分式知識點(diǎn)及題型

1、、分式的定義:分式知識點(diǎn)及題型A一般地，如果A, B表示兩個(gè)整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。B二、與分式有關(guān)的條件 分式有意義：分母不為 0 （ B -0） 分式無意義：分母為 0（ B = 0）分式值為0:分子為0且分母不為0 （A=0B式0分式值為正或大于分式值為負(fù)或小于A0亠A0B 000:分子分母同號（0:分子分母異號（) 分式值為1 :分子分母值相等（A=B） 分式值為-1 :分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0)三、分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。AA *CA A + C字母表示： A，其中a、B、C是整式，C

2、=0。B B *CB B + C拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，A -A - A A即：B -B B -B注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意C = 0這個(gè)限制條件和隱含條件 B = 0。四、分式的約分1 定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。2 步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。3 注意：分式的分子與分母 均為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母 系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分 子分母相同因式的最低次幕。分子分母若為多項(xiàng)式，先對分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。4 最簡分式的定義：一

3、個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫做最簡分式。約分時(shí)。分子分母公因式的確定方法：1）系數(shù)取分子、分母系數(shù)的 最大公約數(shù) 作為公因式的系數(shù)2）取各個(gè)公因式的最低次幕 作為公因式的因式3）如果分子、分母是多項(xiàng)式，則應(yīng)先把分子、分母分解因式 ，然后判斷公因式.五、分式的通分1 定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依據(jù)：分式的基本性質(zhì)?。?.最簡公分母：取各分母所有因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。通分時(shí)，最簡公分母的確定方法：1 系數(shù)取各個(gè)分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)2 取各個(gè)公因式的最高次幕作為最簡公分母的因式 分式的乘

4、方：把分子、分母分別乘方。式子表示為:fa nI3丿bnaca cbdb *da , ca da 二=bdbeb c3 如果分母是多項(xiàng)式，則應(yīng)先把每個(gè)分母分解因式，然后判斷最簡公分母 六、分式的四則運(yùn)算與分式的乘方 分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為: 分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為: 分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為：=bc c c異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為： = ad beb d bd整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù)，

5、整式前面是負(fù)號，要加括號，看作是分母為1的分式,再通分。 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先乘方、再乘除、后加減，同級運(yùn)算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈活，提咼解題質(zhì)量。注意：在運(yùn)算過程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對 有無錯(cuò)誤或分析出錯(cuò)的原因。加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡分式（或整式）。七、整數(shù)指數(shù)幕 引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)幕后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正正整數(shù)幕的法則對對負(fù)整數(shù)指 數(shù)幕一樣適用。即：am nmn二 a/-nna ai =ib 丿 bna0 =1 （ a = 0）（任何不等于零的數(shù)的

6、零次幕都等于1）其中m, n均為整數(shù)。八、分式方程的解的步驟：去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產(chǎn)生增根的過程）解整式方程，得到整式方程的解。檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：如果最簡公分母為 0,則原方程無解，這個(gè)未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為 0,則是原方程的解。產(chǎn)生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡公分母后值為0。九、列分式方程一一基本步驟： 審一仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。 設(shè)一合理設(shè)未知數(shù)。 列一根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組） 解一解出方程（組）。注意檢驗(yàn) 答一答題。分式典型例題一、分式（一）從分?jǐn)?shù)到分式題型1:考查分式的定義15例：下列式子中，

7、一x + y8 a2 b9a 5a b2 23a-b2、2- 、15xy112x +1 3xy3b、-23 2x y4am6x22二x y1a中分式的個(gè)數(shù)為（)(A)2(B)3(C)4(D)5練習(xí)題：（1）下列式子中，是分式的有2 2xy亠2 2 2x yx _ x _ 2b；(4): 2:b（2 ）下列式子，哪些是分式?3a 3 y 7x x xy 1 b25 x 4 y 8 二 x-2y 45題型2:考查分式有，無意義，總有意義（1）使分式有意義：令分母工 0按解方程的方法去求解;（2）使分式無意義：令分母 =0按解方程的方法去求解；注意:(x21 工 0)1時(shí)，分式x -51分式 有意義

