數(shù)列極限部分較難習(xí)題[教學(xué)培訓(xùn)]

1、數(shù)列極限部分書后較難的作業(yè)解答:一.( （書）第10題)證明數(shù)列 有極限證明:(一) 因?yàn)?故單減.(二) 由不等式 得 所以有 .故有下界.因此根據(jù)單調(diào)有界原理知,有極限.二.設(shè)常數(shù),證明: 收斂,且求.解:(一)假設(shè)收斂,并記由已知得遞推關(guān)系式:,令,利用,得,即解方程得 .又因?yàn)?故取.即(二)下面返證收斂.1.由顯然.歸納地設(shè),則即單增.2.再證有上界那么如何取呢?既然單增且有極限,那么就應(yīng)是的一個(gè)上界.下面仍然用歸納法證明是的上界.事實(shí)上顯然;設(shè)則故單增且有上界,因此收斂.注意:這里上界的找法似乎依賴于的極限值.為了使上述解法更符合邏輯,一般教科書往往先證(2),再求(1)的方法,不

2、過(2)中的上界的選取實(shí)際上是事先計(jì)算出的極限.當(dāng)然若為單減的,則事先計(jì)算出的極限值就是數(shù)列的一個(gè)下界了.注意:同理可將上例推廣到一般情形:設(shè)則數(shù)列收斂且其中(1)當(dāng)即或時(shí),(2)當(dāng)即或時(shí), 單增,且為上界;(3)當(dāng)即或時(shí), 單減,且以0或?yàn)橄陆? 有趣的是數(shù)列的極限與其初值并無關(guān)系.這說明在一個(gè)收斂的迭代數(shù)列中,不管數(shù)列的初值如何選取,數(shù)列總收斂到相同的極限值,這也正是迭代算法的存在價(jià)值.三.(第13題(3)設(shè),數(shù)列由下式所確定: 證明它們有公共的極限.證明:(一)由可知, 因而 顯然對(duì)于 ，又因?yàn)椋蕦?duì)于 所以 (1)因此, 單調(diào)遞增.同理:因?yàn)? (2)因此單調(diào)遞減.(二)由于因此有上界

3、,且有下界,根據(jù)單調(diào)有界原理知, 數(shù)列均有極限.(三).設(shè)對(duì)兩邊取極限,得 于是,即四.第12題設(shè)和已知實(shí)數(shù),令 (1)證明數(shù)列收斂且證明:由(1)式, ; (2) (3) (4) 上述相加,得: 故 五. (第13題(1)設(shè),證明數(shù)列收斂, 且證明:(一) 顯然(二)由對(duì)于任何的, (1) (1)式說明與同號(hào).如果與均大于0,則說明是單調(diào)增加的,且有上界3; 如果與均小于0,則說明是單調(diào)減少的,且有下界0.總之,根據(jù)單調(diào)有界原理知, 收斂.(三) 設(shè),在兩邊取極限,得 ,解之,有六. (第13題(2)設(shè)實(shí)數(shù),討論數(shù)列斂、散性.證明: (一)假設(shè)收斂,并設(shè),則由兩邊取極限,得,即,解得 因此,

4、當(dāng)時(shí), 發(fā)散;(二)當(dāng)時(shí),我們證明是收斂的.事實(shí)上,(1)顯然,且下面利用歸納法證明對(duì)于任何的,有 事實(shí)上,若假設(shè)則有 故對(duì)于任何的,有總之, 對(duì)于任何的,有 (2)因?yàn)槭秸f明與同號(hào).如果與均大于0,則說明是單調(diào)增加的,且有上界1; 如果與均小于0,則說明是單調(diào)減少的,且有下界0.總之,根據(jù)單調(diào)有界原理知, 收斂.且七. (第1題(3)、(4)求極限解:(一) 因?yàn)?(1)故 () (2)所以 ( (3)故 (4)(二)由(4)式 ,且故由夾逼準(zhǔn)則知, (4)求解:取,根據(jù)課堂上講過例26(注意到此題是用夾逼準(zhǔn)則證明的):設(shè)是實(shí)數(shù)序列, 則 ,有另解:記則 (5)又 由(3), (6)綜合(5

