第8章非正弦周期電流電路

1、第八章 非正弦周期電流電路,一、特點：按周期規(guī)律變化，但不是正弦量。,工程實際中，非正弦周期波形較為常見，如：脈沖波形、三角波、方波、鋸齒波、半波整流波形等等；,方波電壓,鋸齒波,脈沖波形,半波整流波形,(3). 若電路中存在非線性元件。,二、非正弦周期信號的產(chǎn)生：,(1).電源提供的電壓或電流是非正弦周期變化的；,(2).電路中有不同頻率的電源共同作用；,如：全波整流電路,8-1 非正弦周期量的分解,傅里葉 (1768 1830)：法國數(shù)學(xué)家。,以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠的影響。,他的著作熱的解析理論(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性文

2、獻，書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分，他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分。他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題最卓越的工具。,一、周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),在一周期內(nèi)有有限個極大、極小值。,有限個第一間斷點。,條件：,傅里葉級數(shù)另一種形式：,基波（或 一次諧波）,二次諧波 （2倍頻）,直流分量,高次諧波,在電力系統(tǒng)中，高次諧波會給整個系統(tǒng)帶來極大的危害，如使電能質(zhì)量降低，損壞電力電容器、電纜、電動機等，增加線路損耗。,因此，要想辦法消除高次諧波分量。,例：求圖示周期性矩形信號的傅里葉級數(shù)展開式。,f(t)在第一個周期內(nèi)的表達式為：,解：,當k為偶數(shù)時：Bkm=0,當k為奇數(shù)時：Bkm=4Um/k

3、,根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，也可得到：Ckm=0,由此求得：,例：求圖示周期性矩形信號的傅里葉級數(shù)展開式。,解：,周期函數(shù)的傅里葉展開,基波分量,三次諧波,基波+三次諧波,五次諧波,基波+三次諧波,基波+三次+五次諧波,解：,周期函數(shù)的傅里葉展開,所求函數(shù)的傅氏展開式為：,周期函數(shù)的傅里葉展開,求級數(shù)的和,傅氏展開式的應(yīng)用,已知：,計算：,解：,求級數(shù)的和,傅氏展開式的應(yīng)用,試計算級數(shù)、2、3,解：,二、常用周期信號的傅里葉展開,8-2 非正弦周期量的有效值與功率,相關(guān)數(shù)學(xué)知識(三角函數(shù)系的正交性)：,三角函數(shù)系：,正交性：任意兩個不同函數(shù)在-p, p上的積分等于零。,1.正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積

4、分為0(k為整數(shù))。,正交性：任意兩個不同函數(shù)在-p, p上的積分等于零。,3.正弦、余弦的平方在一個周期內(nèi)的平均值為1/2 。,2.三角函數(shù)的正交性0(kp),一、非正弦周期量的有效值,根據(jù)有效值定義：,設(shè)非正弦周期電流為：,如(a+b+c+)2根展開后得：,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+,結(jié)論：周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。,二、非正弦周期量的平均值,若,則其平均值為：,(直流分量),正弦量的 平均值為0,則有效值：,設(shè)非正弦周期電壓傅立葉級數(shù)展開式為：,不同的儀器讀數(shù)涵義不同:(對于同一非正弦周期電流）當用不同類型的儀表進行測量時，會得到不同的結(jié)

5、果。,(2).用電磁系或電動系儀表測得的結(jié)果為非正弦量的有效值；,(3).用全波整流儀表測量時，所得結(jié)果為非正弦量的絕對平均值。,在測量非正弦周期性電流和電壓時，要注意選取合適的儀表，并注意不同類型儀表讀數(shù)表示的含義。,例如：,(1).用磁電系儀表（直流儀表）測量，所得結(jié)果將是非正弦量的恒定分量(即平均值)；,平均功率（The average power）：,不同頻率的正弦電壓和電流不產(chǎn)生平均功率（正弦函數(shù)的正交性）。,二、非正弦周期交流電路平均功率,結(jié)論： 平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率,例：已知電路中某支路電壓和電流分別為：,計算該支路的平均功率。,直流功率：,基波功率：,2次諧