8、。x -1有意義;2x +1例2:分式中，當(dāng)X =2 x時(shí)，分式?jīng)]有意義時(shí),例4:時(shí)，分式x 有意義x21x， y滿足關(guān)系時(shí)，分式-無意義;x y無論x取什么數(shù)時(shí)，總是有意義的分式是（2xA.2x2 1xB.-2x 13xC.x3 1x -5D.廠x例7:使分式有意義的x的取值范圍為（C.例8:要是分式x 2沒有意義，則x的值為) A. 2B.-1 或-3C. -1D.3(X 1)(x-3)題型3:考查分式的值為零的條件使分式值為零：令分子 =0且分母工0,注意：當(dāng)分子等于 0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍土 去。例1:當(dāng)x時(shí)，分式1 2a的值為0a +1例2：當(dāng)xx

9、 _ 1時(shí)，分式的值為0X +1B.2C. -2D.以上全不對例3 :如果分式 土2的值為為零，則a的值為（） A. 2a +22X X例4 :能使分式二的值為零的所有X的值是（）X -1X2 -9例5 :要使分式 一2的值為0，貝U X的值為（x 5x+6)A.3 或-3B.3C.-3a例6 :若一 +1=0，則a是（）A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C零D.任意有理數(shù)a題型4:考查分式的值為正、負(fù)的條件4【例】（1）當(dāng)X為何值時(shí)，分式為正；8 -X（2）當(dāng)x為何值時(shí)，分式 一lx少為負(fù)；3+（x-1）2X 2（3 ）當(dāng)x為何值時(shí)，分式 -為非負(fù)數(shù).x +3二、分式的基本性質(zhì)題型1：分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用分式

10、的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變AACA A CB _B “ C C = 0B 一 B C例1 :xy 二6x( y +z)；如果5（3a成立則a的取值范圍是aaby3(y z)2y z7(3a 1)7ab21beb-c例2 :例厶：31 3a b()a()例3 :如果把分式a一2b中的a和b都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（）a +bA、擴(kuò)大10倍 B 、縮小10倍 C 、是原來的20倍 D 、不變例4 :如果把分式 衛(wèi)匚中的X，y都擴(kuò)大10倍，則分式的值（）x yA 擴(kuò)大100倍 B 擴(kuò)大10倍 C 不變 D 縮小到原來的丄10例5:如果把分式 Xy 中的x

11、和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（）x yA、擴(kuò)大2倍；B、擴(kuò)大4倍；C、不變；D縮小2倍例6 :若把分式X一3y的x、y同時(shí)縮小12倍，則分式的值（）2xA.擴(kuò)大12倍 B.縮小12倍 C.不變D.縮小6倍2倍，則下列分式的值保持不變的是（A 3xD3xCA、一B、2y2y2例7 :若x、y的值均擴(kuò)大為原來的環(huán) d、3x12y2y20.2x -0.012-x - 0.05例1:下列式子(1) x y - ； (2)匚旦x- y x-y c_aa -ba 一 cb a|x + v x v(3) 1 = -1 ； (4) L =丫 中正確的是a-b_xy x+y例8:根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式-a可變形

12、為（)a-bA -araCaBD-a - ba ba-b例9 :不改變分式的值，使分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù),例10:不改變分式的值，使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，1 -X丄2=1 X -X題型2:分式的約分及最簡分式 約分的概念：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分 分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì). 分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式. 約分的結(jié)果：最簡分式（分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式）約分主要分為兩類：第一類：分子分母是單項(xiàng)式的，主要分?jǐn)?shù)字，同字母進(jìn)行約分。第二類：分子分母是多項(xiàng)式的，把分子分母能因式分解的都要進(jìn)行

