三角函數(shù)題型及解法[學(xué)校教學(xué)]

1、高中數(shù)學(xué)常見三角函數(shù)題型及解法近幾年高考已逐步拋棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查上來.在考查三角公式進(jìn)行恒等變形的同時(shí)，也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，降低了對(duì)三角函數(shù)恒等變形的要求，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度. 三角函數(shù)的命題趨于穩(wěn)定,會(huì)保持原有的考試風(fēng)格，盡管命題的背景上有所變化，但仍屬基礎(chǔ)題、中檔題、常規(guī)題.實(shí)施新課標(biāo)后，新一輪基礎(chǔ)教育的改革增添了與現(xiàn)代生活和科學(xué)技術(shù)發(fā)展相適應(yīng)的許多全新的內(nèi)容，它們會(huì)吸引命題者關(guān)注的目光.三角函數(shù)試題可以歸納為以下幾種典型題型。1、三角函數(shù)的概念及同角關(guān)系式此類題主要

2、考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律.解此類題注意必要的分類討論以及三角函數(shù)值符號(hào)的正確選取.例1（10全I(xiàn)卷理2）記,那么A. B. - C. D. -解：,。故選B評(píng)注：本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 同時(shí)熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號(hào).例2（10全1卷文1）(A) (B)- (C) (D) 解：評(píng)注：本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí)2、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值這類題主要考查三角函數(shù)的變換.解此類題應(yīng)根據(jù)考題的特點(diǎn)靈活地正用、逆用，變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.例3（10重文數(shù)15）如題（15）圖，圖

3、中的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn)（點(diǎn)不在上）且半徑相等. 設(shè)第段弧所對(duì)的圓心角為，則_ 解：又 ，評(píng)注：本題以過同一點(diǎn)的三段圓弧為背景，考查了三角恒等變形中公式逆用的基本技巧，將已知與求解合理轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到有效地求解目的.例4（10全1理數(shù)14)已知為第三象限的角，,則 .解： 為第三象限的角 2()又0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖像向右平移個(gè)單位后與原圖像重合，則的最小值是（A） (B) (C) (D)3 解：將y=sin(x+)+2的圖像向右平移個(gè)單位后為=2k, 即 又 ， k1故， 所以選C評(píng)注：本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換與三角函數(shù)的周期性

4、，考查了同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)圖像知識(shí)靈活掌握的程度。4、三角形中的三角函數(shù)此類題主要考查在三角形中三角函數(shù)的利用. 解三角形的關(guān)鍵是在轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，正確、靈活地運(yùn)用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內(nèi)角和等公式定理.例7（10津理數(shù)7）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，則A=（A） （B） （C） （D）解：由正弦定理得所以cosA=，所以A=300評(píng)注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算。通過恰當(dāng)?shù)厥褂谜?、余弦定理將有關(guān)的邊角確定，從而解決問題。. 例8 （10蘇卷13）、在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、

5、b、c，則=_。解： =評(píng)注：三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，估計(jì)以后這類題型仍會(huì)保留，不會(huì)有太大改變.解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?5、三角應(yīng)用題此類題主要考查三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用. 解決三角應(yīng)用題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建立適當(dāng)?shù)娜悄Ｐ?，?zhǔn)確無誤的計(jì)算等。例9（10京文7）某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖），它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（A）； （B）（C） （D） 解：四個(gè)等腰三角形面積之和42由余弦定理

6、可得正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的面積為，所求八邊形的面積為評(píng)注：本題主要考查解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想 例10（10福理19）某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇。（）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，

7、并說明理由。解：（）要使小艇航行距離最短，理想化的航行路線為OT，小艇到達(dá)T位置時(shí)輪船的航行位移即， （海里/時(shí)）答：小艇航行速度應(yīng)為海里。（）分類討論得： (1) 若輪船與小艇在A、T之間G位置相遇則有OGAG，又因?yàn)?AGOG，所以不符合要求舍去。所以輪船與小艇的交點(diǎn)必在T、B之間。（2）若輪船與小艇在H處相遇則在直角三角形OHT中運(yùn)用勾股定理有：，設(shè) 則：從而OABTGH所以當(dāng)時(shí)，即。答：當(dāng)小艇以30海里每小時(shí)的速度，沿北偏東方向行走能以最短的時(shí)間遇到輪船。評(píng)注: 本題從三角函數(shù)出發(fā)，考查了學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力、求解一元二次方程最值問題的能力以及綜合分析問題的能力。對(duì)待應(yīng)用題沒

8、有什么通解通法，只要認(rèn)真讀題、審題，通過列表、作圖等方式合理分析已知量間的關(guān)系，總是能夠輕松解題。 6、三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用。此類問題主要考查三角函數(shù)最值和與三角函數(shù)有關(guān)學(xué)科內(nèi)綜合問題，如與平面向量、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合。多為解答題。而三角形中三角函數(shù)最值問題仍將是高考的熱點(diǎn)。，例11.（10湖南文數(shù)16. ）已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期。(II) 求函數(shù)的最大值及取最大值時(shí)x的集合。解：1） 函數(shù)最小正周期為 T= 2）當(dāng)即,取最大值 因此函數(shù)取最大值時(shí)的集合為/評(píng)注:本小題依托三角函數(shù)化簡(jiǎn)，考查函數(shù)值域，作為基本的知識(shí)交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換.高考資源網(wǎng)例12（10山東理17）已知函數(shù)，其圖像過點(diǎn)。（）求的值；() 將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最大值和最小值。解：（）因?yàn)?又 函數(shù)圖像過點(diǎn) 即 又 （） 由（）知 ，將函數(shù)