5、)、(6),得 因?yàn)樗?由夾逼準(zhǔn)則知,注: 上述另解中用到了結(jié)論，其證明方法如下.證明:記 則我們有 由此,得 且因此由夾逼準(zhǔn)則知, 故.八. (第292頁第2題).證明:若,則也有 證明:因?yàn)?故對(duì)于任給的,存在,使當(dāng)時(shí),有 (1) 令 (2)則 (3)又因故可取正整數(shù)使當(dāng)時(shí),恒有 (4)于是,當(dāng)時(shí),恒有即證明了, 對(duì)于任給的,存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí),恒有所以, 九. (第292頁第3題).設(shè): 證明: 證明:記,因?yàn)楣饰覀冇?這里為無窮小序列.于是, 無窮小序列也是有界序列,可設(shè) 對(duì)因?yàn)?所以無窮小序列.又因?yàn)橐捕际菬o窮小序列,所以, 十. (第292頁第6題).證明著名的施篤茲(Stolz)

6、定理:若數(shù)列滿足條件:(1)且 ;(2)有極限則也有極限且證明: 假定,由此,并注意到,知對(duì)于任給的,存在,使當(dāng)時(shí),有 (且) (1)于是,當(dāng)時(shí) (2) 都包括在之內(nèi),因?yàn)?所以(2)式中那些分?jǐn)?shù)的分母都是正數(shù),于是得 上述各式相加,得 即故當(dāng)時(shí),有 (2)另外,我們有,當(dāng)時(shí) (3)故 ,注意到故有 (4)又注意到,對(duì)于上述的,因?yàn)?所以,有故可取,使得當(dāng)有 (5)于是,當(dāng)時(shí),有因此,依極限定義,知 十一.(頁第9題)求解:由(見課本的推導(dǎo)) (1)故注意到故 于是 十二.(頁第4題)設(shè)且.證明:若有極限,則也有極限 證明:設(shè),則其中于是 (1)記,為方便起見,又記 , 則 (2)顯然有對(duì)于任

7、意給定的;且 (3)下面證明為無窮小序列.事實(shí)上,對(duì)于，使得，只要,就有 (4)又因?yàn)閷?duì)于任何給定的有,所以對(duì)這取定的,存在,使當(dāng)時(shí),就有 ,又可取則當(dāng)時(shí)，有 (5)我們記.于是，當(dāng)時(shí)，有 故為無窮小序列.,所以, 第一章 函數(shù)的極限第二節(jié) 函數(shù)的極限一函數(shù)的極限的概念 (一)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限1.引例：觀察下述幾個(gè)函數(shù)當(dāng)無限增大時(shí)（即）的取值規(guī)律.（1）. ；（2）.（3）.（4）.大家注意到，這四個(gè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，都有明顯的取值規(guī)律：其中（1），無論+，還是，相應(yīng)的函數(shù)值都無限的接近同一常數(shù)0，這時(shí)，我們就稱當(dāng)時(shí)有極限0.記為：（要會(huì)背）.但（2）中，因?yàn)楫?dāng)+及時(shí)雖分別無限接近于常數(shù)-1和1，但在“

8、”這個(gè)總體極限過程中不能穩(wěn)定在同一常數(shù)附近，這時(shí)，仍稱不存在.如果單獨(dú)考察左、右側(cè)極限，它們卻是分別存在的，分別為-1、1.記為：這里請(qǐng)大家務(wù)必區(qū)分開來.至于（3），隨無限增大，也無限增大，的取值永不穩(wěn)定，這時(shí)，當(dāng)然不存在.但為了強(qiáng)調(diào)無限增大這一特點(diǎn)，形式地記.1的定義（1）（描述性定義：設(shè)函數(shù)當(dāng)(其中為常數(shù))時(shí)有定義，如果隨無限增大時(shí)，相應(yīng)的的值就無限地接近某一常數(shù)A，則稱當(dāng)“”時(shí)有極限A（或收斂于A）.記為：或.（2）（精確的數(shù)學(xué)定義）：設(shè)函數(shù)當(dāng)(其中為常數(shù))時(shí)有定義，如果對(duì),（無論它多?。┒迹巩?dāng)時(shí)，都有： ,則稱當(dāng)“”時(shí)有極限A（或收斂于A）.記為：或.注意：（1）.請(qǐng)大家思考一下單側(cè)

