一元二次不等式與線性規(guī)劃基礎(chǔ)知識梳理

1、第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題教 材 面 面 觀基礎(chǔ)知識常梳理自主探究強記憶1二元一次不等式表示_(直線定邊界、選點定區(qū)域)一般地，若axbyc0，則當b0時，表示直線axbyc0的_；當b0時，表示直線axbyc0的_若axbyc0，與上述情況相反答案平面區(qū)域上方下方2線性規(guī)劃(1)約束條件、線性約束條件：變量x、y滿足的一組條件叫做對變量x、y的約束條件，如果約束條件都是_，則約束條件又稱為線性約束條件；(2)目標函數(shù)、線性目標函數(shù)：欲達到_，叫做目標函數(shù)如果這個解析式是_，則目標函數(shù)又稱為線性目標函數(shù)；(3)線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在_的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題；(4)可

2、行域：_叫做可行解，_叫做可行域；(5)最優(yōu)解：分別使目標函數(shù)取得_的解，叫做這個問題的最優(yōu)解答案(1)關(guān)于x、y的一次不等式(2)最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式關(guān)于x、y的一次解析式(3)線性約束條件下的最大值或最小值(4)滿足線性約束條件的解(x，y)由所有可行解組成的集合(5)最大值和最小值3求解線性規(guī)劃問題的基本程序是作_，畫_，解_，求_答案可行域平行線方程組最值考 點 串 串 講考點歸納與解析思維拓展與遷移1二元一次不等式表示平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式axbyc0在平面直角坐標系中表示直線axbyc0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線，表示區(qū)域不包括邊

3、界直線當我們在坐標系中畫不等式axbyc0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線(2)用二元一次不等式表示平面區(qū)域，常有一定的規(guī)律性，大致可分為以下四種情況(如圖所示)(3)關(guān)于二元一次不等式表示平面區(qū)域的幾點說明：用集合的觀點和語言分析直線和二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，能使問題更加清楚、準確、便于理解axbyc0表示的是直線axbyc0的某一側(cè)的平面區(qū)域，一定要注意不包括邊界；axbyc0表示的是直線axbyc0及直線某一側(cè)的平面區(qū)域，一定要注意包括邊界畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法特別地，當c0時，常把原點作為此特殊點畫二元一

4、次不等式組所表示的平面區(qū)域要注意尋找各個不等式所表示的平面點集的交集，即它們的平面區(qū)域的公共部分在直線l：axbyc0外任取兩點p(x1，y1)，q(x2，y2)若p、q在直線l的同一側(cè)，則ax1by1c與ax2by2c同號；若p、q在直線l異側(cè)，則ax1by1c與ax2by2c異號這個規(guī)律可概括為“同側(cè)同號，異側(cè)異號”2線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃的有關(guān)概念約束條件：由x、y的不等式(或方程)組成的不等式或等式混合組，是x，y的約束條件線性約束條件：關(guān)于x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式或等式混合組，是x，y的線性約束條件目標函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式線性目標函數(shù)：

5、目標函數(shù)為x、y的一次解析式線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)可行域：所有可行解組成的集合最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解(2)求線性目標函數(shù)在約束條件下的最值問題的求解步驟：作圖：畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l.平移：將直線l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的點的位置求值：解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值(3)關(guān)于線性規(guī)劃的幾點說明：最優(yōu)解有時唯一，有時不唯一，甚至是無窮多對于二元一次不等式組所表示的區(qū)域，如果存在使線性目標函數(shù)達到最大或最小的點

6、，那么最值一定是在該區(qū)域的頂點或邊界上達到(4)求目標函數(shù)zaxby的最值，要把z與直線yx的截距聯(lián)系起來去理解(5)線性規(guī)劃的圖解法及其應用圖解法的步驟：求可行解即可行域?qū)⒓s束條件中的每一個不等式，當作等式作出相應的直線，并確定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即為可行解(可行域)作出目標函數(shù)的等值線目標函數(shù)zaxby(a、br且a、b為常數(shù))，當z是一個指定的常數(shù)時，就表示一條直線位于這條直線上的點，具有相同的目標函數(shù)值z，因此稱之為等值線當z為參數(shù)時，就得到一組平行線，這一組平行線完全刻畫出目標函數(shù)z的變化狀態(tài)求出最終結(jié)果在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)等值線，從圖中能判定問題是

7、有唯一最優(yōu)解，或是有無窮最優(yōu)解，或是無最優(yōu)解3線性規(guī)劃的實際應用(1)在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務給定一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(2)線性規(guī)劃中的常見問題：物資調(diào)運問題 ；產(chǎn)品安排問題；合理下料問題；配方問題(3)利用線性規(guī)劃解決實際問題的一般步驟為：模型建立；模型求解； 模型應用(4)關(guān)于線性規(guī)劃的實際應用的幾點說明：解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應盡可能地準確，圖上操作盡可能規(guī)范因作圖有誤差，若圖上的最優(yōu)點并不明顯易辨，則求不出可能是最優(yōu)點的坐