13、因式分解，再去找共同的因式約去。（）A、1 個(gè) B、2 個(gè)例2:下列約分正確的是（）6x3A、p =X ；x3=0 ；x yC、x yx2 xy2xy214x2y2例3 :下列式子正確的是（）aZ2x y=0-a yB.-a y=-1C.D.匕一 仝-d-C d丸a aaAaaD 2 .41A、B、Ca ba bXX2例4:下列運(yùn)算正確的是（)例5:下列式子正確的是（）111D 、-=2mmmb b2A.2 Ba a=0a bD0.1a -0.3b _ a - 3b0.2a b 2a b例6:化簡m 一 3m的結(jié)果是（9 _m2)A、mm + 3mB、-m 3C、mmD、m33m1 1例7:約

14、分:-4x2y.3x =1 .5x / 3x 5y2 ； 2 ，一2 -6xyx -93xyxy0.6x - y例8 :約分:a2 44xya(a b)x y2； 2 ； ； 2 a 4a 41& yb(a +b)(x-y)2ax ayx2 -16x2-9_14a2bc3x -yx2 8x 162x 621a bc2 29 -m5abx -9m 320a2bx -6x 9例9 :分式a 2a23a b4aa2 _b2 12(a-b)中，最簡分式有（）x -2A. 1個(gè) B . 2個(gè) C . 3個(gè) D . 4個(gè)題型3:分式的通分及最簡公分母通分：主要分為兩類：第一類：分母是單項(xiàng)式；第二類：分母是

15、多項(xiàng)式（要先把分母因式分解） 分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類型。三”型：指幾個(gè)分母之間沒有關(guān)系，最簡公分母就是它們的乘積例如：2 x最簡公分母就是x 2 x 2 。x 2 x 2、四”型：指其一個(gè)分母完全包括另一個(gè)分母，最簡公分母就是其一的那個(gè)分母例如:二 最簡公分母就是 x2 4 = x 2 12 J x2 -4四、六”型：指幾個(gè)分母之間有相同的因式，同時(shí)也有獨(dú)特的因式，最簡公分母要有獨(dú)特的；相同的都要有。例如:x2 x-2最簡公分母是:x x -22x x - 21 1 2例1 ：分式二一-的最簡公分母是（）2 2 m n m n m na. (m n)(m

16、2 -n2)b . (m2 _ n2)2 c2(m n) (m _ n) d例2:對分式y(tǒng)2xx3y2通分時(shí),最簡公分母是（4xya.2 4 x2y3B .12 x2 y 2c.24 xyD.12 x y2 2x - y4-xy2l的值。x2 - 2xy2y2x -xy22-3x，求 x-y的值。2 xy2x 3求值題：（1）已知：，求y 4（2）已知：x 9y = y例3:下面各分式：2 2 2x -1 x + yx 1 x +y，其中最簡分式有（）個(gè)。x x x -y x 1 x-yA. 4B.3C.2D. 11例4 :分式 c，a的最簡公分母是.a2 42a 4例5 :分式a與1的最簡公

17、分母為 b例6 :分式 2 1 2 , 2的最簡公分母為x -y x xy二、分式的運(yùn)算（一）分式的乘除題型1：分式的乘，除，乘方分式的乘法:乘法法測：ac=acbdbd分式的除法:除法法則：a .ca=d=adbdbcbc分式的乘方：求n個(gè)相同分式的積的運(yùn)算就是分式的乘方，用式子表示就是（-）n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方bn式子表示為：（？）=?（n為正整數(shù)） b bn例題：計(jì)算：（1）26x2 , -25x415x6 39y73 4416x y 56x1013125a100a計(jì)算：（3）.224a-b a b -a_22a ab ab -a(4)a2 T . a 12a 4a 4

18、 a 2計(jì)算：（5）2x2 5y 10y T *3y2 6x 21x2(6)x2 -12x 6x 9計(jì)算：（7）a2 -12a 4a 4(8)a -1 a2 -4.1a 2 a2 -2a 1 a2 -1（3）已知：1x丄，求 2x 3xy-2y 的值。 yx - 2xy _ yx求值題：（1）已知：一_ yz 求廠y罵X：的值。234xy z（2）已知：x2 + xx2 10x+25+ y 3 = 0 求的值。2xy+2y例題:計(jì)算:計(jì)算:(1)(4)=2 x + y x練習(xí)：計(jì)算（x y）2的結(jié)果是（x x + yx1化簡x -的結(jié)果是（)ayx2 x Abx2 y11D)A 2x yCy1