9、極限 應(yīng)如何定義？ （2）.的幾何解釋（作圖說明）：對(duì)，在平面上分別作兩條平行直線，則必存在,使當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖形總位于這兩條平行直線之間.（3）.由引例，顯然有定理1. （4）.請(qǐng)記住：例1證明：證明：對(duì)，要使由故取，則當(dāng)時(shí)，就有.依定義：.（二）當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限1.引例：觀察下述幾個(gè)函數(shù)當(dāng)時(shí)的取值規(guī)律（1）；（2）（3）.2的定義（1）（描述性的定義）設(shè)函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.如果當(dāng)無限地接近于時(shí)，相應(yīng)地的值就無限地接近某一個(gè)常數(shù)A，這時(shí)，就稱函數(shù)在點(diǎn)處有極限（或收斂于）A.記為：或.（2）（精確的數(shù)學(xué)定義）：設(shè)函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)（無論它多?。?，使當(dāng)時(shí)（即時(shí)）都有，

10、這時(shí)，就稱函數(shù)在點(diǎn)處有極限（或收斂于）A.記為：或.注意：（1）上述定義中為何要強(qiáng)調(diào)“去心鄰域”？（2）仿上述精確的數(shù)學(xué)定義，如何定義單側(cè)極限？（3）的幾何解釋：（作圖說明）：對(duì)，在平面上分別作兩條平行直線，則必存在點(diǎn)的鄰域,使這鄰域內(nèi)的全部點(diǎn)（除所對(duì)應(yīng)的函數(shù)|的圖形總位于這兩條平行直線之間. （4）顯然，有：定理2.例2證明：（其中為常數(shù)，此結(jié)論要會(huì)背）.證明：對(duì)，要使 ，只須取，則當(dāng)時(shí)，.依定義，.例3證明：（請(qǐng)大家先猜猜極限值是多少？有何想法沒有？）證明：不妨設(shè)（為何能這樣假設(shè)？）.對(duì)，要使 故取，則當(dāng)時(shí)，有 例1.討論解：因?yàn)?所以，不存在?。ù私Y(jié)論要會(huì)背）.二.函數(shù)極限的性質(zhì)注意到函

11、數(shù)極限共有六種（哪六種？）形式，本節(jié)僅就最為常用的為例講述。對(duì)其他五種形式的極限也有相應(yīng)的性質(zhì)，只不過在敘述或表現(xiàn)方式上要稍作調(diào)整.1.局部有界性定理4.如，則必，使得，當(dāng)時(shí)，有.證明：因?yàn)?，所以?duì)使當(dāng)時(shí)，2.函數(shù)極限的唯一性定理3設(shè)存在，則它的極限一定唯一.證明：（反證法）請(qǐng)同學(xué)們參考數(shù)列極限的唯一性的證法自證.3.保序性定理5.如且則使當(dāng)時(shí)，.證明：可仿定理3證之.推論1.如且使當(dāng) 時(shí)，則.證明：（反證）注意：即使，仍可能有.如：推論2.（保號(hào)性）如且（，則使 當(dāng)時(shí)，.證明：定理5中，取即可.三.函數(shù)極限的四則運(yùn)算的法則定理6.若函數(shù)均在處存在極限：則 （1）； （2）； （3）.（B （

12、4）若，且在處局部有界，則.（不證，有興趣的同學(xué)可作為課外練習(xí)自證.）例1.求.例2.求.例3.求.例4.求.例5.求.（比喻：以毒攻毒法）例6.求.例7.求.例8.求.例9.，求.例10.已知，為常數(shù)，求的值.例11.為有限常數(shù)），求的值.四函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系（Heine定理）定理7.對(duì)任何數(shù)列，且，有.（注意其中的“任何”二字）證明：設(shè)，根據(jù)函數(shù)極限的定義，即 對(duì)，使當(dāng)時(shí)，都有 (1) 對(duì)上述的，由于已知任何數(shù)列, , 所以，使當(dāng)時(shí)，就有 成立. （2）所以對(duì)，使當(dāng)時(shí)，.所以，依數(shù)列極限的定義：.（反證）假設(shè).根據(jù)函數(shù)極限的定義的否定敘述，則使對(duì)，即使，都有 成立. （*）在（*）式