8、標.典 例 對 對 碰反思例題有法寶變式遷移有技巧題型一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域例1在abc中，a(3，1)，b(1,1)，c(1,3)，寫出abc區(qū)域所表示的二元一次不等式組分析首先寫出abc三邊所在直線方程，然后再根據(jù)區(qū)域確定不等式組解析解法一：如圖，由兩點式得ab、bc、ca的直線方程并化簡為：ab：x2y10，bc：xy20，ac：2xy50.原點(0,0)不在各直線上，將原點坐標代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號可得不等式組為解法二：由ab的方程及三角形區(qū)域在ab上方，根據(jù)“同號在上”原則，得不等式x2y10.由bc的方程及三角形區(qū)域在bc下方，根據(jù)“異號在下”原則，得不等式

9、xy20.同理得2xy50，從而得不等式組點評判斷二元一次不等式組表示的平面區(qū)域可直接利用上述“同號在上，異號在下”的結(jié)論直接判斷.變式遷移1畫出不等式組表示的平面區(qū)域解析不等式x2y10表示直線x2y10右下方的點的集合；不等式x2y10表示直線x2y10上及其右上方的點的集合；不等式1|x2|3，可化為1x1或3x5，它表示夾在兩平行線x1和x1之間或在兩平行線x3和x5之間的帶狀區(qū)域，但不包括直線x1和x3上的點所以，原不等式組表示的區(qū)域如圖所示題型二線性目標函數(shù)的最值問題例2已知x，y滿足則zxy的取值范圍是_解析先畫出約束條件的可行域，如圖所示，由得b(3，3)，由得a(5,0)當z

10、為常數(shù)時，z表示直線zxy在y軸上的截距，當點(x，y)位于a點時，z取最大值，zmin505；當點(x，y)位于b點時，z取最小值；zmax3(3)6.綜上所述，目標函數(shù)z的取值范圍是5,6答案5,6點評線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界上取得，具體方法是：將表示目標函數(shù)的直線平行移動，最先(或最后)通過的區(qū)域內(nèi)的點便是最優(yōu)解特別地，當表示線性目標函數(shù)的直線與可行域的某邊重合時，其最優(yōu)解可能有無數(shù)個.變式遷移2設z2y2x4，式中x、y滿足條件求z的最大值和最小值解析作出滿足不等式組的可行域(如圖所示)作直線l：2y2xt，當l經(jīng)過點a(0,2)時，zmax222048；當l經(jīng)過點

11、b(1,1)時，zmin212144.題型三平面區(qū)域的面積問題例3在平面直角坐標系xoy中，已知平面區(qū)域a(x，y)|xy1，且x0，y0，則平面區(qū)域b(xy，xy)|(x，y)a的面積為()a2b1c. d.解析令通過畫圖不難得知不等式組對應的平面區(qū)域的面積s211.故選b.答案b點評求線性平面區(qū)域的面積可以先根據(jù)不等式組畫出相應的平面區(qū)域，再求出相應的頂點坐標，根據(jù)圖形的特點解決問題若圖形是不規(guī)則的多邊形，一般是劃分為幾個三角形分別求面積再相加在劃分時盡量多構(gòu)造直角三角形，這樣可以降低運算難度.變式遷移3求不等式|x|y|2表示的平面區(qū)域的面積解析|x|y|2可化為：或或或其平面區(qū)域如圖所

12、示面積s448.題型四利用可行域求非線性函數(shù)的最值例4已知x，y滿足條件試求z的取值范圍解析如圖所示作出約束條件所表示的平面區(qū)域abc，易求a(2,2)、b(1，)、c(，)，因為，又因為方程z(x1)2(y2)2表示的曲線為以點d(1，2)為圓心，半徑為的圓，所以觀察圖，知當圓過a點時，取得最大值5.過d作debc于e，易知kde，從而知直線de的方程為x2y30，由即點e的坐標為(2，)，顯然e在線段bc的延長線上，從而知當圓過點c時，取得最小值，故z的取值范圍為，2點評利用線性規(guī)劃思想去理解高中數(shù)學中的一些最值問題，實際上是對數(shù)形結(jié)合思想的提升，利用線性或非線性函數(shù)的幾何意義，通過作圖解

