導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值考法 (一 ) 已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)或極值a例 1已知函數(shù) f(x) x 1 ex( aR， e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求函數(shù) f(x)的極值解 aa由 f(x)x 1 e ，得 f (x) 1 e .xx當(dāng) a 0 時(shí)， f (x) 0， f(x)為 ( ， )上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng) a 0 時(shí)，令 f (x) 0，得 exa，即 xln a，當(dāng) x ( ， ln a)時(shí)， f (x) 0；當(dāng) x (ln a， )時(shí)， f (x) 0，所以函數(shù) f(x)在 ( ，lna)上單調(diào)遞減，在 (ln a， )上單調(diào)遞增，故

2、函數(shù)f(x)在 xln a 處取得極小值且極小值為f(ln a) ln a，無極大值綜上，當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù) f(x)無極值；當(dāng) a0時(shí)，函數(shù) f(x)在 x ln a 處取得極小值ln a，無極大值例 2設(shè)函數(shù) f(x) ln( x1) a(x2x)，其中 a R.討論函數(shù) f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由1 a(2x 1)2ax2ax a1解 f ( x) x 1x 1(x 1)令 g(x) 2ax2 axa 1，x ( 1， )當(dāng) a 0 時(shí)， g(x) 1， f( x) 0，函數(shù) f(x) 在( 1， )上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)2當(dāng)a 0 時(shí)，a 8a(1 a) a(9a8)當(dāng) 0a 8

3、時(shí)， 0， g(x) 0， f (x) 0， 9函數(shù) f(x)在 ( 1， ) 上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)當(dāng) a89時(shí)， 0，設(shè)方程 2ax2 ax a1 0 的兩根為x1， x2(x1x2)，1因?yàn)?x1 x2，11所以 x14， x24.由 g( 1) 1 0，可得 1 x1 1.4所以當(dāng) x ( 1， x1)時(shí)， g(x) 0， f (x) 0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x (x1， x2)時(shí)， g(x) 0， f (x) 0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x (x2， ) 時(shí)， g(x) 0， f (x) 0, 函數(shù) f(x)單調(diào)遞增因此函數(shù) f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng) a 0 時(shí)， 0，由 g

4、( 1) 1 0，可得 x1 1 x2.當(dāng) x ( 1， x2)時(shí)， g(x)0， f (x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x (x2， ) 時(shí)， g(x) 0， f (x) 0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù) f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)綜上所述，當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù) f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng) 0a 8時(shí)，函數(shù) f( x)無極值點(diǎn)；9當(dāng) a89時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)考法 (二 )已知函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)例 3已知函數(shù) g(x) ln x mx m存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1， x2，求 m 的取值范圍x解 m，因?yàn)?g(x) ln x mx x1mmx2 x m所以 g (x) x mx2x2(x

5、 0) ，令 h(x) mx2 x m，要使 g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2，則方程 mx2 x m 0 有兩個(gè)不相等的正數(shù)根 x1， x2.h 0 0，故只需滿足1 0，解得12m0 m .12 0，h 2m所以 m 的取值范圍為10，2 .考法 (三)已知函數(shù)的極值求參數(shù)例 4(2018 京高考北)設(shè)函數(shù) f(x) ax2 (4a 1)x 4a 3ex.(1)若曲線 y f(x)在點(diǎn) (1， f(1) 處的切線與 x 軸平行，求 a；(2)若 f(x)在 x2 處取得極小值，求a 的取值范圍解 (1) 因?yàn)?f(x) ax2 (4a 1)x 4a 3ex，所以 f (x) ax2 (2

6、a 1)x 2ex.所以 f (1) (1 a)e.由題設(shè)知 f (1) 0，即 (1 a)e 0，解得 a 1.此時(shí) f(1) 3e 0.所以 a 的值為 1.(2)由 (1) 得 f (x) ax2 (2a 1)x2e x (ax 1)(x 2)ex.若 a1，則當(dāng) x 1， 2 時(shí)， f (x)0;2a當(dāng) x (2， )時(shí)， f (x) 0.所以 f(x)在 x 2 處取得極小值若 a1，則當(dāng) x (0,2) 時(shí)， x 2 0， ax 1 1x 1 0，22所以所以f (x) 0.2 不是 f(x)的極小值點(diǎn)綜上可知，a 的取值范圍是1， 2.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值ln x典例精析