13、中分別取，則，使當(dāng)，但.，則，使當(dāng)，但. ，則，使當(dāng)，但. 于是，構(gòu)造出一個(gè)數(shù)列 ，因?yàn)椋?，但,與已知條件矛盾！五.函數(shù)極限存在的判別法1.定理8.（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)（1），使當(dāng)時(shí)，；（2）.則.（注意：其他形式的夾逼準(zhǔn)則如何敘述？）例17.證明：證明：只須證明其等價(jià)結(jié)論：事實(shí)上，當(dāng)時(shí)， 所以，由夾逼準(zhǔn)則，知.所以，例18證明：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故只須證明：事實(shí)上，不妨設(shè)，則.兩邊同除以得：.又因?yàn)?所以，由由夾逼準(zhǔn)則知，所以 .例19證明：證明：（一）先證， 不妨設(shè)，總有從而，有： 因?yàn)榈状笥?的冪函數(shù)是嚴(yán)格增加的，故有： ，所以，且.所以，由夾逼準(zhǔn)則知，.（一）其次，證明： 事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，令

14、=.2定理9.（單調(diào)有界原理）若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加且有界，則極限都存在.六兩個(gè)重要極限 在前面，用夾逼準(zhǔn)則分別得到的兩個(gè)極限以后要經(jīng)常用到，故特單獨(dú)提出來，冠以“兩個(gè)重要極限”.它們是： （1）或； （2）.例20；例21；例22；例23；例24；例25；例26；例27；例28；例29；例30.注意：以上的例24至例30 的結(jié)論要會(huì)背.第一章 函數(shù)的極限第三節(jié) 無窮小與無窮大一無窮大1無窮大的概念（1）定義1（描述性的定義）如果當(dāng)或（）時(shí)，可以任意地大（即可以大于預(yù)先指定的任何很大的正數(shù)M），這時(shí)，稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無窮大，記為：.（2）.定義1的 等價(jià)定義（數(shù)學(xué)定義）：如果對(duì)（

15、無論它多大），總，使當(dāng)時(shí)，都有：，這時(shí)，稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無窮大，記為：.2幾點(diǎn)注意（1）無窮大是一個(gè)函數(shù)，而非一個(gè)很大很大的數(shù)！（2）同一個(gè)函數(shù)是否為無窮大要結(jié)合具體的極限過程.（3）只是形式記號(hào)，不是說， 存在，而恰恰相反，它是極限不存在的情形之一.（4）代表無窮大的符號(hào)不是實(shí)數(shù)，對(duì)它不能進(jìn)行任何運(yùn)算。（5）試考慮以下的極限如何定義：或？二無窮小1無窮小的概念（1）定義2（描述性的定義）：如果當(dāng)或（）時(shí)，則稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無窮小.（2）定義2的等價(jià)定義（數(shù)學(xué)定義）：如果對(duì)，使當(dāng)時(shí)（或時(shí)），有，這時(shí)稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無窮小.注意：（1）無窮小其實(shí)就是本章第一節(jié)

16、中講過的極限為0的函數(shù)而已；（2）不可把無窮小理解為很小很小的數(shù)；（3）同一函數(shù)是否無窮小還要結(jié)合具體的極限過程；（4）但是任何極限過程中的無窮小.2無窮小與有極限函數(shù)間的關(guān)系定理1.三無窮小與無窮大的關(guān)系定理2.在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮?。环粗?，如果為無窮小，而且，則為無窮大.例1.求例2.求四無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理3.設(shè)則 （1） （2） （3）有界函數(shù)乘以無窮小還是無窮小；推論：推廣：有限個(gè)無窮小之和或乘積仍為無窮小。注意：前面提到過的函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則可利用無窮小的性質(zhì)及無窮小與有極限函數(shù)間的關(guān)系證明.五無窮小的比較1定義3.設(shè)且時(shí)， （1）若則稱是的高階無窮小，計(jì)為； （2）若，則稱是與同階的無窮?。唬?）若則稱是與等價(jià)的無窮小，計(jì)為；（4）若（k