19、 y1B. xyC.丄D .xxy計(jì)算：（1）2x3 -8x x 2x2 4x 4 2x -4x2 -2x 12 -2x(2)廠x -1x+1(3)(a2- 1) a2a 22 -2a 1a 12a 2（二）分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分，分母不變，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，如果是單項(xiàng)式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡公分母，進(jìn) 行通分；如果是多項(xiàng)式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型，繼續(xù)通分。分類：第一類：是分式之間的加減，第二類：是整式與分式的加減。例2 :

20、2a2 3a2 -1a2-4-12x_22 =x - yx 2y y2 2 2 2x - y y - x計(jì)算:（1）亠旦m 3 m 3(2)(3)(a-b)2b2(b-a)225a b 3ab23a2b -5ab28 a2bab2例5:化簡丄+丄+丄等于13115)A.2x B.2x c.6x D.6xx 2x 3x”bca例6:+ abc2a 1a2 -4 a -2例8:3x(x-3)2x x 61廠x - 3 x 3x x2a 1 a-22 _ 2 7例 io： a a -2a -4a例 ii: a 1 a-1練習(xí)題：（1）b ab2 2a b b -a(2)14 x12(3)2 x x

21、-42 x12 2a2 _9 +3_a(4)b2(5)a例13：計(jì)算a 1的結(jié)果是（a 11 2x例14:請先化簡：2 ，然后選擇一個(gè)使原式有意義而又喜歡的數(shù)代入求值x2 x -4x1 _ 2 x例15:已知：x2亠4x 3 = 0 求2的值。x+2 x +4x+4（三）分式的混合運(yùn)算題型1 :化簡分式4.2xx2 -16x 4x 4例1:例2:x 3x2 -1x2 -2x 1x2 4x 3x -2x 2x 2)x - 2)x2 -2x2x例5:xx -1)十例6: 12 2X - y X -y2 2x 2y x 4xy 4y2y2 2x y x -2xy y丄IX2 x X2 2x +1 丿

22、 x題型2:分式求值問題:22 2x+18例1：已知x為整數(shù)，且+ 2為整數(shù)，求所有符合條件的x+3 3x x -9例2 :已知x = 2,1y=，求的值.ix + y x_y 丿2 1例3 :已知實(shí)數(shù)x滿足4x2-4x+I=O，則代數(shù)式2x+的值為2x例4 :已知實(shí)數(shù)a滿足a2+ 2a - 8=0,求丄冷一羽 1的值.a +1 a -1 a +4a +3101C.-2例5 :若x=3求4 X：的值是（）.A .- - - 1例6:已知 1=3，求代數(shù)式2x4xy2y的值x yx _2xy _ y例7:先化簡，再對a取一個(gè)合適的數(shù),代入求值_1a3a -36a 9練習(xí)題：先化簡再求值(1)J佇

23、，其中-=5.x2 -8- 16(2)a2 aba2 2ab b2,其中a=-3 ,b=2(3)a2 -12a 4a 4a=85;(4)(-2-x)X2 - 4x 4，其中x= -1(5)先化簡，再求值:3 x5x+2).其中 x=- 2.2x4x2(6)(- 2 2a -b a -2ab ba +b-b2）1,其中題型3:分式其他類型試題：例1:觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：234567根據(jù)其規(guī)律可知第n個(gè)數(shù)應(yīng)是3815243548數(shù)）例2 :1觀察下面一列分式：22 ，438，4 ，165 ，.,根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項(xiàng)是，第n項(xiàng)是-例3:1當(dāng)x=時(shí)，分式-與10-互為相反數(shù).5 - x 2 -

24、 3n為正整4ABx C例 4 :已知 2= + ，_則 A =, B =, C =x(x2 +4)-X2 +43y 十7A B例5:已知，則()(y1)(y2) y -1 y 2A . A 二-10, B =13B. A=10,B=13 C. A=10,B = -13 D. A=-10,B = -13例6:已知2x =3y，求 2-y 22丄2- y例7 :先填空后計(jì)算:111 1n 1n 2n +2 n +322y 2的值;-y1 1+1+(3 分)（本小題4分）計(jì)算:n(n 1)(n 1)(n - 2) (n 2)(n 3)(n - 2007)(n 2008)解:1 . 1 . 1 .1

