角，2b(0，)，2 2b ，b .(2)b ，b2，由余弦定理 b a c 2accos b，得 a2cac40.又 a c 2ac，代入上式，得 ac4，故 sabc1 3 acsin b ac 3，當(dāng)且僅當(dāng) ac2 時(shí)等號成立，即 sabc的最大值為 3.6.(2019 信陽二模)已知 a，b，c 分別是abc 內(nèi)角 a，b，c 的對邊，且滿足(a bc)(sin bsin csin a)bsin c.(1) 求角 a 的大??；(2) 設(shè) a 3，s 為abc 的面積，求 s 3cos bcos c 的最大值.2 2 22 2 22bc 233sin b sin c