7、 已知函數(shù)f(x) x 1.(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè) m0，求函數(shù) f(x)在區(qū)間 m,2m上的最大值解 (1) 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的定義域?yàn)?(0， )，且 f (x)1 ln xf x 0，x2， 由得 0x 0，x e；由f x 0，得 x e.x 0，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0， e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e， )(2)當(dāng)2m e，即 0m e時(shí)，函數(shù) f(x)在區(qū)間 m,2m 上單調(diào)遞增，m 0，2ln 2m所以 f(x) max f(2m) 1；e當(dāng) m e 2m，即 m e 時(shí)，函數(shù) f(x)在區(qū)間 (m， e)上單調(diào)遞增，在(e,2m)上單調(diào)遞減，所

8、以ln e1f(x) max f(e) e 1 e 1；當(dāng) m e 時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間 m,2m上單調(diào)遞減，ln m所以 f(x) max f(m) 1.綜上所述，當(dāng)0 m e時(shí)， f(x) ln 2m 1；2max2m當(dāng) em e 時(shí)， f(x)max1 1；2eln m當(dāng) m e 時(shí)， f(x)max1.題組訓(xùn)練 1 (2018 國(guó)卷全 )已知函數(shù)f(x) 2sin xsin 2x，則 f( x)的最小值是 _解析： f (x) 2cos x2cos 2x 2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2x cos x 1)2(2cos x 1)(cos x 1) cos x 1 0，

9、當(dāng) cos x12時(shí)， f (x) 0， f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) cos x1時(shí)， f (x)0， f(x) 單調(diào)遞增 21當(dāng) cos x ， f(x)有最小值又 f(x) 2sin xsin 2x2sin x(1 cos x)，當(dāng) sin x 23時(shí)， f(x)有最小值，即 f(x) min2 3 1133222 .答案：3322已知函數(shù)f(x) ln x ax2 bx(其中 a，b 為常數(shù)且a 0)在 x1 處取得極值(1)當(dāng) a 1 時(shí)，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若 f(x)在 (0， e上的最大值為1，求 a 的值解： (1)因?yàn)?f(x) ln x ax2 bx，所以 f(x)的定

10、義域?yàn)?(0 ， )， f (x) 1 2axb， x2因?yàn)楹瘮?shù) f(x) ln x ax bx 在 x 1 處取得極值，2x2 3x 1又 a1，所以 b 3，則 f (x)，x令 f (x) 0，得 x11， x2 1. 2當(dāng) x 變化時(shí)， f (x)， f(x)隨 x 的變化情況如下表：111x0， 222， 11(1， )f (x)00f(x)極大值極小值所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，1， (1， )，單調(diào)遞減區(qū)間為1，1 .222ax2 2a 1 x 1(2)由 (1) 知 f (x)x 2ax 1 x 1 (x 0)， x令 f (x) 0，得 x1 1， x2 1 ， 2a因

11、為 f(x)在 x 1 處取得極值，所以x21 x1 1.2a1當(dāng) a 0，即 0 時(shí)， f(x)在 (0,1)上單調(diào)遞增，在(1， e上單調(diào)遞減，所以 f(x)在區(qū)間 (0， e上的最大值為f(1)，令 f(1) 1，解得 a 2.當(dāng) a 0，即 x2 1 0 時(shí)，2a若1 1， f(x)在 0， 1， 1， e上單調(diào)遞增，在1 ， 1 上單調(diào)遞減，所以最大值可能2a2a2a在 x1或 x e 處取得，而1 ln1 a1211110，f2a (2a 1) ln2a2a2a2a2a4a令 f(e) ln e ae2 (2a 1)e 1，解得 a 1 . e 2若 1 1 e， f(x)在區(qū)間

12、(0,1)，1 ，e 上單調(diào)遞增，在1上單調(diào)遞減，2a2a1， 2a所以最大值可能在x 1 或 x e 處取得，而 f(1) ln 1 a (2a 1)0，令 f(e) ln e ae2 (2a 1)e 1，解得 a1 ，與 1 x 1 e 矛盾e 222a若 x 1 e， f(x) 在區(qū)間 (0,1) 上單調(diào)遞增，在 (1，e上單調(diào)遞減，所以最大值可能在x22a 1 處取得，而 f(1) ln 1 a (2a 1)0，矛盾綜上所述， a1或 a 2.e 2考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值和最值的綜合問題12ax a(a R)典例精析 (2019 貴陽模擬 )已知函數(shù) f( x) ln xx2(1)