6、波和3次諧波功率為：,4次諧波功率：,總功率：,解：,此時網(wǎng)絡(luò)N呈純電感性。,解：,(1),此時網(wǎng)絡(luò)N呈純電容性。,此時網(wǎng)絡(luò)N對三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振。,例：已知某無源單口網(wǎng)絡(luò)N端口的電壓、電流為：,試求：（1）各頻率網(wǎng)絡(luò)N的輸入阻抗。 （2）網(wǎng)絡(luò)消耗的平均功率。,解：,(2),網(wǎng)絡(luò)對各次諧波的阻抗都沒有顯示出電阻性質(zhì)，說明該網(wǎng)絡(luò)是由動態(tài)元件L、C組成的。,其消耗的有功功率應(yīng)為零。,三、非正弦周期交流電路視在功率和功率因數(shù),視在功率為：,功率因數(shù)：,8-3 非正弦周期電流電路的計算,諧波分析法步驟：,(1). 將給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅立葉級數(shù)；,(3). 應(yīng)用疊加定理，在時域中將各個

7、響應(yīng)分量相加（注意：相量直接相加沒有意義）。,(2). 分別求出傅立葉級數(shù)中各個分量單獨作用下電路的響應(yīng)（對正弦穩(wěn)態(tài)電路，采用相量法分析，并注意：感抗、容抗會隨頻率變化）；,諧波分析法：將非正弦周期電流電路的計算轉(zhuǎn)化為一系列正弦電流電路的計算。,諧波分析法實質(zhì)上是把非正弦周期電流電路的計算化為一系列正弦電流電路的計算。,u 的直流分量單獨作用時：,解：,C相當于開路，L相當于短路,電流的直流分量I0=0, 當基波分量單獨作用時：,解：,二次諧波分量單獨作用時：, 根據(jù)疊加定理：,直流分量作用，電路模型如圖,例：求：(1) 端電壓u及其有效值；(2) 電流源發(fā)出的平均功率。,解：,例：求：(1)

8、 端電壓u及其有效值；(2) 電流源發(fā)出的平均功率。,解：,交流分量作用相量模型如圖,采用節(jié)點法計算：,例：求：(1) 端電壓u及其有效值；(2) 電流源發(fā)出的平均功率。,解：,電流源的 端電壓u為：,電流源發(fā)出的平均功率：,端電壓有效值為：,交、直流共存的電路。,解題要點： 交、直流分別計算；瞬時值結(jié)果迭加。,例：如圖電路中us(t)=10sin(2t)v，求電流i的有效值及電阻功率。,(1)直流電源作用,例：如圖電路中us(t)=10sin(2t)v，求電流i的有效值及電阻功率。,(1)交流電源作用,平衡電轎,疊加：,計算非正弦周期交流電路應(yīng)注意的問題,(1). 最后結(jié)果只能是瞬時值疊加，

9、不同頻率正弦量不能用相量相加。,(2). 不同頻率對應(yīng)的 XL、XC不同。,.,感抗和容抗在不同諧波時值不同。,(3). 若支路阻抗為零，則發(fā)生了串聯(lián)諧振；若支路阻抗為無窮，則發(fā)生了并聯(lián)諧振。,例：如圖所示電路，R1=5， L1=0.4H， C=0.025F， L2=0.05H， R2=5 ，求電壓u(t),采用疊加原理,5V單獨作用時：,解：,u1(t)=0,基波10sin(10t)單獨作用時：,由于：,L1與C發(fā)生并聯(lián)諧振,u1(t)=0,例：如圖所示電路，R1=5， L1=0.4H， C=0.025F， L2=0.05H， R2=5 ，求電壓u(t),采用疊加原理,解：,u1(t)=0,

10、15sin(30t)單獨作用時：,發(fā)生串聯(lián)諧振,u3(t)=0,u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)=5sin(10t) V,u3(t)=0,例：電路如圖所示，已知=1000rad/s，C=1F，R=1， 在穩(wěn)態(tài)時，uR(t)中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波電壓相同，求： (1)us(t)的有效值 ； (2)電感L1和L2 ； (3)電源發(fā)出的平均功率。,解：(1),(2),要使uR(t)中不含基波，則L1與C發(fā)生并聯(lián)諧振(對 )。,若使uR(t)中二次諧波與電源二次諧波電壓相同，則L、C電路發(fā)生串聯(lián)諧振。,例：電路如圖所示，已知=1000rad/s，C=1F，R=1， 在穩(wěn)態(tài)時，uR(t)中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波電壓相同，求： (1)us(t)的有效值 ； (2)電感L1和L2 ； (3)電源發(fā)出的平均功率。,(3),電源發(fā)出的平均功率為：,(L11H),上述分析表明，交流分量的響應(yīng)所占的比例甚小，諧波次數(shù)越高，響應(yīng)分量的比例越小。 電感元件對高次諧波有著較強的抑制作用； 而電容元件對高次諧波電流有暢通作用。,在電力系統(tǒng)中，高次諧波會給整個系統(tǒng)帶來極大的危