25、n(n 1) (n 1)( n 2) (n 2)( n 3)(n 2007 )(n2008)三、分式與方程（一）分式方程的解法解分式方程，主要是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢驗(yàn)，但對一些特殊的 分式方程，可根據(jù)其特征，采取靈活的方法求解，現(xiàn)舉例如下：134、交叉相乘法：例1解方程：紀(jì)廠1 22化歸法：例2解方程：口-廠3、 左邊通分法：例3:解方程：匸8 1 8x 77 x1 a 1 b4、分子對等法：例4.解方程：一 一二一 一 （a=b）a x b x5、觀察比較法：例5解方程： 1 ,9=5x-24x 46、分離常數(shù)法：例6解方程:x1x8_x2x7x2x 9 x

26、 3x87、分組通分法：例7解方程:1.11.1x 2x 5_ x 3x亠4（二）分式方程求待定字母值的方法例1 .若分式方程 x 無解，求 m的值。x _22 _x.2例2 若關(guān)于x的方程 k一 二不會產(chǎn)生增根，求k的值。x -1 x-1 X +1例3 若關(guān)于x分式方程 kJ有增根，求k的值。x 2 x +2 X2 _4例 4 .若關(guān)于 x的方程 一1 - 一 = _一 有增根 x =1，求 k的值。X1 -X X2 +x X2 -1（二）分式方程的題型題型1 :化為一元一次的分式方程（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程一一分式方程。（2） 解分式方程的過程，實(shí)質(zhì)上是將方程兩邊同

27、乘以一個(gè)整式（最簡公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時(shí), 方程兩邊同乘以最簡公分母時(shí)，最簡公分母有可能為0,這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。（3） 解分式方程的步驟 ：（1）能化簡的先化簡；（2）方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；（3）解整式方程；驗(yàn)根.x 1例1 :如果分式的值為一1，則X的值是；2x+154例2 :要使一與一的值相等，貝U x=。x T x -22mx 亠 11例3 :當(dāng)m=寸，方程 =2的根為一.m x2例4 :如果方程2一a（x1）=3的解是x = 5,貝U aX _2例5:解方程：16x 2x2 -4x -2x . 4 無解，求a的值。x

28、- 33 - x已知：關(guān)于x的方程1川,1 x _2若分式與的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為x - 1 的解為負(fù)數(shù)?x 2x 十2 x 3當(dāng)m為何值時(shí)間？關(guān)于 x的方程X2 _x _2b _ xx _ b解關(guān)于X的方程2(a = 0)a例10:解關(guān)于x的方程:X 1a +bx -1+a -b2aa(a)例11知關(guān)于xX 1 的方程 -Lx 2x -1的解為負(fù)值,（x 2）（x-1）m的取值范圍。練習(xí)題：（1）x 44x2 -16x -1x 2 =0x(x -1)(3)1-X2口 (5)5x -4x -51x 6+ 3 =x -22 x(82x -4)丄x 32x 513x -622123 - x

29、 x2 - 9(6)x -1 x3(9)2x 21=31 - x題型2:分式方程的增根問題:（1）（2）否則,增根應(yīng)滿足兩個(gè)條件：一是其值應(yīng)使最簡公分母為分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為 這個(gè)解不是原分式方程的解。0，二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。0，則整式方程的解是原分式方程的解;Xm例1：分式方程+1= 有增根，則m=x 3x 3k4 x例2 :當(dāng)k的值等于時(shí)，關(guān)于x的方程2不會產(chǎn)生增根;x 3x 32 mx 3T=2例3:若解關(guān)于x的分式方程X-2 X -4 X 2會產(chǎn)生增根，求 m的值。xm例4: m取時(shí)，方程2會產(chǎn)生增根；x -3 x -

