(2021年整理)基本函數(shù)求導(dǎo)公式

1、基本函數(shù)求導(dǎo)公式基本函數(shù)求導(dǎo)公式 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（基本函數(shù)求導(dǎo)公式）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為基本函數(shù)求導(dǎo)公式的全部?jī)?nèi)容。7基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 （1）（2)（3)(4)（5）（6)(7）(8）(9)(10)(11）(12），（13）(14）（15)(16）函數(shù)的和、差、

2、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)，都可導(dǎo)，則（1） （2） （是常數(shù)）（3） （4） 反函數(shù)求導(dǎo)法則若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且，則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)，而且及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或。 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)都是初等函數(shù),它們的導(dǎo)數(shù)都可以用前面的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求出 可以推出下表列出的公式: 一、一個(gè)方程的情形 在第二章第六節(jié)中我們已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經(jīng)過顯化直接由方程 =0 (1) 求它所確定的隱函數(shù)的方法。現(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在定理,并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法來導(dǎo)出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)

3、具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且， ，則方程=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (2） 公式(2）就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式這個(gè)定理我們不證?，F(xiàn)僅就公式(2)作如下推導(dǎo)。將方程（1）所確定的函數(shù)代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于連續(xù)，且，所以存在(x0,y0）的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi),于是得 如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),我們可以把等式（2）的兩端看作的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，即得 例1 驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0，1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時(shí)，的隱函數(shù)，并求這函數(shù)的一階和二階

4、導(dǎo)數(shù)在=0的值.解 設(shè)，則,.因此由定理1可知，方程在點(diǎn)（0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時(shí),的隱函數(shù)。下面求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù) =， ； = 。隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)。既然一個(gè)二元方程（1)可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)，那末一個(gè)三元方程 （)=0 (3)就有可能確定一個(gè)二元隱函數(shù)。與定理1一樣，我們同樣可以由三元函數(shù)（)的性質(zhì)來斷定由方程(）=0所確定的二元函數(shù)=的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。這就是下面的定理。隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)（）在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且，則方程(）=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條

5、件,并有 =,=. （4)這個(gè)定理我們不證.與定理1類似，僅就公式(4)作如下推導(dǎo)。由于 （， ）0,將上式兩端分別對(duì)和求導(dǎo),應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 +=0, +=0.因?yàn)檫B續(xù)，且,所以存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)0，于是得 =,=。 例2 設(shè),求解 設(shè)（） =，則=2, =.應(yīng)用公式(4），得 =。再一次對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得二、方程組的情形下面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個(gè)數(shù).而且增加方程的個(gè)數(shù)，例如，考慮方程組 (5)這時(shí),在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立變化,因此方程組（5）就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù)。在這種情形下，我們可以由函數(shù)、的性質(zhì)來斷定由方程組(5)所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)。我們有下面的定理。隱函數(shù)存在定理3 設(shè)函數(shù)、在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（jacobi）式）： =在點(diǎn)不等于零，則方程組，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 （6） 這個(gè)定理我們不證。 例3 設(shè)，求,，和。解 此題可直接利