13、若函數(shù) f(x)在 (0， )上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；(2)若函數(shù) f(x)在 x x1 和 x x2 處取得極值， 且 x2ex1(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求 f(x2)f(x1)的最大值1 x a(x 0)，解 (1) f (x) x又 f(x) 在(0 ， )上單調(diào)遞增，恒有f (x) 0，即 1 x a 0 恒成立， a x1min，xx11時(shí)取 “ ” ， a 2.而 x 2x 2，當(dāng)且僅當(dāng) x 1xx即函數(shù) f(x)在 (0， ) 上為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)， a 的取值范圍是 ( ， 2(2) f(x)在 x x1 和 x x2 處取得極值，且 f (x) 1 x ax2

14、 ax 1(x 0)，xx x1， x2 是方程 x2 ax 1 0 的兩個(gè)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1 x2 a， x1x2 1， f(x2) f(x1) lnx2122x21 2 2x21221x2x12(x2 x1) a(x2 x1) lnx1 ( x2 x1) lnx1(x2 x1) ln22x1 x2x11x2x1，2x1x2設(shè) tx2e)，令 h(t) ln t1t1(t e)，(t2tx1則 h (t) 1 11t 1 2122 0，t2t2t h(t)在 e， )上是減函數(shù)， h(t) h(e)1e2 1e e ，故 f(x2 ) f(x1)1e的最大值為 21e e .題組訓(xùn)

15、練 已知函數(shù) f(x)ax2 bx cex(a 0)的導(dǎo)函數(shù) f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)為3和0.(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若 f(x)的極小值為 e3，求 f(x)在區(qū)間 5， )上的最大值x2x解： (1)f (x)2ax b e ax bxc ex 2e ax2 2ab x b cex.令 g(x) ax2 (2ab)x b c，因?yàn)?ex 0，所以 f( x)的零點(diǎn)就是 g( x) ax2 (2a b)x bc 的零點(diǎn)，且 f( x)與 g( x) 符號(hào)相同又因?yàn)?a 0，所以當(dāng) 3 x 0 時(shí)， g(x) 0，即 f (x) 0，當(dāng) x 3 或 x 0 時(shí)， g(x) 0，即 f

16、 (x) 0，所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是( ， 3)，(0 ， )f 3 9a 3b c3， 3 e(2)由 (1) 知，x 3 是 f(x)的極小值點(diǎn)， 所以有eg 0 b c 0，g 3 9a 3 2a b b c0，2 5x5解得 a 1， b5， c 5，所以 f( x)x.xe由 (1)可知當(dāng) x 0 時(shí) f(x)取得極大值 f(0) 5，故 f(x) 在區(qū)間 5， )上的最大值取f( 5)和 f(0) 中的最大者而 f( 5) 5 5 5e55 f(0) ， e所以函數(shù) f(x)在區(qū)間 5， )上的最大值是5e5.課時(shí)跟蹤檢測(cè)A 級(jí)x， x 0,4的最

17、小值為 ()1函數(shù) f(x) xe1A 0B.e42C.e4D.e21 x解析： 選 Af (x)ex ，當(dāng) x 0,1) 時(shí)， f (x) 0， f(x)單調(diào)遞增，當(dāng) x (1,4 時(shí)， f (x) 0， f(x)單調(diào)遞減，4因?yàn)?f(0) 0， f(4) e4 0，所以當(dāng) x 0 時(shí)， f(x)有最小值，且最小值為 0.2若函數(shù) f( x) aex sin x 在 x0 處有極值，則a 的值為 ()A 1B 0C1D e解析：選Cf (x) aex cos x，若函數(shù) f(x) aexsin x 在 x 0 處有極值，則 f (0) a 1 0，解得 a 1，經(jīng)檢驗(yàn) a 1 符合題意，故選