30、32xm例5:若關(guān)于x的分式方程 一2 =無解，則m的值為。x -3 x -3例6 :當(dāng)k取什么值時(shí)？分式方程 kX 0有增根.x T x T x +1-3x 1m例7:若方程有增根，則m的值是（）A. 4 B . 3 Cx 一4 x 一4例8:若方程有增根，則增根可能為（x -2x x(x2)C、0 或 2題型3:公式變形問題:1ii例1 ：已知公式一 =一 + 一（ Ri式R2 ），則表示R的公式是（）RRR2A.R2 -RRi =RR,o R&ri R - R2R(R R2)R2rr2R2 - R例2 :一根蠟燭在凸透鏡下成一實(shí)像，物距i i iu,像距v和凸透鏡的焦距f滿足關(guān)系式：u

31、+ v=廠.若f = 6厘米，V = 8厘米，則物距u =厘米.1例3:已知梯形面積S （a b）h,S、a、b、h都大于零，下列變形錯(cuò)誤是（）22Sa b2S2SuSb. abC.b -a D. h hh2(a+b)總價(jià)值價(jià)格數(shù)量甲2000 元乙4800 元混合X元混合后的總價(jià)值為（2000 + 4800）元，混合后的重量為_4800斤，甲種原料的重量為X2000x 3乙種原料的重量為4800x -1iiab例4:已知ab=i, M, N,則m與n的關(guān)系為()i+a 1+b1+a 1+bA.MNB.M=NC.MO,nO,m工n），依題意，得:1000髀+1000為 刑+科采購員A兩次購買飼料

32、的平均單價(jià)為1000+1000采購員B兩次購買飼料的平均單價(jià)為m +M（訊-w）1而 r: - -: I . 0.800 + 800 _ 2mn800 +呂0 0 燉+刃(元/千克).也就是說，采購員 A所購飼料的平均單價(jià)高于采購員B所購飼料的平均單價(jià)，所以選用采購員B的購買方式合算.例1 . 3某商場銷售某種商品，一月份銷售了若干件，共獲得利潤30000元;二月份把這種商品的單價(jià)降低了0.4元，但是銷售量比一月份增加了5000件，從而獲得利潤比一月份多2000元，調(diào)價(jià)前每件商品的利潤為多少元？解：可以列出三個(gè)等量關(guān)系：1 . 2月份銷售量一 1月份銷售量=50002 . 2月份銷售量X 2月

33、份利潤=2月份總利潤3. 1月份利潤一 2月份利潤=0.4二、工程類應(yīng)用性問題例2 . 1甲乙兩個(gè)工程隊(duì)合作一項(xiàng)工程，兩隊(duì)合作2天后，由乙隊(duì)單獨(dú)做1天就完成了全部工程。已知乙隊(duì)單獨(dú)做所需天數(shù)是甲隊(duì)單獨(dú)做所需天數(shù)的1倍，問甲乙單獨(dú)做各需多少天？解析： 2單獨(dú)做所需時(shí)間一天的工作量1實(shí)際做時(shí)間工作量甲X天X,1,2天乙-X天23 X2(2+1)天1等量關(guān)系：甲隊(duì)單獨(dú)做的工作量 +乙隊(duì)單獨(dú)做的工作量=1例2 . 2甲、乙兩個(gè)學(xué)生分別向計(jì)算機(jī)輸入1500個(gè)漢字，乙的速度是甲的 3倍，因此比甲少用 20分鐘完成任務(wù)，他們平均每分鐘輸入漢字多少個(gè)？解析：輸入漢字?jǐn)?shù)每分鐘輸入個(gè)數(shù)所需時(shí)間甲1500 個(gè)X 個(gè)

34、/分1500乙1500 個(gè)3x個(gè)/分1500等量關(guān)系：甲用時(shí)間=乙用時(shí)間+20 （分鐘）例2 . 3某農(nóng)場原計(jì)劃在若干天內(nèi)收割小麥960公頃，但實(shí)際每天多收割40公頃，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，試求原計(jì)劃 一天的工作量及原計(jì)劃的天數(shù)。解析1 :工作總量一天的工作量所需天數(shù)原計(jì)劃情況960公頃x公頃實(shí)際情況960公頃(x+40)公頃96UX+40等量關(guān)系：原計(jì)劃天數(shù)=實(shí)際天數(shù)+4 (天)解析2 :工作總量所需天數(shù)一天的工作量原計(jì)劃情況960公頃x天960x實(shí)際情況960公頃(x-4)天等量關(guān)系：原計(jì)劃每天工作量=實(shí)際每天工作量-40 (公頃)例2 . 4某工程由甲、乙兩隊(duì)合做 6天完成，廠家需付甲、