13、決最值問題，是從一個新的角度對求最值問題的理解，對于同學們最優(yōu)化思想的形成是非常有益的.變式遷移4已知x，y滿足條件且z(x1)2(y1)2在什么時候z取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？解析作出可行域如圖解方程組得a(2,1)解方程組得b(3,4)z(x1)2(y1)2的幾何意義為可行域內(nèi)的點(x，y)與點(1，1)的距離的平方，顯然當圓過a點時半徑最小，最小值為13，圓過b點時半徑最大，最大值為41.題型五可行域與斜率的最值問題例5若實數(shù)x、y滿足則的取值范圍是()a(0,2) b(0,2c(2，) d2，)解析不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的abc及其內(nèi)部(不包括邊ac)，表示

14、點(x，y)與原點o連線的斜率，當點(x，y)在b處時，有最小值2.當點(x，y)由b在區(qū)域內(nèi)向左移動時越來越大，故的取值范圍是2，)答案d變式遷移5已知x、y滿足則的取值范圍是_答案2,2解析作出可行域如圖所示，設點m(x，y)在可行域內(nèi)，定點p的坐標為(1,2)，則目標函數(shù)的值為直線pm的斜率，因為po、pa的斜率分別為2、2，由圖可得的取值范圍是2,2題型六線性規(guī)劃的實際應用例6某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，計劃每天各生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦，勞力3個；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦，勞力10個；甲產(chǎn)品每1噸利潤7萬元，乙產(chǎn)品每1噸利潤12萬元；但每天

15、用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦，勞力只有300個問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少，能使利潤總額達到最大？分析將已知數(shù)據(jù)列成表，如下表所示.產(chǎn)品/消耗量/資源甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品資源限額煤(t)94300電力(kwh)45200勞力(個)310300利潤(萬元)712解析設每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤總額為z萬元，那么作出以上不等式表示的可行域，如圖目標函數(shù)為z7x12y.作出在一組平行直線7x12yt中(t為參數(shù))經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最遠的直線此直線經(jīng)過直線4x5y200和直線3x10y300的交點a(20,24)即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20t,24t時，利潤總額最大

16、zmax7201224428(萬元).變式遷移6某工廠家具車間生產(chǎn)a、b型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成，已知木工做一張a、b型桌子分別需要1h和2h，漆工油一張a、b型桌子分別需要3h和1h；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8h和9h，而工廠造一張a、b型桌子分別獲得利潤200元和300元，試問工廠每天應生產(chǎn)a、b型桌子各多少張，才能獲得最大利潤？解析設每天生產(chǎn)a型桌子x張，b型桌子y張，則目標函數(shù)為：z2x3y，作出可行域如圖中陰影部分所示，把直線l：2x3y0向右上方平移到l的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點m，且與原點距離最大，此時z2x3y取最大值解方程組得m的坐標為(2,

17、3)每天應生產(chǎn)a型桌子2張，b型桌子3張才能獲得最大利潤.題型七線性規(guī)劃中的整數(shù)解問題例7某運輸公司有7輛載重量為6噸的a型卡車與4輛載重量為10噸的b型卡車，有9名駕駛員，在建造某高速公路中，該公司承包了每天至少搬運360噸土方的任務，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)是：a型卡車為8次而b型卡車為6次每輛卡車每天往返的成本費用情況是：a型卡車160元，b型卡車252元，試問：a型卡車與b型卡車每天各出動多少輛時公司成本費用最低分析本題考查學生的數(shù)學建模能力及數(shù)形結(jié)合能力解題時一定注意最優(yōu)解是整數(shù)解解析設每天出動的a型卡車數(shù)為x，則0x7，每天出動的b型卡車數(shù)為y，則0y4，因為每天出車的駕駛員最多

18、9名，則xy9，每天要完成搬運任務，則48x60y360，每天公司所花成本費用為z160x252y.本題即求滿足不等式組且使z160x252y取得最小值的非負整數(shù)x與y的值不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域如圖所示，其可行域為四邊形abcd區(qū)域(含邊界線段)，它的頂點是a(，4)，b(7，)，c(7,2)，d(5,4)結(jié)合圖象可知，在四邊形區(qū)域上，橫坐標與縱坐標都是非負整數(shù)的點只有p1(3,4)、p2(4,3)、p3(4,4)、p4(5,2)、p5(5,3)、d(5,4)、p6(6,2)、p7(6,3)、p8(7,1)，c(7,2)共10個點作直線l：160x252y0.將l向上方作平行移動，可

19、發(fā)現(xiàn)它與上述的10個點中最先接觸到的點是p4(5,2)，所以在點p4(5,2)處，得到的z的值最小zmin160525221304.答：當公司每天出動a型卡車5輛，b型卡車2輛時，工司的成本費用最低.變式遷移7已知x，y滿足目標函數(shù)為z3xy，求得x4，y0時，zmax12.但題中要求x、yn*，請調(diào)整一下最優(yōu)解與目標函數(shù)的最大值解析0n*，x4，y0不在可行域內(nèi)，不是最優(yōu)解在可行域內(nèi)z12時僅有x4，y0，z最大取不到12，x、yn*，z3xyn*，考慮z3xy11時取最大，而此時可行域內(nèi)有x3，y2使z11，最優(yōu)解為x3，y2，zmax11.題型八線性規(guī)劃與其它知識的綜合例8設不等式組所表