18、C.3已知 x 2 是函數(shù) f( x)x3 3ax 2 的極小值點(diǎn)，那么函數(shù)f(x)的極大值為 ()A15B 16C17D 18解析：選 D 因?yàn)?x 2 是函數(shù) f(x) x3 3ax2 的極小值點(diǎn)， 所以 f (2) 12 3a 0，解得 a 4，所以函數(shù) f(x)的解析式為 f(x) x3 12x 2，f ( x) 3x212，由 f (x) 0，得 x 2，故函數(shù) f(x)在 ( 2,2)上是減函數(shù)，在 ( ， 2)，(2， )上是增函數(shù)，由此可知當(dāng)x 2 時(shí)，函數(shù) f(x)取得極大值 f( 2) 18.4.(2019 合肥模擬 )已知函數(shù)f(x) x3 bx2 cx 的大致圖象如圖所

19、示， 則 x21 x22等于 ()24A. 3B.3816C.3D. 3解析：選C由圖象可知 f(x)的圖象過點(diǎn) (1,0)與 (2,0)，x1，x2 是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)，因此1 b c 0,8 4b 2c 0，解得 b 3， c 2，所以 f( x) x3 3x2 2x，所以 f (x) 3x2 6x 2，則 x1，x2 是方程 f (x) 3x2 6x 20 的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 因此 x1 x2 2，x1 x2 2，所以 x21 x22 (x1 x2)2 2x1x2 4 48.33 35 (2019 泉州質(zhì)檢 )已知直線y a 分別與函數(shù)y ex1 和 yx 1交于 A， B 兩點(diǎn)

20、，則 A， B 之間的最短距離是 ()A.3 ln 2B.5 ln 222C.3 ln 2D.5 ln 222解析：選 D由 y ex 1 得 x ln y 1，由 yx 1得 xy2 1，所以設(shè) h(y) |AB| y222212 y 2y221 (ln y 1) y ln y 2，h( y) 2y yy( y0) ，當(dāng) 0 y 2 時(shí)，h( y)0；當(dāng) y 2時(shí)，h (y) 0，即函數(shù) h(y)在區(qū)間 0，2 上單調(diào)遞減， 在區(qū)間2， 上222單調(diào)遞增，所以 h(y)min h2 2 2 ln2 2 5 ln 2.22226若函數(shù) f(x) x3 3a2x a(a 0) 的極大值是正數(shù)，極

21、小值是負(fù)數(shù)，則a 的取值范圍是_解析： f (x) 3x2 3a23(x a)( xa)，由 f (x) 0 得 x a，當(dāng) a x a 時(shí)， f (x) 0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x a 或 x a 時(shí)， f (x) 0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增， f(x)的極大值為 f( a)，極小值為 f(a) f( a) a3 3a3 a 0 且 f(a) a3 3a3 a0，解得 a 22 . a 的取值范圍是2， .2答案：2，27 (2019 長(zhǎng)沙調(diào)研 )已知 y f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x (0,2)時(shí)， f(x)ln x ax a1，當(dāng) x2( 2,0)時(shí)， f( x)的最小值為1，則 a

22、_.解析： 由題意知，當(dāng)x (0,2)時(shí)， f(x)的最大值為 1.令 f (x) 1x a0，得 x 1a，當(dāng) 0x 1時(shí)， f (x) 0；a當(dāng) x 1a時(shí)， f (x)0. f(x)max f 1 ln a 1 1，解得 a 1.a答案： 18(2018 內(nèi)江一模 )已知函數(shù) f( x) asin x bcos x(a，b R)，曲線 y f( x)在點(diǎn)3， f3處的切線方程為y x .3(1)求 a， b 的值；f x 3在0，上的最小值(2)求函數(shù) g(x)x2解： (1)由切線方程知，當(dāng)x 時(shí)， y 0，331 f 3 2 a 2b 0. f (x) acos x bsin x，

23、13由切線方程知， f 3 2a 2 b1， a1， b322 .13(2) 由 (1) 知， f(x)2sin x 2 cos x sin x3，函數(shù) g(x)sin x0 xxcos x sin x.設(shè) u(x) xcos x sin x 0x，g (x)x2，則x22u (x) xsin x 0，故 u(x)在 0，上單調(diào)遞減 u(x)u(0) 0， g(x)在 0，上單調(diào)22遞減函數(shù) g(x)在0，2上的最小值為g .2219已知函數(shù)f(x) aln x x(a 0)(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)是否存在實(shí)數(shù) a，使得函數(shù) f(x)在 1，e上的最小值為0？若存在，求出