35、乙兩隊(duì)共 8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、2丙兩隊(duì)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做 5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)共 5500元.3求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請說明理由.解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需x天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需 y天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需 z天完成，依題意可得：C 11金6(_+)=1， x y11111111110()=1,x _!+x+x _，得丄+丄+ _ =_ .yz6105x y z 5112気5(_ + )=.-x z 311 1一x丄，得丄= ，即z = 30，6z 301

36、11一x，得一=一，即x = 10，10x 1011 1一x _，得 _ = 一，即 y = 15 .5y 15經(jīng)檢驗(yàn)，x = 10，y = 15，z = 30是原方程組的解.設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付 a元，乙隊(duì)做一天廠家需付 b元，丙隊(duì)做一天廠家需付 c元，根據(jù)題意，得6(a b) =8700， a =800，10(b - c) =9500，=， b =650，由可知完成此工程不超過工期只有兩個(gè)隊(duì)：甲隊(duì)和乙隊(duì).5(c a) =5500 .|c =300 .此工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成需花錢 10a =8000元；此工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成需花錢 15b =9750元.所以，由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少.111

37、評析：在求解時(shí)，把 ，丄，丄分別看成一個(gè)整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解.xy z例2. 5某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期三天完成現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？解：工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，(x + 3)天.丄設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是.；，依題意，得I兀兀+ ?丿畫+ 3 ，解得即規(guī)定日期是6天.例2 . 6今年某大學(xué)在招生錄取時(shí)， 為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位教師向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的

38、輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用 2小時(shí)輸完.問這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？解析：甲每小時(shí)做x個(gè)零件，做90個(gè)零件所用的時(shí)間是(90 - x)小時(shí)，還可用式子90小時(shí)來表示。乙每小時(shí)做(x-6)個(gè)零件，做60個(gè)零件所用的時(shí)間是60 一 (x -6)小時(shí)，還可用式子60小時(shí)來表示等量關(guān)系：甲所用時(shí)間=乙所用時(shí)間解：設(shè)教師乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則教師甲每分鐘能輸入2x名學(xué)生的成績，2640 2640 60 x 2依題意，得：.， 解得x = 11經(jīng)檢驗(yàn)，x= 11是原方程的解，且當(dāng)x=11時(shí)，2x = 22,符合題意即教師甲每分鐘能輸入22名學(xué)

39、生的成績，教師乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績.例2. 7甲乙兩人做某種機(jī)器零件。已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等。求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)?三、行程中的應(yīng)用性問題例3.1甲、乙兩個(gè)車站相距 96千米，快車和慢車同時(shí)從甲站開岀，1小時(shí)后快車在慢車前12千米，快車比慢車早 40分鐘到達(dá)乙站，快車和慢車的速度各是多少？所行距離速度時(shí)間快車96千米x千米/小時(shí)96慢車96千米(x-12 )千米/小時(shí)x96x 12等量關(guān)系：慢車用時(shí)=快車用時(shí)+ 40 (小時(shí))例3.2甲、乙兩地相距828km,6一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快

40、車平均速度的1.5倍.直達(dá)快車比普通快車晚岀發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度.分析：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是路程=速度X時(shí)間。解：設(shè)普通快車車的平均速度為x km/ h，則直達(dá)快車的平均速度為1.5 x km/h，依題意，得x = 46是方程的根，且符合題意.x = 46，1.5x = 69，828 6x= 828，解得 =46，經(jīng)檢驗(yàn), x 1.5x即普通快車車的平均速度為46km/ h,直達(dá)快車的平均速度為 69km/ h.例3.3A、B兩地相距87千米，甲騎自行車從 A地出發(fā)向B地駛?cè)?，?jīng)過30分鐘后，乙騎自行車由B地出發(fā)，用