20、示的平面區(qū)域為dn，設dn內(nèi)的整點個數(shù)為an(nn*)(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記數(shù)列an的前n項和為sn，且tn，若對于一切正整數(shù)n，總有tnm，求實數(shù)m的取值范圍解析(1)由x0，nx3ny0，得0x3，x1或x2.dn內(nèi)的整點在直線x1或x2上記直線ynx3n為l，l與直線x1、x2的交點的縱坐標分別為y1、y2，則y1n3n2n，y22n3nn，an3n(nn*)(2)sn3(123n)，tn，tn1tn，當n3時，tntn1，且t11t2t3，t2，t3是數(shù)列tn的最大項，故mt2.點評本題把二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域和數(shù)列綜合在一起

21、，所考查的線性規(guī)劃知識很淺顯，也很簡單，核心部分則是考查數(shù)列的有關(guān)知識.變式遷移8已知實系數(shù)一元二次方程x2(1a)xab10的兩個實根為x1，x2，且0x11，x21，則的取值范圍是()a(1，) b(1，c(2， d(2，)答案d解析本題看似與線性規(guī)劃無關(guān)，但利用二次函數(shù)討論一元二次方程的根的取值情況后，即可得到關(guān)于a、b的約束條件，目標函數(shù)即為過原點的直線的斜率記f(x)x2(1a)xab1，依題意得如圖所示，可行域是以p(2,1)為頂點的角的內(nèi)部記原點為o(0,0)，則動直線om(m為可行域內(nèi)的點)的斜率的取值范圍是(2，)，故選d.方 法 路 路 通規(guī)律方法勤探究高考成績優(yōu)中優(yōu)1由于

22、直線axbyc0將平面分為兩個區(qū)域，將直線axbyc0上的點的坐標代入axbyc計算結(jié)果為0，直線的同一側(cè)的點的坐標代入axbyc計算結(jié)果同號，異側(cè)的點的坐標代入axbyc計算結(jié)果符號相反，故不等式axbyc0(或0)表示的區(qū)域可以用坐標原點(0,0)確定(當直線不過原點時)，或用與原點類似的點確定(當直線經(jīng)過原點時)2對于目標函數(shù)的最優(yōu)解的理解，要注意直線axbyt上的點的坐標代入目標函數(shù)zaxby的計算結(jié)果均為t，故當t取得最值也即當直線平移至極限位置時目標函數(shù)取得最優(yōu)解對于t同時也要注意其幾何意義3線性規(guī)劃的圖解法及其應用圖解法的步驟：(1)求可行解即可行域(2)作出目標函數(shù)的等值線目標

23、函數(shù)zaxby(a、br且a、b為常數(shù))，當z是一個指定的常數(shù)時，就表示一條直線，位于這條直線上的點，具有相同的目標函數(shù)值z，因此稱這條直線為等值線當z為參數(shù)時，就得到一族平行線，這一族平行線完全刻劃出目標函數(shù)z的變化狀態(tài)(3)作圖，找出可行域，并結(jié)合圖象求出最優(yōu)解，最后一定要注意檢驗，考慮最優(yōu)解是否符合實際意義4注意在作平面區(qū)域時，axbyc0和axbyc0，分別為虛線和實線5線性規(guī)劃也常和截距、斜率、距離等聯(lián)系求最值.正 誤 題 題 辨學海暗礁常提醒逐波踏浪舟更輕例設二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為m，使函數(shù)yax(a0，a1)的圖象過區(qū)域m的a的取值范圍是()a1,3 b2，c2,9

24、d，9錯解作出平面區(qū)域m如圖中陰影部分所示求得a(2,10)，c(3,8)，b(1,9)由圖可知，欲滿足條件必有a1且圖象在過a、c兩點的圖象之間當圖象過a時，a210，a，當圖象過c時，a38，a2，故a的取值范圍為2，故選b.點擊結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象知，圖象應在過b、c兩點的圖象之間，為避免錯誤，也可把圖象過a、b、c時的a值求出，再作比較得出a的范圍正解作出平面區(qū)域m同錯解求得a(2,10)，c(3,8)，b(1,9)由圖可知，欲滿足條件必有a1且圖象在過b、c兩點的圖象之間當圖象過b時，a19，a9.當圖象過c時，a38，a2.故a的取值范圍為2,9故選c.答案c知 能 層 層 練針對考點勤鉆研金榜題名不畏難1不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()a. b.c. d.答案c解