24、a 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 x|x 0 ，f (x)a1ax 1解： 由題意，知函數(shù)的定義域?yàn)閤x2x2 (a 0)(1)1，由 f (x) 0，解得 xa所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1， ；a由 f (x) 0，解得 0 x 1，a所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是10， a .111所以當(dāng) x a時(shí)，函數(shù) f(x)有極小值 f a alna a a aln a，無極大值(2)不存在，理由如下：由 (1)可知，當(dāng) x 0， 1 時(shí)，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；a1當(dāng) x a， 時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增若 0 1 1，即 a 1 時(shí)，函數(shù)f(x)在 1， e上為增函數(shù)，a故函數(shù) f(x)

25、的最小值為f(1)aln 1 1 1，顯然 1 0，故不滿足條件若 1 1 e，即 1 a 1時(shí)，函數(shù) f(x)在1上為減函數(shù)，在1， e 上為增函數(shù)，ae1， aa故函數(shù) f(x)的最小值為f(x)的極小值 f 1 aln1a a aln a 0，即 ln a 1，解得 a e，aa而1 a 1，故不滿足條件 e若1 e，即0 a1時(shí)，函數(shù) f(x)在 1， e上為減函數(shù)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(e)ae1 a 10，即 a 1，而 0 a 1，故不滿足條件aln e eeee綜上所述，不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù) f(x)在 1， e上的最小值為 0.B 級(jí)322在 x 1時(shí)有極值10

26、，則 a，b 的值為1 (2019 鄭州質(zhì)檢 )若函數(shù) f( x) x ax bx a()A a 3， b 3 或 a 4， b 11Ba 4，b 3 或 a 4，b 11Ca 4，b 11D以上都不對(duì)解析： 選 C 由題意， f (x) 3x2 2ax b，則 f (1) 0，即 2a b 3.f(1) 1 a b a2 10，即 a2 a b 9.聯(lián)立，解得a 4，a 3，或b 3.b 11a 3，不符合題意，舍去故選C.經(jīng)檢驗(yàn)b 321x 1 在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(a 1， a 1)2 (2019 唐山聯(lián)考 )若函數(shù) f(x) x ln2內(nèi)存在極值，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _解析：由

27、題意，得函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0， )，f (x) 2x 1 4x2 1，令 f (x) 0，2x2x1 1得 x 2 x 2舍去 ，a 1 0，則由已知得a 11，解得 1a 321，2.a 12答案：31， 23 (2019 德州質(zhì)檢 )已知函數(shù) f(x)1x3 x 在 (a,10 a2)上有最大值，則實(shí)數(shù) a 的取值3范圍是 _解析： 由 f (x) x2 1，知 f(x)在 ( ， 1)上單調(diào)遞減，在 1,1 上單調(diào)遞增，在a 1，(1， )上單調(diào)遞減，故函數(shù)22其中f(x)在 (a,10 a )上存在最大值的條件為10 a 1，f 1 f a ，f(1) f( a)，即為113

28、31 a a，3整理得 a3 3a 20，即 a3 13a 30，即 (a 1)(a2 a 1) 3(a 1) 0，即 (a 1)(a2 a 2) 0，即 (a 1)2(a 2) 0，a1，即 10 a2 1，解得2 a1.a 1 2a2 0，答案： 2,1)4.已知函數(shù)f(x)是 R 上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是()A a， c 分別是極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)Bb， c 分別是極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)Cf(x)在區(qū)間 (a，c) 上是增函數(shù)D f(x)在區(qū)間 (b， c) 上是減函數(shù)解析：選 C由極值點(diǎn)的定義可知，a 是極小值點(diǎn)， 無極大值點(diǎn)； 由導(dǎo)函數(shù)的圖象可

29、知，函數(shù)f( x)在區(qū)間(a， )上是增函數(shù)，故選C.5.如圖，在半徑為103 的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD ，其中A， B 在直徑上，C， D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD 為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁與拼接損耗罐子的體積為V，設(shè) AD x，則 Vmax _.解析： 設(shè)圓柱形罐子的底面半徑為r，)，記圓柱形由題意得 AB 2103 2 x2 2r，所以 r 300 x2，2221332所以 V r300 x3)，故 V x x( x 300x)(0 x 10(x 100)3(x 10)(x10)(0 x 103)令 V 0，得 x 10(負(fù)值舍去