41、每小時(shí)比甲快4千米的速度向A地駛來，兩人在距離 B地45千米C處相遇，求甲乙的速度。所行距離速度時(shí)間87 45甲(87-45 )千米x千米/小時(shí)OF 1 Ux乙45千米(x+4)千米/小時(shí)45x + 4等量關(guān)系：甲用時(shí)間=乙用時(shí)間+ 30 (小時(shí))例3.4 隊(duì)學(xué)生去校外參觀他們出發(fā)30分鐘時(shí)，學(xué)校要把一個(gè)緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校岀發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍若騎車的速度是隊(duì)伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時(shí)離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校岀發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時(shí)間？解：設(shè)步行速度為x千米/時(shí)，騎車速度為 2x千米/時(shí)，依題意，得：15 15 30二上 一 廠方程兩邊都乘以2x

42、，去分母，得30-15 = x, 所以，x = 15.檢驗(yàn)：當(dāng)x = 15時(shí)，2x = 2X 15工0，所以x= 15是原分式方程的根，并且符合題意.15 _ 1VI，.騎車追上隊(duì)伍所用的時(shí)間為 30分鐘.例3.5農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠 15千米的生產(chǎn)隊(duì)檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走，40分鐘后，其余的人乘汽車岀發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度.: r _| -解：設(shè)自行車的速度為x千米/小時(shí)，那么汽車的速度為 3x千米/小時(shí)，依題意，得：3 畫x 60解得 x = 15.經(jīng)檢驗(yàn)x= 15是這個(gè)方程的解.當(dāng)x = 15時(shí)，3x= 45.即自行車的速度是15千米/小時(shí)

43、，汽車的速度為 45千米/小時(shí)例3.6甲乙兩人同時(shí)從一個(gè)地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與B;若從原地出發(fā)，但是互換彼此的目的地，則分析：B甲將在乙到達(dá) A之后35分鐘到達(dá)B,求甲與乙的速度之比乙甲_|oA甲乙路程速度時(shí)間順流48千米(x+4)千米/小時(shí)48x+4逆流48千米(x-4)千米/小時(shí)48x 4逆流速度=輪船在靜水中的速度-水流的速度等量關(guān)系：甲走 OB的時(shí)間-乙走OA的時(shí)間=35分鐘四、輪船順逆水應(yīng)用問題例4. 1輪船順流、逆流各走 48千米，共需5小時(shí), 如果水流速度是4千米/小時(shí)，求輪船在靜水中的速度。分析：順流速度=輪船在靜水中的速度+水流的速度等量關(guān)系：順流用時(shí)+

44、逆流用時(shí)=5(小時(shí))例4. 2輪船在順?biāo)泻叫?0千米的時(shí)間與在逆水中航行 20千米所用的時(shí)間相等，已知水流速度為2千米/時(shí)，求船在 靜水中的速度。解析：順?biāo)叫?0千米的時(shí)間=逆水中航行20千米的時(shí)間，即30千米_20千米順?biāo)叫兴俣饶嫠叫兴俣仍O(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，又知水流速度，于是順?biāo)叫兴俣?、逆水航行速度可用未知?shù)表示，問題可解決.解： 設(shè)船在靜水中速度為 x千米/時(shí)，則順?biāo)叫兴俣葹?（X - 2）千米/時(shí)，逆水航行速度為（x_2）千米/時(shí)，依題意，得30 = 20x 2 x -2解得x =10 經(jīng)檢驗(yàn),x =10是所列方程的根.即船在靜水中的速度是10千米/時(shí).五、濃度應(yīng)用性問題例5 要在15%勺鹽水40千克中加入多少鹽才能使鹽水的濃度變?yōu)?0%溶質(zhì)分析：設(shè)加入鹽x千克濃度問題的基本關(guān)系是：溶液=濃度.解：設(shè)應(yīng)加入鹽x千克，依題意，得40如5% +x_ 2040 x 100100(40 X